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東北大学 2024年度 前期日程 理系
第4問 空間図形の解答・解説
2球面の交わり・交円の中心と半径・平面に平行な単位ベクトル・座標の最大最小当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12
問題文について
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(1) を中心とする半径 の球面 、 を中心とする半径 の球面 について、線分 の長さを求める
答
座標の差をとって2乗和の平方根をとるだけ。
なので
である。
は長さ のきれいなベクトルで、以降この方向が交円の平面の法線になる。
数値でも になった。
(2) と が交わりをもつことを示し、交わりの円 の半径と中心 の座標を求める
答半径 、
中心間距離 と2つの半径で「」を確かめれば交わる。交円の平面は2式の差をとれば出るので、 からの距離を測って半径が決まる。
交わること。 、、 である。
で だから、2球面は交わる（根号のまま示すなら、 は明らか、 は両辺2乗して 、すなわち から従う）。
交円の平面。 2球面の方程式は
である。辺々引くと2次の項が消えて
すなわち
である。これが を含む平面 で、法線ベクトルは である。
中心と半径。 から までの距離は
である。 は から に下ろした垂線の足なので、単位法線 を使って
である（向きは 側。実際 ① に代入すると で平面上にある）。半径は三平方の定理から
である。
で、 からの距離は 、 が半径だった。
2つの球面の方程式を引き算すると平面の式になる（根軸の3次元版）。これが交円を含む平面である。
は と を結ぶ線分上にある。 からの距離 を単位法線にかけて足す。
(3) を含む平面を とするとき、 平面と の両方に平行で大きさが のベクトルをすべて求める
答
「 平面に平行」は 成分が 、「 に平行」は法線と垂直。2本の条件で方向が決まり、大きさ で符号ちがいの2つになる。
求めるベクトルを とする。
- 平面に平行：
- に平行：法線 と垂直なので
- 大きさ ：
である。 を2番目に入れて 、3番目に入れて
である。よって
の2つである。
この方向は と 平面の交線の方向でもある。(4) では、これと垂直な「 内でいちばん が変わる方向」が主役になる。
は大きさ で、 との内積が だった。
「平面に平行」は「法線と垂直」。法線と平行ではない。
答えは2つ（向きが逆）。「すべて求めよ」なので を落とさない。
(4)点 が 上を動くとき、 と 平面の距離 の最大値と、それを与える の座標を求める
答最大値 、
なので、 上で 座標がどこまで動くかを調べる。 の中心 から見て、 がいちばん変わるのは「 を平面 に正射影した向き」である。その向きの単位ベクトルを作れば、両端の がすぐ出る。
と 平面の距離は （ は の 座標）である。 は中心 、半径 、法線 （単位ベクトル）の円である。
がいちばん変わる向き。 を平面 に正射影すると
で、その大きさは
である。 上の点は、 方向の単位ベクトル とそれに垂直な単位ベクトル （ともに 内）を使って
と書ける。 は と垂直で 内にあるから 、つまり 成分は である。一方 の 成分は である。よって の 座標は
となり、 の範囲を動く。両端の絶対値は
なので、 の最大値は
である。これは 、すなわち のときで
だから
である。
の 成分が に等しいのは、正射影の作り方からの一般的な事実である。 と計算してもよい。
求めた は からの距離が 、 からの距離が で、 だった。
は ではなく 。 の動く範囲が をまたぐので、両端の絶対値を比べる。
の振れ幅は半径 そのものではなく、 倍になる。平面が 平面に対して傾いているぶんだけ縮む。
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