東京大学　2026年度　前期日程　文科

第1問 2次関数・積分法の解答・解説

放物線の頂点・6分の1公式・y切片の条件・1文字への集約当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/05

問題文について

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面積 $S$ のとりうる値の範囲を求める

答 $\frac{4 3}{3} \leq S \leq 4$

方針 $α, β, k$ の3文字あるが、頂点の条件2本で1文字に集約できる。 $d = \frac{β - α}{2}$ とおくと、 $y$ 切片も面積も $d$ だけの式になる。

$y = k (x - α) (β - x)$ は上に凸で、軸は $x = \frac{α + β}{2}$ 。頂点が $(- 3, 1)$ だから

\frac{α + β}{2} = - 3, k (\frac{β - α}{2})^{2} = 1

$d = \frac{β - α}{2} > 0$ とおくと $α = - 3 - d, β = - 3 + d$ 、 $k = \frac{1}{d ^{2}}$ 。

$y$ 切片は $x = 0$ を入れて

- k α β = - \frac{( - 3 - d ) ( - 3 + d )}{d ^{2}} = - \frac{9 - d ^{2}}{d ^{2}} = 1 - \frac{9}{d ^{2}}

これが $- 2$ 以上 $0$ 以下なので

$1 - \frac{9}{d ^{2}} \geq - 2 ⟺ d^{2} \geq 3 ⟺ d \geq 3$
$1 - \frac{9}{d ^{2}} \leq 0 ⟺ d^{2} \leq 9 ⟺ d \leq 3$

よって $3 \leq d \leq 3$ 。面積は6分の1公式から

S = \int_{α}^{β} k (x - α) (β - x) d x = \frac{k ( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{1}{d ^{2}} \cdot \frac{( 2 d ) ^{3}}{6} = \frac{4}{3} d

$S = \frac{4}{3} d$ は $d$ の増加関数だから、 $3 \leq d \leq 3$ より $\frac{4 3}{3} \leq S \leq 4$ 。

検算

$d = 3$ のとき $k = \frac{1}{9}, α = - 6, β = 0$ で、 $C$ は原点を通る（ $y$ 切片 $0$ ）。このとき $S = 4$ 。 $d = 3$ のとき $k = \frac{1}{3}$ で $y$ 切片は $- 2$ 、 $S = \frac{4 3}{3} = 2.309 \dots$ 。どちらも端点がちょうど条件を満たす。

答案で省略しない方がよい点

$y$ 切片は $k \cdot (0 - α) (β - 0) = - k α β$ 。符号を取り違えやすいので、 $α < 0 < \dots$ の位置関係に頼らず式で出す。
6分の1公式は $\int_{α}^{β} (x - α) (β - x) d x = \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ 。 $(x - α) (x - β)$ の形との符号の違いに注意。
$d$ の範囲の端点が両方とも取れるので、答えは閉区間になる。