第4問 確率・ベクトルの解答・解説

成分で書くと

である。足すと

で、硬貨は6枚なので $s+t=6$ である。よって

で、表裏の出かたによらず一定である。

つまり $\vec{p}$ の終点は、いつも直線 $x+y=6$ の上にある。(3) ではこの事実が効いてくる。

$2s-t=0$ かつ $-s+2t=6$ とする。1本目より $t=2s$ で、2本目に入れると

である（$s+t=6$ も満たす ✓）。表が2枚出る確率は

である。

$t=6-s$ を代入すると

である。向きは $\left(s-2,4-s\right)$ で決まるので、$s=0,1,\dots ,6$ の7通りを調べればよい。なす角 $\theta$ が $\frac{\pi }{6}$ 以下という条件は

である。$\left|\vec{q}\right|=\sqrt{10}$ に注意して、向きベクトル $\vec{u}=\left(s-2,4-s\right)$ ごとに計算する。

1. $s=0$：$\vec{u}=\left(-2,4\right)$、$\vec{u}\cdot \vec{q}=-2$ で負。不適
2. $s=1$：$\vec{u}=\left(-1,3\right)$、$\vec{u}\cdot \vec{q}=0$ で $\theta =\frac{\pi }{2}$。不適
3. $s=2$：$\vec{u}=\left(0,2\right)$、$\cos \theta =\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=0.316$。不適
4. $s=3$：$\vec{u}=\left(1,1\right)$、$\cos \theta =\frac{4}{\sqrt{2}\sqrt{10}}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=0.894$。適する
5. $s=4$：$\vec{u}=\left(2,0\right)$、$\cos \theta =\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=0.949$。適する
6. $s=5$：$\vec{u}=\left(3,-1\right)$、$\cos \theta =\frac{8}{\sqrt{10}\sqrt{10}}=\frac{8}{10}=0.8$。不適
7. $s=6$：$\vec{u}=\left(4,-2\right)$、$\cos \theta =\frac{10}{\sqrt{20}\sqrt{10}}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=0.707$。不適

（$\frac{2}{\sqrt{5}}=0.8944$、$\frac{\sqrt{3}}{2}=0.8660$ なので $s=3$ は適する。$0.8<0.866$ なので $s=5$ は不適。）適するのは $s=3,4$ である。よって確率は

である。

$s=5$ のときの $0.8$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}=0.866\cdots$ の比較は、$0.8^2=0.64$ と ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=0.75$ を比べれば確実である。