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東北大学　2020年度　前期日程　文系

第1問積分法の解答・解説

区分けされた関数・6分の1公式・3次関数の増減・端点での最大当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1) $a$ を $- 2 ≦ a ≦ 3$ を満たす実数とし、 $f (x)$ を「 $x < - 2$ では $0$ 、 $- 2 ≦ x ≦ a$ では $(x - a) (x + 2)$ 、 $a ≦ x ≦ 3$ では $2 (x - a) (x - 3)$ 、 $x > 3$ では $0$ 」で定める。曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を $S (a)$ とするとき、 $S (a)$ を求める

答 $S (a) = \frac{( a + 2 ) ^{3}}{6} + \frac{( 3 - a ) ^{3}}{3}$

どちらの区間でも $f (x) ≦ 0$ なので、面積は $- f$ の積分。 $\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = - \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ （6分の1公式）がそのまま使える形になっている。

符号。 $- 2 ≦ x ≦ a$ では $x + 2 ≧ 0$ 、 $x - a ≦ 0$ なので $f (x) ≦ 0$ 。 $a ≦ x ≦ 3$ では $x - a ≧ 0$ 、 $x - 3 ≦ 0$ なので $f (x) ≦ 0$ 。どちらも $x$ 軸より下にある。

したがって

S (a) = - \int_{- 2}^{a} (x - a) (x + 2) d x - \int_{a}^{3} 2 (x - a) (x - 3) d x

である。6分の1公式 $\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = - \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ を使うと

\int_{- 2}^{a} (x + 2) (x - a) d x = - \frac{( a + 2 ) ^{3}}{6}, \int_{a}^{3} (x - a) (x - 3) d x = - \frac{( 3 - a ) ^{3}}{6}

なので

S (a) = \frac{( a + 2 ) ^{3}}{6} + 2 \cdot \frac{( 3 - a ) ^{3}}{6} = \frac{( a + 2 ) ^{3}}{6} + \frac{( 3 - a ) ^{3}}{3}

である。

a = 1 のときの y = f(x)。x < -2 と x > 3 では 0、そのあいだは2つの放物線の一部でどちらも x 軸より下にある。網かけの合計が S(a)。a が動くと2つの山のつなぎ目が左右に動く。

$a = - 2$ のときは左側の山がつぶれて $S = \frac{125}{3}$ 、 $a = 3$ のときは右側がつぶれて $S = \frac{125}{6}$ になる。

$a$ を7通りとって数値積分すると、この式とすべて小数9桁まで一致した。

$f$ は $x$ 軸より下にあるので、面積は積分の値そのものではなく符号を反転したもの。

右側の係数 $2$ を忘れない。6分の1公式の結果を $2$ 倍する。

(2) $S (a)$ が最大となる $a$ の値を求め、また $S (a)$ が最小となる $a$ の値を求める

答最大は $a = - 2$ 、最小は $a = 8 - 52$

$S$ を微分する。 $S^{'} (a) = 0$ は $(a + 2)^{2} = 2 (3 - a)^{2}$ という形で、平方根をとれば1次方程式になる。

(1) の $S (a)$ を微分すると

S^{'} (a) = \frac{3 ( a + 2 ) ^{2}}{6} - \frac{3 ( 3 - a ) ^{2}}{3} = \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2} - (3 - a)^{2}

である（ $(3 - a)^{3}$ の微分は $- 3 (3 - a)^{2}$ なので、 $\frac{1}{3}$ 倍して $- (3 - a)^{2}$ ）。 $S^{'} (a) = 0$ は

(a + 2)^{2} = 2 (3 - a)^{2}

である。 $- 2 ≦ a ≦ 3$ では $a + 2 ≧ 0$ 、 $3 - a ≧ 0$ なので、両辺の平方根をとって

a + 2 = 2 (3 - a), (1 + 2) a = 32 - 2

すなわち

a = \frac{3 2 - 2}{1 + 2} = \frac{( 3 2 - 2 ) ( 2 - 1 )}{( 2 + 1 ) ( 2 - 1 )} = 6 - 32 - 22 + 2 = 8 - 52

である。 $8 - 52 = 0.928 \dots$ で、確かに $- 2 ≦ a ≦ 3$ の内部にある。

増減。 $S^{'} (- 2) = 0 - 25 = - 25 < 0$ 、 $S^{'} (3) = \frac{25}{2} - 0 > 0$ なので

$- 2 ≦ a < 8 - 52$ ： $S^{'} (a) < 0$ で減少
$8 - 52 < a ≦ 3$ ： $S^{'} (a) > 0$ で増加

である。したがって最小は $a = 8 - 52$ でとる。最大は両端のどちらかで、

S (- 2) = \frac{0}{6} + \frac{5 ^{3}}{3} = \frac{125}{3}, S (3) = \frac{5 ^{3}}{6} + 0 = \frac{125}{6}

を比べると $\frac{125}{3} > \frac{125}{6}$ なので、最大は $a = - 2$ である。よって

最大となる a = - 2, 最小となる a = 8 - 52

である。

最小値は $S (8 - 52) = \frac{125 ( 3 - 2 2 )}{3} = 7.148 \dots$ である。

$a$ を $5 \times 1 0^{- 5}$ 刻みで走査すると、最小は $a = 0.92895$ （ $8 - 52 = 0.928932$ ）、最大は $a = - 2$ だった。

$S^{'} (a) = 0$ の2乗を外すとき、 $a + 2 ≧ 0$ と $3 - a ≧ 0$ を使って正の平方根だけをとる。

最大は内部の極値ではなく端点。両端の値を比べることを忘れない。

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(1)a を −2≦a≦3 を満たす実数とし、f(x) を「x<−2 では 0、−2≦x≦a では (x−a)(x+2)、a≦x≦3 では 2(x−a)(x−3)、x>3 では 0」で定める。曲線 y=f(x) と x 軸で囲まれる図形の面積を S(a) とするとき、S(a) を求める

(2)S(a) が最大となる a の値を求め、また S(a) が最小となる a の値を求める

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