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全6問・無料

東北大学　2024年度　前期日程　理系

東北大理系 2024年度数学の解答・解説

全6問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　2次関数・積分法

放物線の頂点・接線・解と係数の関係・面積当サイトの体感難易度：標準

(1) $a > 0$ 、 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 4 a^{2}$ とし、 $C : y = f (x)$ の頂点を $A$ 、直線 $OA$ と $C$ の交点のうち $A$ と異なるものを $P (p, f (p))$ 、原点 $O$ から $C$ へ引いた接線の接点を $Q (q, f (q))$ （ $q > 0$ ）とするとき、 $p, q$ を $a$ で表し、 $p > q$ を示す

答 $p = 4 a$ 、 $q = 2 a$ 。 $a > 0$ より $4 a > 2 a$

頂点は平方完成で出る。 $P$ は「直線 $OA$ と $C$ の連立」で、 $x = a$ （ $A$ ）が必ず解になるので因数分解できる。 $Q$ は「接線が原点を通る」を $q$ の方程式にする。

頂点。 平方完成すると

f (x) = (x - a)^{2} + 3 a^{2}

なので $A (a, 3 a^{2})$ である。 $a > 0$ より直線 $OA$ は

y = \frac{3 a ^{2}}{a} x = 3 a x

である。

$p$ 。 $C$ と連立して

x^{2} - 2 a x + 4 a^{2} = 3 a x, x^{2} - 5 a x + 4 a^{2} = 0, (x - a) (x - 4 a) = 0

である。 $x = a$ は $A$ なので、 $P$ の $x$ 座標は

p = 4 a

である。

$q$ 。 $f^{'} (x) = 2 x - 2 a$ なので、 $x = q$ における接線は

y = (2 q - 2 a) (x - q) + f (q)

である。これが原点を通るから、 $x = y = 0$ を入れて

0 = - q (2 q - 2 a) + q^{2} - 2 a q + 4 a^{2} = - q^{2} + 4 a^{2}

すなわち $q^{2} = 4 a^{2}$ である。 $q > 0$ 、 $a > 0$ だから

q = 2 a

である。 $a > 0$ より $p - q = 4 a - 2 a = 2 a > 0$ なので $p > q$ である。 $■$

$Q (2 a, 4 a^{2})$ 、 $P (4 a, 12 a^{2})$ である。 $OQ$ の傾きは $\frac{4 a ^{2}}{2 a} = 2 a = f^{'} (2 a)$ で、確かに接している。

$a = 2$ では $A (2, 12)$ 、 $P (8, 48)$ 、 $Q (4, 16)$ で、 $OP$ の傾き $6 = 3 a$ 、 $OQ$ の傾き $4 = f^{'} (4)$ だった。

$A$ は $C$ 上の点なので、直線 $OA$ と $C$ の連立では $x = a$ が必ず解になる。これを使えば因数分解が見える。

接点を文字でおいて「接線が原点を通る」と立てる。原点から接線を引く問題の定石である。

(2) $C$ の $q ≦ x ≦ p$ の部分、線分 $OP$ 、線分 $OQ$ で囲まれた図形の面積 $S$ を $a$ で表す

答 $S = \frac{16 a ^{3}}{3}$

$0 ≦ x ≦ 2 a$ では上が $OP$ ・下が $OQ$ 、 $2 a ≦ x ≦ 4 a$ では上が $OP$ ・下が $C$ になる。2つに分けて積分するだけ。後半は $\frac{1}{6}$ 公式が使える形である。

a = 1/2 のときの様子。放物線 C の頂点が A、直線 OA と C のもう1つの交点が P、原点から引いた接線の接点が Q。網かけが求める面積 S。

$OP$ は $y = 3 a x$ 、 $OQ$ は $y = 2 a x$ である。まず上下を確かめる。

$f (x) - 2 a x = x^{2} - 4 a x + 4 a^{2} = (x - 2 a)^{2} ≧ 0$ ： $C$ は接線 $OQ$ の上側（接点 $x = 2 a$ でのみ一致）
$f (x) - 3 a x = (x - a) (x - 4 a)$ ： $a ≦ x ≦ 4 a$ で $≦ 0$ 、つまり $C$ は直線 $OP$ の下側
$3 a x - 2 a x = a x ≧ 0$ （ $x ≧ 0$ ）： $OP$ は $OQ$ の上側

したがって、求める図形は上の境界が $OP$ 、下の境界が「 $0 ≦ x ≦ 2 a$ では $OQ$ 、 $2 a ≦ x ≦ 4 a$ では $C$ 」である。

S = \int_{0}^{2 a} (3 a x - 2 a x) d x + \int_{2 a}^{4 a} {3 a x - f (x)} d x

第1項。

\int_{0}^{2 a} a x d x = \frac{a ( 2 a ) ^{2}}{2} = 2 a^{3}

第2項。 $3 a x - f (x) = - (x - a) (x - 4 a)$ なので

\int_{2 a}^{4 a} (- x^{2} + 5 a x - 4 a^{2}) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + \frac{5 a}{2} x^{2} - 4 a^{2} x]_{2 a}^{4 a}

である。 $x = 4 a$ で $- \frac{64 a ^{3}}{3} + 40 a^{3} - 16 a^{3} = \frac{8 a ^{3}}{3}$ 、 $x = 2 a$ で $- \frac{8 a ^{3}}{3} + 10 a^{3} - 8 a^{3} = - \frac{2 a ^{3}}{3}$ なので、差は $\frac{10 a ^{3}}{3}$ である。よって

S = 2 a^{3} + \frac{10 a ^{3}}{3} = \frac{16 a ^{3}}{3}

である。

$a = 1$ で数値積分すると $5.3333333333$ 、 $\frac{16}{3} = 5.3333333333$ と一致した。

境界が $x = 2 a$ で切り替わる。 $OQ$ は接線なので $x > 2 a$ では $C$ より下に行き、下側の境界にならない。

$S$ が $a^{3}$ に比例するのは、図形が $a$ 倍の相似拡大で移り合うから。次元を見る検算になる。

(3) $S = \frac{2}{3}$ となるときの $a$ の値を求める

答 $a = \frac{1}{2}$

(2) の式に代入するだけ。 $a > 0$ なので3乗根は1つに決まる。

(2) より

\frac{16 a ^{3}}{3} = \frac{2}{3}, 16 a^{3} = 2, a^{3} = \frac{1}{8}

である。 $a$ は実数なので $a = \frac{1}{2}$ であり、これは $a > 0$ を満たす。よって

a = \frac{1}{2}

である。

$a = 0.5$ で数値積分すると面積は $0.6666666667 = \frac{2}{3}$ だった。

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第2問　対数・不等式

対数不等式・差をとる・底の変換・整数解の絞り込み当サイトの体感難易度：やや難

(1) $t > 1$ とし、正の実数 $x$ が (a) $x > \frac{1}{t - 1}$ と (b) $x ≧ 2 lo g_{t} x$ をともに満たすとき、 $x + 1 > 2 lo g_{t} (x + 1)$ を示す

答(a) は $t > (1 + \frac{1}{x})^{2}$ と同値で、これから $2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x} < 1$ 。あとは (b) に足す

示したい式と (b) の差をとると $1 - 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x}$ になる。これが正であることが (a) そのものだ、と見抜くのがこの小問の芯である。

(a) の言い換え。 $t > 1$ より $t > 1$ なので $t - 1 > 0$ である。(a) の両辺に $t - 1 (> 0)$ を掛けると

x (t - 1) > 1, x t > x + 1, t > \frac{x + 1}{x}

である（ $x > 0$ ）。両辺とも正なので2乗して

t > (\frac{x + 1}{x})^{2}

である。 $t > 1$ だから底 $t$ の対数をとると（ $lo g_{t}$ は増加関数）

1 > 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x}, すなわち 1 - 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x} > 0 \dots ①

である。

仕上げ。 (b) は $x - 2 lo g_{t} x ≧ 0$ である。これに ① を足すと

(x - 2 lo g_{t} x) + (1 - 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x}) > 0

で、左辺の対数の部分は

2 lo g_{t} x + 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x} = 2 lo g_{t} (x \cdot \frac{x + 1}{x}) = 2 lo g_{t} (x + 1)

とまとまるので

(x + 1) - 2 lo g_{t} (x + 1) > 0

すなわち $x + 1 > 2 lo g_{t} (x + 1)$ である。 $■$

$h (u) = u - 2 lo g_{t} u$ とおくと、示したのは「 $h (x) ≧ 0$ かつ (a) ならば $h (x + 1) > 0$ 」である。差 $h (x + 1) - h (x) = 1 - 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x}$ が (a) から正になる、という構図になっている。

$t$ と $x$ を20万組ランダムにとると、(a)(b) を満たすものすべてで結論が成り立った（反例 0 件）。

(a) の分母は $t - 1$ （ $t - 1$ ではない）。 $x t > x + 1$ と変形できる形になっている。

$lo g_{t}$ が増加関数なのは $t > 1$ だから。底が $1$ より小さければ不等号が逆になる。

(2) $n ≦ 2 lo g_{2} n$ を満たす正の整数 $n$ をすべて求める

答 $n = 2, 3, 4$

小さい $n$ を直接調べ、 $n ≧ 5$ では成り立たないことを (1) の帰納法で示す。(1) を $t = 2$ で使うと $\frac{1}{2 - 1} = 2 + 1$ なので、 $x ≧ 3$ なら (a) が満たされる。

小さい $n$ 。 $lo g_{2} 1 = 0$ 、 $lo g_{2} 2 = 1$ 、 $lo g_{2} 4 = 2$ と、 $1 < lo g_{2} 3 < 2$ を使う。

$n = 1$ ： $1 ≦ 0$ は偽
$n = 2$ ： $2 ≦ 2$ は真
$n = 3$ ： $2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9 > lo g_{2} 8 = 3$ なので真
$n = 4$ ： $4 ≦ 4$ は真
$n = 5$ ： $2 lo g_{2} 5 = lo g_{2} 25 < lo g_{2} 32 = 5$ なので偽

$n ≧ 5$ では成り立たない。 $t = 2$ として (1) を使う。このとき

\frac{1}{2 - 1} = 2 + 1 = 2.414 \dots

なので、 $x ≧ 3$ ならば (a) $x > 2 + 1$ は満たされる。そこで「 $n ≧ 5$ のとき $n > 2 lo g_{2} n$ 」を数学的帰納法で示す。

$n = 5$ のときは上で見たとおり $5 > 2 lo g_{2} 5$ である。 $n = k (≧ 5)$ で $k > 2 lo g_{2} k$ が成り立つとすると、とくに $k ≧ 2 lo g_{2} k$ であり、 $k ≧ 5 > 2 + 1$ だから (1) の仮定 (a)(b) がともに成り立つ。よって

k + 1 > 2 lo g_{2} (k + 1)

となり、 $n = k + 1$ でも成り立つ。したがって $n ≧ 5$ のすべてで $n > 2 lo g_{2} n$ 、つまり $n ≦ 2 lo g_{2} n$ は成り立たない。

以上より、求める $n$ は

n = 2, 3, 4

である。

$n ≦ 199$ を全探索すると、 $n ≦ 2 lo g_{2} n$ をみたすのは $2, 3, 4$ だけだった。

$n = 3$ の判定は $2 lo g_{2} 3$ と $3$ の比較。 $lo g_{2} 9$ と $lo g_{2} 8$ を比べれば暗算でできる。

帰納法の出発点は $n = 5$ 。 $n = 4$ では等号が成り立つので、そこから始めると「 $>$ 」が言えない。

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第3問　確率・数列

状態を分ける漸化式・うまい1次結合・複素数の利用・偏角と周期当サイトの体感難易度：難

(1)A,A,B の3枚から1枚引いて戻す試行を $n$ 回行って文字列を作り、AAA か BB を含むものを不可、それ以外を可とする。可かつ右端2文字が AA である確率を $p_{n}$ 、可かつ右端2文字が BA である確率を $q_{n}$ 、可かつ右端の文字が B である確率を $r_{n}$ とするとき、 $p_{2}, q_{2}, r_{2}$ と、 $p_{n + 1}, q_{n + 1}, r_{n + 1}$ を $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ で表す

答 $p_{2} = \frac{4}{9}, q_{2} = \frac{2}{9}, r_{2} = \frac{2}{9}$ 。 $p_{n + 1} = \frac{2}{3} q_{n}, q_{n + 1} = \frac{2}{3} r_{n}, r_{n + 1} = \frac{1}{3} (p_{n} + q_{n})$

1回の試行で A が出る確率は $\frac{2}{3}$ 、B は $\frac{1}{3}$ 。可な文字列の右端は「AA」「BA」「（最後が）B」の3通りに必ず分かれるので、この3つを状態と見て、1文字足したときどこへ移るかを調べる。

確率と状態。 A は2枚、B は1枚なので、1回の試行で A が出る確率は $\frac{2}{3}$ 、B は $\frac{1}{3}$ である。

長さ $n (≧ 2)$ の可な文字列は、右端の様子で「AA で終わる」「BA で終わる」「B で終わる」の3つにちょうど分かれる（右端が A なら右から2文字目は A か B のどちらかで、AA か BA になる）。それぞれの確率が $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ である。

$n = 2$ 。 長さ2の文字列は AA, AB, BA, BB で、確率は順に $\frac{4}{9}, \frac{2}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{9}$ である。BB は不可、他は可なので

p_{2} = \frac{4}{9}, q_{2} = \frac{2}{9}, r_{2} = \frac{2}{9}

である。

1文字足す。 可な文字列の右に1文字足すとき、新たに不可になるのは次の場合だけである。

AA で終わる文字列に A を足す：AAA ができるので不可
B で終わる文字列に B を足す：BB ができるので不可

それ以外は可のままである。行き先を整理すると

AA に B を足す → 右端は B（確率 $\frac{1}{3}$ ）
BA に A を足す → 右端2文字は AA（確率 $\frac{2}{3}$ ）
BA に B を足す → 右端は B（確率 $\frac{1}{3}$ ）
B に A を足す → 右端2文字は BA（確率 $\frac{2}{3}$ ）

となる。よって

p_{n + 1} = \frac{2}{3} q_{n}, q_{n + 1} = \frac{2}{3} r_{n}, r_{n + 1} = \frac{1}{3} (p_{n} + q_{n})

である。

$n = 3$ では $p_{3} = \frac{4}{27}$ 、 $q_{3} = \frac{4}{27}$ 、 $r_{3} = \frac{2}{9}$ になる。 $p_{n} + q_{n} + r_{n}$ が「可である確率」である。

$n = 2$ から $8$ まで全列挙して求めた $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ が、この漸化式から計算した値と完全に一致した。

「B で終わる」は右から2文字目を問わない。AA, BA の2状態と合わせてちょうど場合が尽きる。

$p_{n + 1}$ に「B で終わる文字列に A を足す」は入らない。それは BA で終わるので $q_{n + 1}$ に入る。

(2) $p_{n} + 2 q_{n} + 2 r_{n}$ を $n$ で表す

答 $p_{n} + 2 q_{n} + 2 r_{n} = \frac{2 ^{n}}{3 ^{n - 1}}$

$p_{n} + 2 q_{n} + 2 r_{n}$ を漸化式に通すと、同じ $1 : 2 : 2$ の組み合わせがそのまま $\frac{2}{3}$ 倍で出てくる。等比数列になる。

$u_{n} = p_{n} + 2 q_{n} + 2 r_{n}$ とおく。(1) の漸化式を代入すると

u_{n + 1} = \frac{2}{3} q_{n} + 2 \cdot \frac{2}{3} r_{n} + 2 \cdot \frac{1}{3} (p_{n} + q_{n}) = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{4}{3} q_{n} + \frac{4}{3} r_{n}

である。これは

\frac{2}{3} (p_{n} + 2 q_{n} + 2 r_{n}) = \frac{2}{3} u_{n}

にほかならない。よって ${u_{n}}$ は公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列である。初項は

u_{2} = \frac{4}{9} + 2 \cdot \frac{2}{9} + 2 \cdot \frac{2}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}

なので

u_{n} = \frac{4}{3} (\frac{2}{3})^{n - 2} = \frac{2 ^{n}}{3 ^{n - 1}}

である。

$\frac{4}{3} (\frac{2}{3})^{n - 2} = \frac{2 ^{2}}{3} \cdot \frac{2 ^{n - 2}}{3 ^{n - 2}} = \frac{2 ^{n}}{3 ^{n - 1}}$ である。 $n = 2$ で $\frac{4}{3}$ 、 $n = 3$ で $\frac{8}{9}$ となり、(1) の値と合う。

全列挙で求めた $p_{n} + 2 q_{n} + 2 r_{n}$ が $n = 2$ 〜 $8$ で $\frac{2 ^{n}}{3 ^{n - 1}}$ と完全に一致した。

$1 : 2 : 2$ という係数は偶然ではなく、漸化式の行列の固有ベクトルにあたる。問題文が与えてくれているので、代入して確かめるだけでよい。

(3) $p_{n} + i q_{n} - (1 + i) r_{n}$ を $n$ で表す（ $i$ は虚数単位）

答 $p_{n} + i q_{n} - (1 + i) r_{n} = \frac{2}{3 ^{n}} {- (1 + i)}^{n - 2}$

(2) と同じことを複素係数でやる。代入すると全体が $- \frac{1 + i}{3}$ 倍になるので、やはり等比数列である。

$v_{n} = p_{n} + i q_{n} - (1 + i) r_{n}$ とおく。(1) の漸化式を代入すると

v_{n + 1} = \frac{2}{3} q_{n} + i \cdot \frac{2}{3} r_{n} - (1 + i) \cdot \frac{1}{3} (p_{n} + q_{n})

で、 $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ について整理すると

v_{n + 1} = - \frac{1 + i}{3} p_{n} + \frac{1 - i}{3} q_{n} + \frac{2 i}{3} r_{n}

である（ $q_{n}$ の係数は $\frac{2}{3} - \frac{1 + i}{3} = \frac{1 - i}{3}$ ）。ここで $λ = - \frac{1 + i}{3}$ とおくと

λi = - \frac{( 1 + i ) i}{3} = - \frac{i - 1}{3} = \frac{1 - i}{3}, - λ (1 + i) = \frac{( 1 + i ) ^{2}}{3} = \frac{2 i}{3}

なので、上の式は

v_{n + 1} = λ {p_{n} + i q_{n} - (1 + i) r_{n}} = λ v_{n}

と書ける。すなわち ${v_{n}}$ は公比 $- \frac{1 + i}{3}$ の等比数列である。初項は

v_{2} = \frac{4}{9} + i \cdot \frac{2}{9} - (1 + i) \frac{2}{9} = \frac{4 - 2}{9} + \frac{2 - 2}{9} i = \frac{2}{9}

である。よって

v_{n} = \frac{2}{9} (- \frac{1 + i}{3})^{n - 2} = \frac{2}{3 ^{n}} {- (1 + i)}^{n - 2}

である（ $\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3 ^{n - 2}} = \frac{2}{3 ^{n}}$ ）。

$n = 3$ では $- \frac{2 ( 1 + i )}{27}$ となり、 $p_{3} + i q_{3} - (1 + i) r_{3} = \frac{4 + 4 i - 6 - 6 i}{27} = \frac{- 2 - 2 i}{27}$ と合う。

全列挙で求めた $v_{n}$ とこの式の差は $n = 2$ 〜 $9$ で $1 0^{- 17}$ 以下だった。

係数 $1, i, - (1 + i)$ も問題が与えてくれている。代入して $λ$ を見つけるだけでよく、自分で固有値を探す必要はない。

$(1 + i)^{2} = 2 i$ を使うと $r_{n}$ の係数が合う。複素数の計算をていねいに。

(4) $p_{n} = r_{n}$ を満たすための $n$ の必要十分条件を求める

答 $n$ が $4$ の倍数であること

(3) の $v_{n}$ の実部がちょうど $p_{n} - r_{n}$ である。 $- (1 + i)$ を極形式にすると偏角が $\frac{5 π}{4}$ なので、実部が $0$ になる $n$ は偏角の条件で決まる。

$p_{n}, q_{n}, r_{n}$ は実数なので、(3) の $v_{n}$ を実部と虚部に分けると

v_{n} = (p_{n} - r_{n}) + (q_{n} - r_{n}) i

である。したがって

p_{n} = r_{n} ⟺ Re v_{n} = 0

である。

極形式。 $- (1 + i) = - 1 - i$ は、大きさが $2$ 、偏角が $\frac{5 π}{4}$ （第3象限）なので

- (1 + i) = 2 (cos \frac{5 π}{4} + i sin \frac{5 π}{4})

である。ド・モアブルの定理から

{- (1 + i)}^{n - 2} = (2)^{n - 2} {cos \frac{5 ( n - 2 ) π}{4} + i sin \frac{5 ( n - 2 ) π}{4}}

なので

Re v_{n} = \frac{2 ( 2 ) ^{n - 2}}{3 ^{n}} cos \frac{5 ( n - 2 ) π}{4}

である。係数は $0$ でないから

p_{n} = r_{n} ⟺ cos \frac{5 ( n - 2 ) π}{4} = 0

である。 $cos θ = 0$ は $θ = \frac{π}{2} + k π$ （ $k$ は整数）なので

\frac{5 ( n - 2 )}{4} = \frac{1}{2} + k, 5 (n - 2) = 2 + 4 k

すなわち $5 (n - 2) \equiv 2 (mod 4)$ である。 $5 \equiv 1 (mod 4)$ だから、これは $n - 2 \equiv 2 (mod 4)$ 、つまり

n \equiv 0 (mod 4)

と同値である。よって求める必要十分条件は

n が 4 の倍数であること

である（ $n ≧ 2$ という条件のもとで、 $n = 4, 8, 12, \dots$ ）。

実際 $p_{4} = r_{4} = \frac{8}{81}$ 、 $p_{8} = r_{8} = \frac{160}{6561}$ である。(2) の実数の等比数列だけでは $p_{n}$ と $r_{n}$ を分離できず、(3) の複素数の等比数列が「差 $p_{n} - r_{n}$ 」を取り出す道具になっている。

漸化式を $n = 20$ まで分数で回すと、 $p_{n} = r_{n}$ になったのは $n = 4, 8, 12, 16, 20$ だけだった。

$(2)^{n - 2}$ などの係数は決して $0$ にならないので、条件は $cos$ の部分だけで決まる。

$5 (n - 2) \equiv 2 (mod 4)$ を解くとき、 $5 \equiv 1$ を使って $n - 2 \equiv 2$ にする。

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第4問　空間図形

2球面の交わり・交円の中心と半径・平面に平行な単位ベクトル・座標の最大最小当サイトの体感難易度：やや難

(1) $P_{1} (3, - 1, 1)$ を中心とする半径 $5$ の球面 $S_{1}$ 、 $P_{2} (5, 0, - 1)$ を中心とする半径 $2$ の球面 $S_{2}$ について、線分 $P_{1} P_{2}$ の長さを求める

答 $3$

座標の差をとって2乗和の平方根をとるだけ。

$P_{1} P_{2} = (2, 1, - 2)$ なので

∣ P_{1} P_{2} ∣ = 2^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2} = 9 = 3

である。

$(2, 1, - 2)$ は長さ $3$ のきれいなベクトルで、以降この方向が交円の平面の法線になる。

数値でも $3.0$ になった。

(2) $S_{1}$ と $S_{2}$ が交わりをもつことを示し、交わりの円 $C$ の半径と中心 $P_{3}$ の座標を求める

答半径 $1$ 、 $P_{3} (\frac{13}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

中心間距離 $d$ と2つの半径で「 $∣ r_{1} - r_{2} ∣ < d < r_{1} + r_{2}$ 」を確かめれば交わる。交円の平面は2式の差をとれば出るので、 $P_{1}$ からの距離を測って半径が決まる。

交わること。 $r_{1} = 5$ 、 $r_{2} = 2$ 、 $d = 3$ である。

∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 5 - 2 = 0.82 \dots, r_{1} + r_{2} = 5 + 2 = 3.65 \dots

で $∣ r_{1} - r_{2} ∣ < 3 < r_{1} + r_{2}$ だから、2球面は交わる（根号のまま示すなら、 $5 - 2 < 3$ は明らか、 $3 < 5 + 2$ は両辺2乗して $9 < 7 + 210$ 、すなわち $1 < 10$ から従う）。 $■$

交円の平面。 2球面の方程式は

(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5, (x - 5)^{2} + y^{2} + (z + 1)^{2} = 2

である。辺々引くと2次の項が消えて

4 x + 2 y - 4 z - (11 - 26) = 3, 整理して 4 x + 2 y - 4 z = 18

すなわち

2 x + y - 2 z = 9 \dots ①

である。これが $C$ を含む平面 $H$ で、法線ベクトルは $P_{1} P_{2} = (2, 1, - 2)$ である。

中心と半径。 $P_{1}$ から $H$ までの距離は

\frac{∣ 2 \cdot 3 + ( - 1 ) - 2 \cdot 1 - 9 ∣}{2 ^{2} + 1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{∣ - 6 ∣}{3} = 2

である。 $P_{3}$ は $P_{1}$ から $H$ に下ろした垂線の足なので、単位法線 $\frac{1}{3} (2, 1, - 2)$ を使って

P_{3} = P_{1} + 2 \cdot \frac{1}{3} (2, 1, - 2) = (3 + \frac{4}{3}, - 1 + \frac{2}{3}, 1 - \frac{4}{3}) = (\frac{13}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})

である（向きは $P_{2}$ 側。実際 ① に代入すると $\frac{26}{3} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 9$ で平面上にある）。半径は三平方の定理から

r_{1}^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1

である。

$P_{3} = (4.3333, - 0.3333, - 0.3333)$ で、 $P_{1}$ からの距離は $2$ 、 $5 - 4 = 1$ が半径だった。

2つの球面の方程式を引き算すると平面の式になる（根軸の3次元版）。これが交円を含む平面である。

$P_{3}$ は $P_{1}$ と $P_{2}$ を結ぶ線分上にある。 $P_{1}$ からの距離 $2$ を単位法線にかけて足す。

(3) $C$ を含む平面を $H$ とするとき、 $x y$ 平面と $H$ の両方に平行で大きさが $1$ のベクトルをすべて求める

答 $\pm (\frac{5}{5}, - \frac{2 5}{5}, 0)$

「 $x y$ 平面に平行」は $z$ 成分が $0$ 、「 $H$ に平行」は法線と垂直。2本の条件で方向が決まり、大きさ $1$ で符号ちがいの2つになる。

求めるベクトルを $v = (a, b, c)$ とする。

$x y$ 平面に平行： $c = 0$
$H$ に平行：法線 $(2, 1, - 2)$ と垂直なので $2 a + b - 2 c = 0$
大きさ $1$ ： $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$

である。 $c = 0$ を2番目に入れて $b = - 2 a$ 、3番目に入れて

a^{2} + 4 a^{2} = 1, a = \pm \frac{1}{5} = \pm \frac{5}{5}

である。よって

v = \pm (\frac{5}{5}, - \frac{2 5}{5}, 0)

の2つである。

この方向は $H$ と $x y$ 平面の交線の方向でもある。(4) では、これと垂直な「 $H$ 内でいちばん $z$ が変わる方向」が主役になる。

$v = (0.4472, - 0.8944, 0)$ は大きさ $1$ で、 $(2, 1, - 2)$ との内積が $0$ だった。

「平面に平行」は「法線と垂直」。法線と平行ではない。

答えは2つ（向きが逆）。「すべて求めよ」なので $\pm$ を落とさない。

(4)点 $Q$ が $C$ 上を動くとき、 $Q$ と $x y$ 平面の距離 $d$ の最大値と、それを与える $Q$ の座標を求める

答最大値 $\frac{1 + 5}{3}$ 、 $Q (\frac{65 - 4 5}{15}, \frac{- 5 - 2 5}{15}, - \frac{1 + 5}{3})$

$d = ∣ z ∣$ なので、 $C$ 上で $z$ 座標がどこまで動くかを調べる。 $C$ の中心 $P_{3}$ から見て、 $z$ がいちばん変わるのは「 $e_{z}$ を平面 $H$ に正射影した向き」である。その向きの単位ベクトルを作れば、両端の $z$ がすぐ出る。

$Q$ と $x y$ 平面の距離は $∣ z ∣$ （ $z$ は $Q$ の $z$ 座標）である。 $C$ は中心 $P_{3} (\frac{13}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$ 、半径 $1$ 、法線 $n = \frac{1}{3} (2, 1, - 2)$ （単位ベクトル）の円である。

$z$ がいちばん変わる向き。 $e_{z} = (0, 0, 1)$ を平面 $H$ に正射影すると

w = e_{z} - (e_{z} \cdot n) n = (0, 0, 1) - (- \frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{3} (2, 1, - 2) = (\frac{4}{9}, \frac{2}{9}, \frac{5}{9})

で、その大きさは

∣ w ∣ = \frac{16 + 4 + 25}{9} = \frac{45}{9} = \frac{5}{3}

である。 $C$ 上の点は、 $w$ 方向の単位ベクトル $u = \frac{w}{∣ w ∣}$ とそれに垂直な単位ベクトル $u^{'}$ （ともに $H$ 内）を使って

Q = P_{3} + cos φ u + sin φ u^{'}

と書ける。 $u^{'}$ は $w$ と垂直で $H$ 内にあるから $u^{'} \cdot e_{z} = 0$ 、つまり $z$ 成分は $0$ である。一方 $u$ の $z$ 成分は $\frac{w \cdot e _{z}}{∣ w ∣} = ∣ w ∣ = \frac{5}{3}$ である。よって $Q$ の $z$ 座標は

z = - \frac{1}{3} + \frac{5}{3} cos φ

となり、 $- \frac{1 + 5}{3} ≦ z ≦ \frac{- 1 + 5}{3}$ の範囲を動く。両端の絶対値は

\frac{1 + 5}{3} = 1.078 \dots, \frac{5 - 1}{3} = 0.412 \dots

なので、 $d = ∣ z ∣$ の最大値は

\frac{1 + 5}{3}

である。これは $cos φ = - 1$ 、すなわち $Q = P_{3} - u$ のときで

u = \frac{3}{5} (\frac{4}{9}, \frac{2}{9}, \frac{5}{9}) = \frac{1}{3 5} (4, 2, 5) = (\frac{4 5}{15}, \frac{2 5}{15}, \frac{5}{3})

だから

Q = (\frac{13}{3} - \frac{4 5}{15}, - \frac{1}{3} - \frac{2 5}{15}, - \frac{1}{3} - \frac{5}{3}) = (\frac{65 - 4 5}{15}, \frac{- 5 - 2 5}{15}, - \frac{1 + 5}{3})

である。

$u$ の $z$ 成分が $∣ w ∣$ に等しいのは、正射影の作り方からの一般的な事実である。 $∣ w ∣^{2} = 1 - (e_{z} \cdot n)^{2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ と計算してもよい。

求めた $Q$ は $P_{1}$ からの距離が $5$ 、 $P_{2}$ からの距離が $2$ で、 $∣ z ∣ = 1.078689326 = \frac{1 + 5}{3}$ だった。

$d$ は $z$ ではなく $∣ z ∣$ 。 $z$ の動く範囲が $0$ をまたぐので、両端の絶対値を比べる。

$z$ の振れ幅は半径 $1$ そのものではなく、 $∣ w ∣ = \frac{5}{3}$ 倍になる。平面が $x y$ 平面に対して傾いているぶんだけ縮む。

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第5問　微分法

商の微分・中間値の定理・グラフの概形・指数の等式の整数解当サイトの体感難易度：やや難

(1) $x ≧ 2$ で $f (x) = \frac{lo g ( 2 x - 3 )}{x}$ とするとき、 $f^{'} (x) = \frac{g ( x )}{x ^{2} ( 2 x - 3 )}$ となる $g (x)$ を求める

答 $g (x) = 2 x - (2 x - 3) lo g (2 x - 3)$

商の微分をして、分母を $x^{2} (2 x - 3)$ の形にそろえる。

商の微分法から

f^{'} (x) = \frac{\frac{2}{2 x - 3} \cdot x - lo g ( 2 x - 3 )}{x ^{2}}

である。分子・分母に $2 x - 3$ を掛けて

f^{'} (x) = \frac{2 x - ( 2 x - 3 ) lo g ( 2 x - 3 )}{x ^{2} ( 2 x - 3 )}

となるので

g (x) = 2 x - (2 x - 3) lo g (2 x - 3)

である。

$x = 3$ で $f^{'} (3)$ を数値微分すると $g (3) / (9 \cdot 3)$ と一致した。

$x ≧ 2$ では $2 x - 3 ≧ 1 > 0$ なので、 $lo g (2 x - 3)$ も分母 $x^{2} (2 x - 3)$ も問題なく定義される。

(2) $g (α) = 0$ を満たす $2$ 以上の実数 $α$ がただ1つ存在することを示す

答 $g^{'} (x) = - 2 lo g (2 x - 3)$ より $g$ は $x ≧ 2$ で減少、 $g (2) = 4 > 0$ 、 $x$ を大きくすると $g < 0$

$g$ を微分すると $lo g$ だけが残り、符号がすぐ分かる。あとは両端の符号を押さえて中間値の定理を使う。

単調性。 積の微分から

g^{'} (x) = 2 - {2 lo g (2 x - 3) + (2 x - 3) \cdot \frac{2}{2 x - 3}} = - 2 lo g (2 x - 3)

である。 $x > 2$ では $2 x - 3 > 1$ なので $lo g (2 x - 3) > 0$ 、よって $g^{'} (x) < 0$ である。つまり $g$ は $x ≧ 2$ で狭義単調減少である。

両端の符号。 $g (2) = 4 - 1 \cdot lo g 1 = 4 > 0$ である。一方、 $2 x - 3 ≧ e^{2}$ となる $x$ （たとえば $x = \frac{e ^{2} + 3}{2}$ 以上）では $lo g (2 x - 3) ≧ 2$ なので

g (x) ≦ 2 x - 2 (2 x - 3) = - 2 x + 6

である。 $e < 3$ より $\frac{e ^{2} + 3}{2} < 6$ なので、たとえば $x = 6$ をとれば $2 x - 3 = 9 > e^{2}$ （ $e < 3$ より $e^{2} < 9$ ）で、 $g (6) ≦ - 6 < 0$ である。

結論。 $g$ は $[2, 6]$ で連続、 $g (2) > 0 > g (6)$ なので中間値の定理よりこの区間に零点がある。また $g$ は $x ≧ 2$ で狭義単調減少なので零点は高々1つである。よって $g (α) = 0$ となる $2$ 以上の実数 $α$ はただ1つ存在する。 $■$

$y = 2 x - 3$ とおくと $g = 0$ は $lo g y = 1 + \frac{3}{y}$ と書ける。数値では $y = 4.9706 \dots$ 、 $α = 3.9853 \dots$ で、 $α$ は $4$ のすぐ下にある。(4) で $4$ と $α$ の大小が効く。

2分法で解くと $α = 3.985312880$ 、 $g (α) = - 8.9 \times 1 0^{- 16}$ だった。

$g^{'}$ の計算で $(2 x - 3) \cdot \frac{2}{2 x - 3} = 2$ がちょうど $+ 2$ を打ち消す。ここがきれいに決まる。

「ただ1つ」には存在（中間値の定理）と一意性（単調性）の両方が要る。

(3) $f (x)$ （ $x ≧ 2$ ）の増減と $x \to \infty lim f (x)$ を調べ、 $y = f (x)$ のグラフの概形を描く

答 $2 ≦ x < α$ で増加、 $x > α$ で減少。最大値 $f (α) = \frac{2}{2 α - 3}$ 、 $x \to \infty lim f (x) = 0$

(1)(2) から $f^{'}$ の符号は $g$ の符号と同じで、 $α$ の前後で正から負に変わる。極大値は $g (α) = 0$ を使うと根号も $lo g$ も残らない形になる。

増減。 $x ≧ 2$ では $x^{2} (2 x - 3) > 0$ なので、 $f^{'}$ の符号は $g$ の符号と一致する。(2) より $g$ は減少して $α$ で $0$ になるから

$2 ≦ x < α$ ： $g > 0$ なので $f^{'} > 0$ 、 $f$ は増加
$x = α$ ： $f^{'} = 0$
$x > α$ ： $g < 0$ なので $f^{'} < 0$ 、 $f$ は減少

である。よって $f$ は $x = α$ で最大になる。

最大値。 $g (α) = 0$ は $2 α = (2 α - 3) lo g (2 α - 3)$ 、すなわち

lo g (2 α - 3) = \frac{2 α}{2 α - 3}

である。これを $f$ に入れると

f (α) = \frac{1}{α} \cdot \frac{2 α}{2 α - 3} = \frac{2}{2 α - 3}

である。

極限と端点。 $f (2) = \frac{lo g 1}{2} = 0$ である。また $t = 2 x - 3 \to \infty$ とすると

f (x) = \frac{lo g t}{\frac{t + 3}{2}} = \frac{2}{t + 3} lo g t = \frac{2 t}{t + 3} \cdot \frac{lo g t}{t} ⟶ 2 \cdot 0 = 0

なので $x \to \infty lim f (x) = 0$ である。 $x > 2$ では $lo g (2 x - 3) > 0$ だから $f > 0$ である。概形は次のようになる。

y = f(x) = log(2x-3)/x （x ≧ 2）の概形。(2, 0) から増加して x = α（≒3.985）で最大値 2/(2α-3) をとり、その後は減少して 0 に近づく。縦方向は横方向より大きく拡大してある。

$f (α) = 0.402363826$ と $\frac{2}{2 α - 3} = 0.402363826$ が一致した。 $f (100) = \frac{lo g 197}{100} = 0.0528$ と、確かに $0$ へ近づいた。

最大値は $\frac{lo g ( 2 α - 3 )}{α}$ のままにせず、 $g (α) = 0$ を使って $\frac{2}{2 α - 3}$ に直す。

$x \to \infty$ の極限は、問題が与えている $\frac{lo g t}{t} \to 0$ の形に持ち込む。

(4) $2 ≦ m < n$ を満たす整数の組 $(m, n)$ で $(2 m - 3)^{n} = (2 n - 3)^{m}$ が成り立つものをすべて求める

答 $(m, n) = (3, 6)$

両辺の対数をとると $f (m) = f (n)$ になる。(3) のグラフから、 $f$ が同じ値を2回とるのは「増加部分に1つ、減少部分に1つ」のときだけ。 $α < 4$ なので増加部分の整数は $2, 3$ しかなく、 $m$ の候補がすぐ絞れる。

$m ≧ 2$ より $2 m - 3 ≧ 1 > 0$ 、 $2 n - 3 > 0$ なので両辺の自然対数をとれて

n lo g (2 m - 3) = m lo g (2 n - 3), \frac{lo g ( 2 m - 3 )}{m} = \frac{lo g ( 2 n - 3 )}{n}

すなわち

f (m) = f (n)

である。

$α$ をはさむ。 (3) より $f$ は $[2, α]$ で狭義増加、 $[α, \infty)$ で狭義減少である。まず $α$ の位置を整数のべきの比較だけで押さえる。

f (3) = \frac{lo g 3}{3}, f (4) = \frac{lo g 5}{4}, f (5) = \frac{lo g 7}{5}

$f (3) < f (4) ⟺ 4 lo g 3 < 3 lo g 5 ⟺ 3^{4} < 5^{3} ⟺ 81 < 125$ （真）
$f (4) > f (5) ⟺ 5 lo g 5 > 4 lo g 7 ⟺ 5^{5} > 7^{4} ⟺ 3125 > 2401$ （真）

$α ≦ 3$ なら $f$ は $[3, 4]$ で減少して $f (3) > f (4)$ となり1つめに反する。 $α ≧ 5$ なら $f$ は $[4, 5]$ で増加して $f (4) < f (5)$ となり2つめに反する。よって

3 < α < 5

である。

$m$ の絞り込み。 $m < n$ で $f (m) = f (n)$ となるには、 $m$ と $n$ が同じ単調区間にあってはいけない（狭義単調なので値が一致しない）。とくに $m < α < 5$ だから $m$ は $2, 3, 4$ のいずれかで、 $n > α > 3$ だから $n ≧ 4$ である。

$m = 2$ は不適。 $f (2) = \frac{lo g 1}{2} = 0$ で、 $f (n) = 0$ となるのは $lo g (2 n - 3) = 0$ 、つまり $n = 2$ のときだけである。 $n > m = 2$ に反する。

$m = 4$ も不適。 $n > 4$ より $n ≧ 5$ である。 $α < 5$ なので $f$ は $[5, \infty)$ で減少し、 $f (n) ≦ f (5)$ である。上で見たとおり $f (5) < f (4)$ だから $f (n) < f (4)$ となり、 $f (m) = f (n)$ は成り立たない。

$m = 3$ 。 $lo g 9 = 2 lo g 3$ より

f (6) = \frac{lo g 9}{6} = \frac{2 lo g 3}{6} = \frac{lo g 3}{3} = f (3)

なので $n = 6$ は条件を満たす。 $n$ は $α$ より大きい側にあり、そこで $f$ は狭義減少だから、 $f (n) = f (3)$ をみたす $n (> α)$ はこの1つしかない。したがって

(m, n) = (3, 6)

だけが答えである。実際 $(2 \cdot 3 - 3)^{6} = 3^{6} = 729$ 、 $(2 \cdot 6 - 3)^{3} = 9^{3} = 729$ で成り立つ。

$3^{6} = 9^{3}$ は $(3^{2})^{3} = 3^{6}$ という当たり前の等式で、 $2 m - 3$ と $2 n - 3$ がちょうど $3$ と $9$ になる $m, n$ を拾ったものである。 $x^{y} = y^{x}$ の整数解が $(2, 4)$ だけ、という有名な問題と同じ構図になっている。

$2 ≦ m < n ≦ 59$ を全探索すると $(3, 6)$ だけだった。 $f (3) = f (6) = 0.366204096$ で一致している。

$f (m) = f (n)$ に直してグラフで考える。指数のまま扱うと手がかりがない。

$f (3)$ と $f (4)$ 、 $f (4)$ と $f (5)$ の比較は、対数を払って整数のべき（ $81 < 125$ 、 $3125 > 2401$ ）にすれば暗算でできる。

$m = 2$ と $m = 4$ を落とさずに潰す。とくに $m = 2$ は $f (2) = 0$ で、 $f (n) = 0$ が $n = 2$ しかないことから除かれる。

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第6問　積分法・空間図形

円錐の展開図・極方程式・はさみうちと面積・半角の置換当サイトの体感難易度：難

(1) $x y$ 平面上の円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 、円板 $D$ を底面、 $P (0, 0, 1)$ を頂点とする円錐を $K$ とし、平面 $H : z = x$ と $K$ の側面の交わりを $E$ とする。 $Q (cos θ, sin θ, 0)$ （ $- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ ）に対し、線分 $PQ$ と $E$ の共有点を $R$ とするとき、 $PR$ の長さ $r (θ)$ を $θ$ で表す

答 $r (θ) = \frac{2}{1 + cos θ}$

線分 $PQ$ を媒介変数で書き、 $z = x$ を代入して媒介変数を決めるだけ。 $∣ PQ ∣$ は母線の長さ $2$ で $θ$ によらない。

線分 $PQ$ 上の点は $0 ≦ s ≦ 1$ を使って

P + s (Q - P) = (s cos θ, s sin θ, 1 - s)

と書ける。 $H : z = x$ に入れると

1 - s = s cos θ, s (1 + cos θ) = 1, s = \frac{1}{1 + cos θ}

である。 $- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ では $cos θ ≧ 0$ なので $1 ≦ 1 + cos θ ≦ 2$ 、したがって $\frac{1}{2} ≦ s ≦ 1$ で確かに線分上にある。

母線の長さは

∣ PQ ∣ = cos^{2} θ + sin^{2} θ + 1 = 2

なので

r (θ) = PR = s ∣ PQ ∣ = \frac{2}{1 + cos θ}

である。

$θ = \pm \frac{π}{2}$ では $s = 1$ で $R = Q$ 、つまり $R$ は $A (0, - 1, 0)$ と $B (0, 1, 0)$ になる。 $θ = 0$ では $r = \frac{2}{2}$ で母線のちょうど半分である。

$θ = 1$ で $R = (0.350777, 0.546302, 0.350777)$ 、 $z = x$ を満たし $PR = 0.918140262 = \frac{2}{1 + cos 1}$ だった。

$r (θ)$ は $PR$ の長さ（母線に沿った距離）であって、 $R$ の $z$ 座標や $x y$ 平面への射影ではない。

(2) $K$ の側面のうち、 $E$ の $A$ から $R$ までの部分、線分 $PA$ 、線分 $PR$ で囲まれた部分の面積を $S (θ)$ とするとき、 $0 ≦ θ < θ + h ≦ \frac{π}{2}$ で $\frac{h { r ( θ ) } ^{2}}{2 2} ≦ S (θ + h) - S (θ) ≦ \frac{h { r ( θ + h ) } ^{2}}{2 2}$ を示す

答側面を展開すると、増分は中心角 $\frac{h}{2}$ の2つの扇形にはさまれる

円錐の側面は、母線で切って平らに広げれば半径 $2$ の扇形になる。側面上の長さと面積は展開してもそのまま。展開図では $PR$ が極座標の動径、 $θ$ が偏角に比例するので、増分が扇形ではさめる。

円錐 K の側面の展開図（x ≧ 0 の側だけ）。頂点 P を中心とする半径 √2 の扇形で、底面の角 θ は展開図では偏角 ψ = (θ + π/2)/√2 に対応する。内側の曲線が E、外側の弧が円 C。網かけが (3) の T。

展開図。 $K$ の母線の長さは $2$ 、底面の円周は $2 π$ である。側面を母線 $PA$ で切って平面に広げると、半径 $2$ の扇形になる。側面上の長さも面積も展開で変わらない。

底面の弧の長さは保たれるので、底面で $A$ から角 $θ + \frac{π}{2}$ だけ回った位置の母線は、展開図では偏角

ψ = \frac{θ + \frac{π}{2}}{2}

の向きに来る（底面の弧 $1 \cdot (θ + \frac{π}{2})$ と展開図の弧 $2 ψ$ が等しい）。 $R$ は $P$ から母線に沿って $r (θ)$ の位置にあるから、展開図では極座標 $(r (θ), ψ)$ の点である。 $θ$ が $h$ 増えると $ψ$ は $\frac{h}{2}$ 増える。

はさみうち。 $S (θ + h) - S (θ)$ は、展開図で偏角が $ψ (θ)$ から $ψ (θ) + \frac{h}{2}$ までの、 $P$ を頂点として曲線 $E$ までの部分の面積である。

$0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ で $cos θ$ は減少するので $r (θ) = \frac{2}{1 + cos θ}$ は増加する。よってこの偏角の範囲では

r (θ) ≦ r (τ) ≦ r (θ + h) (θ ≦ τ ≦ θ + h)

である。したがって、この部分は「中心 $P$ 、半径 $r (θ)$ 、中心角 $\frac{h}{2}$ の扇形」を含み、「中心 $P$ 、半径 $r (θ + h)$ 、中心角 $\frac{h}{2}$ の扇形」に含まれる。扇形の面積は $\frac{1}{2} (半径)^{2} (中心角)$ なので

\frac{1}{2} {r (θ)}^{2} \cdot \frac{h}{2} ≦ S (θ + h) - S (θ) ≦ \frac{1}{2} {r (θ + h)}^{2} \cdot \frac{h}{2}

すなわち

\frac{h { r ( θ ) } ^{2}}{2 2} ≦ S (θ + h) - S (θ) ≦ \frac{h { r ( θ + h ) } ^{2}}{2 2}

である。 $■$

この不等式を $h$ で割って $h \to 0$ とすると $S^{'} (θ) = \frac{{ r ( θ ) } ^{2}}{2 2}$ になる。極座標の面積公式 $\frac{1}{2} \int ρ^{2} d ψ$ を、偏角の取り替え $d ψ = \frac{d θ}{2}$ で書き直したものである。

$(θ, h) = (0.5, 1.0)$ では $0.20057967 ≦ 0.33241348 ≦ 0.61676429$ となり、5通りの組すべてで成り立った。

展開すると偏角は $θ$ ではなく $\frac{θ + π /2}{2}$ になる。母線が $2$ なので、弧長をそろえるために $2$ で割る。

$r$ が $[0, \frac{π}{2}]$ で増加であることを使って上下からはさむ。増減を確かめずに不等号の向きを決めない。

(3) $K$ の側面のうち、円 $C$ の $x ≧ 0$ の部分と曲線 $E$ により囲まれた部分の面積 $T$ を求める

答 $T = \frac{2 ( 3 π - 4 )}{6}$

(2) の展開図でそのまま考える。 $T$ は「半径 $2$ ・中心角 $\frac{π}{2}$ の扇形」から「 $E$ の内側の部分」を引いたもの。後者は $\frac{1}{2 2} \int r^{2} d θ$ で、半角の公式で $sec^{4}$ の積分になる。

円 $C$ の $x ≧ 0$ の部分は $- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ に対応する。展開図では、偏角 $ψ$ が $0$ から

ψ (\frac{π}{2}) = \frac{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{2}

まで動く部分である。 $T$ は、この範囲での「半径 $2$ の扇形」から「 $E$ より内側の部分」を引いたものだから

T = \frac{1}{2} (2)^{2} \cdot \frac{π}{2} - {S (\frac{π}{2}) - S (- \frac{π}{2})} = \frac{π}{2} - \frac{1}{2 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {r (θ)}^{2} d θ

である（(2) の注より $S^{'} (θ) = \frac{{ r ( θ ) } ^{2}}{2 2}$ 、かつ $S (- \frac{π}{2}) = 0$ ）。

積分。 $1 + cos θ = 2 cos^{2} \frac{θ}{2}$ を使うと

{r (θ)}^{2} = \frac{2}{( 1 + cos θ ) ^{2}} = \frac{2}{4 cos ^{4} \frac{θ}{2}} = \frac{1}{2 cos ^{4} \frac{θ}{2}}

である。偶関数なので

I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {r (θ)}^{2} d θ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d θ}{2 cos ^{4} \frac{θ}{2}} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d θ}{cos ^{4} \frac{θ}{2}}

である。 $u = \frac{θ}{2}$ （ $d θ = 2 d u$ 、 $u$ は $0$ から $\frac{π}{4}$ ）とおくと

I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d u}{cos ^{4} u}

である。 $\frac{1}{cos ^{4} u} = \frac{1}{cos ^{2} u} \cdot \frac{1}{cos ^{2} u} = (1 + tan^{2} u) \cdot \frac{1}{cos ^{2} u}$ なので、 $w = tan u$ とおくと $d w = \frac{d u}{cos ^{2} u}$ で

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d u}{cos ^{4} u} = \int_{0}^{1} (1 + w^{2}) d w = [w + \frac{w ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{4}{3}

である。よって $I = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ である。

仕上げ。

T = \frac{π}{2} - \frac{1}{2 2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{1}{2} (π - \frac{4}{3}) = \frac{3 π - 4}{3 2} = \frac{2 ( 3 π - 4 )}{6}

である（数値では $1.2786 \dots$ ）。

側面全体の面積は $π \cdot 1 \cdot 2 = 2 π = 4.443$ で、その半分（ $x ≧ 0$ 側）が $\frac{π}{2} = 2.221$ 。そこから $E$ の内側 $0.943$ を引いて $1.279$ になる。

$\int_{- π /2}^{π /2} r^{2} d θ$ を数値積分すると $2.6666666667 = \frac{8}{3}$ 、 $T = 1.2786324275$ で $\frac{2 ( 3 π - 4 )}{6} = 1.2786324275$ と一致した。

展開図の扇形の中心角は $\frac{π}{2}$ （ $π$ ではない）。母線 $2$ で割る。

$\frac{1}{( 1 + cos θ ) ^{2}}$ は半角で $\frac{1}{4 cos ^{4} ( θ /2 )}$ に直すのが早い。問題の $tan \frac{θ}{2} = u$ の置換もここを指している。

第6問だけのページ

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)a>0、f(x)=x2−2ax+4a2 とし、C:y=f(x) の頂点を A、直線 OA と C の交点のうち A と異なるものを P(p,f(p))、原点 O から C へ引いた接線の接点を Q(q,f(q))（q>0）とするとき、p,q を a で表し、p>q を示す

(2)C の q≦x≦p の部分、線分 OP、線分 OQ で囲まれた図形の面積 S を a で表す

(3)S=32​ となるときの a の値を求める

(1)t>1 とし、正の実数 x が (a) x>t​−11​ と (b) x≧2logt​x をともに満たすとき、x+1>2logt​(x+1) を示す

(2)n≦2log2​n を満たす正の整数 n をすべて求める

(2)pn​+2qn​+2rn​ を n で表す

(3)pn​+iqn​−(1+i)rn​ を n で表す（i は虚数単位）

(4)pn​=rn​ を満たすための n の必要十分条件を求める

(1)P1​(3,−1,1) を中心とする半径 5​ の球面 S1​、P2​(5,0,−1) を中心とする半径 2​ の球面 S2​ について、線分 P1​P2​ の長さを求める

(2)S1​ と S2​ が交わりをもつことを示し、交わりの円 C の半径と中心 P3​ の座標を求める

(3)C を含む平面を H とするとき、xy 平面と H の両方に平行で大きさが 1 のベクトルをすべて求める

(4)点 Q が C 上を動くとき、Q と xy 平面の距離 d の最大値と、それを与える Q の座標を求める

(1)x≧2 で f(x)=xlog(2x−3)​ とするとき、f′(x)=x2(2x−3)g(x)​ となる g(x) を求める

(2)g(α)=0 を満たす 2 以上の実数 α がただ1つ存在することを示す

(3)f(x)（x≧2）の増減と x→∞lim​f(x) を調べ、y=f(x) のグラフの概形を描く

(4)2≦m<n を満たす整数の組 (m,n) で (2m−3)n=(2n−3)m が成り立つものをすべて求める

(2)K の側面のうち、E の A から R までの部分、線分 PA、線分 PR で囲まれた部分の面積を S(θ) とするとき、0≦θ<θ+h≦2π​ で 22​h{r(θ)}2​≦S(θ+h)−S(θ)≦22​h{r(θ+h)}2​ を示す

(3)K の側面のうち、円 C の x≧0 の部分と曲線 E により囲まれた部分の面積 T を求める

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(1) $t > 1$ とし、正の実数 $x$ が (a) $x > \frac{1}{t - 1}$ と (b) $x ≧ 2 lo g_{t} x$ をともに満たすとき、 $x + 1 > 2 lo g_{t} (x + 1)$ を示す

(2) $n ≦ 2 lo g_{2} n$ を満たす正の整数 $n$ をすべて求める

(2) $p_{n} + 2 q_{n} + 2 r_{n}$ を $n$ で表す

(3) $p_{n} + i q_{n} - (1 + i) r_{n}$ を $n$ で表す（ $i$ は虚数単位）

(4) $p_{n} = r_{n}$ を満たすための $n$ の必要十分条件を求める

(1) $P_{1} (3, - 1, 1)$ を中心とする半径 $5$ の球面 $S_{1}$ 、 $P_{2} (5, 0, - 1)$ を中心とする半径 $2$ の球面 $S_{2}$ について、線分 $P_{1} P_{2}$ の長さを求める

(2) $S_{1}$ と $S_{2}$ が交わりをもつことを示し、交わりの円 $C$ の半径と中心 $P_{3}$ の座標を求める

(3) $C$ を含む平面を $H$ とするとき、 $x y$ 平面と $H$ の両方に平行で大きさが $1$ のベクトルをすべて求める

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(1) $x ≧ 2$ で $f (x) = \frac{lo g ( 2 x - 3 )}{x}$ とするとき、 $f^{'} (x) = \frac{g ( x )}{x ^{2} ( 2 x - 3 )}$ となる $g (x)$ を求める

(2) $g (α) = 0$ を満たす $2$ 以上の実数 $α$ がただ1つ存在することを示す

(3) $f (x)$ （ $x ≧ 2$ ）の増減と $x \to \infty lim f (x)$ を調べ、 $y = f (x)$ のグラフの概形を描く

(4) $2 ≦ m < n$ を満たす整数の組 $(m, n)$ で $(2 m - 3)^{n} = (2 n - 3)^{m}$ が成り立つものをすべて求める

(3) $K$ の側面のうち、円 $C$ の $x ≧ 0$ の部分と曲線 $E$ により囲まれた部分の面積 $T$ を求める