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全4問・無料

東北大学　2020年度　前期日程　文系

東北大文系 2020年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　積分法

区分けされた関数・6分の1公式・3次関数の増減・端点での最大当サイトの体感難易度：標準

(1) $a$ を $- 2 ≦ a ≦ 3$ を満たす実数とし、 $f (x)$ を「 $x < - 2$ では $0$ 、 $- 2 ≦ x ≦ a$ では $(x - a) (x + 2)$ 、 $a ≦ x ≦ 3$ では $2 (x - a) (x - 3)$ 、 $x > 3$ では $0$ 」で定める。曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を $S (a)$ とするとき、 $S (a)$ を求める

答 $S (a) = \frac{( a + 2 ) ^{3}}{6} + \frac{( 3 - a ) ^{3}}{3}$

どちらの区間でも $f (x) ≦ 0$ なので、面積は $- f$ の積分。 $\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = - \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ （6分の1公式）がそのまま使える形になっている。

符号。 $- 2 ≦ x ≦ a$ では $x + 2 ≧ 0$ 、 $x - a ≦ 0$ なので $f (x) ≦ 0$ 。 $a ≦ x ≦ 3$ では $x - a ≧ 0$ 、 $x - 3 ≦ 0$ なので $f (x) ≦ 0$ 。どちらも $x$ 軸より下にある。

したがって

S (a) = - \int_{- 2}^{a} (x - a) (x + 2) d x - \int_{a}^{3} 2 (x - a) (x - 3) d x

である。6分の1公式 $\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = - \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ を使うと

\int_{- 2}^{a} (x + 2) (x - a) d x = - \frac{( a + 2 ) ^{3}}{6}, \int_{a}^{3} (x - a) (x - 3) d x = - \frac{( 3 - a ) ^{3}}{6}

なので

S (a) = \frac{( a + 2 ) ^{3}}{6} + 2 \cdot \frac{( 3 - a ) ^{3}}{6} = \frac{( a + 2 ) ^{3}}{6} + \frac{( 3 - a ) ^{3}}{3}

である。

a = 1 のときの y = f(x)。x < -2 と x > 3 では 0、そのあいだは2つの放物線の一部でどちらも x 軸より下にある。網かけの合計が S(a)。a が動くと2つの山のつなぎ目が左右に動く。

$a = - 2$ のときは左側の山がつぶれて $S = \frac{125}{3}$ 、 $a = 3$ のときは右側がつぶれて $S = \frac{125}{6}$ になる。

$a$ を7通りとって数値積分すると、この式とすべて小数9桁まで一致した。

$f$ は $x$ 軸より下にあるので、面積は積分の値そのものではなく符号を反転したもの。

右側の係数 $2$ を忘れない。6分の1公式の結果を $2$ 倍する。

(2) $S (a)$ が最大となる $a$ の値を求め、また $S (a)$ が最小となる $a$ の値を求める

答最大は $a = - 2$ 、最小は $a = 8 - 52$

$S$ を微分する。 $S^{'} (a) = 0$ は $(a + 2)^{2} = 2 (3 - a)^{2}$ という形で、平方根をとれば1次方程式になる。

(1) の $S (a)$ を微分すると

S^{'} (a) = \frac{3 ( a + 2 ) ^{2}}{6} - \frac{3 ( 3 - a ) ^{2}}{3} = \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2} - (3 - a)^{2}

である（ $(3 - a)^{3}$ の微分は $- 3 (3 - a)^{2}$ なので、 $\frac{1}{3}$ 倍して $- (3 - a)^{2}$ ）。 $S^{'} (a) = 0$ は

(a + 2)^{2} = 2 (3 - a)^{2}

である。 $- 2 ≦ a ≦ 3$ では $a + 2 ≧ 0$ 、 $3 - a ≧ 0$ なので、両辺の平方根をとって

a + 2 = 2 (3 - a), (1 + 2) a = 32 - 2

すなわち

a = \frac{3 2 - 2}{1 + 2} = \frac{( 3 2 - 2 ) ( 2 - 1 )}{( 2 + 1 ) ( 2 - 1 )} = 6 - 32 - 22 + 2 = 8 - 52

である。 $8 - 52 = 0.928 \dots$ で、確かに $- 2 ≦ a ≦ 3$ の内部にある。

増減。 $S^{'} (- 2) = 0 - 25 = - 25 < 0$ 、 $S^{'} (3) = \frac{25}{2} - 0 > 0$ なので

$- 2 ≦ a < 8 - 52$ ： $S^{'} (a) < 0$ で減少
$8 - 52 < a ≦ 3$ ： $S^{'} (a) > 0$ で増加

である。したがって最小は $a = 8 - 52$ でとる。最大は両端のどちらかで、

S (- 2) = \frac{0}{6} + \frac{5 ^{3}}{3} = \frac{125}{3}, S (3) = \frac{5 ^{3}}{6} + 0 = \frac{125}{6}

を比べると $\frac{125}{3} > \frac{125}{6}$ なので、最大は $a = - 2$ である。よって

最大となる a = - 2, 最小となる a = 8 - 52

である。

最小値は $S (8 - 52) = \frac{125 ( 3 - 2 2 )}{3} = 7.148 \dots$ である。

$a$ を $5 \times 1 0^{- 5}$ 刻みで走査すると、最小は $a = 0.92895$ （ $8 - 52 = 0.928932$ ）、最大は $a = - 2$ だった。

$S^{'} (a) = 0$ の2乗を外すとき、 $a + 2 ≧ 0$ と $3 - a ≧ 0$ を使って正の平方根だけをとる。

最大は内部の極値ではなく端点。両端の値を比べることを忘れない。

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第2問　整数

数学的帰納法・指数の大小・小さい場合の調べ上げ・不定方程式当サイトの体感難易度：標準

(1) $n ≧ 3$ のとき $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ が成り立つことを示す

答 $n = 3$ で $25 < 27$ 。帰納法の step は $3 \cdot 3^{n} > 3 (2^{n} + n^{2} + 8)$ と $2 \cdot 2^{n} + (n + 1)^{2} + 8 ≦ 3 \cdot 2^{n} + 3 n^{2} + 24$ から

数学的帰納法。 $3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n}$ と $3$ 倍になるのに対し、左辺は $2^{n}$ が $2$ 倍、 $n^{2}$ が少し増えるだけなので、余裕をもって押さえられる。

$n = 3$ のとき $2^{3} + 3^{2} + 8 = 25$ 、 $3^{3} = 27$ で $25 < 27$ ✓。

$n ≧ 3$ で $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ が成り立つと仮定する。このとき

3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n} > 3 (2^{n} + n^{2} + 8) = 3 \cdot 2^{n} + 3 n^{2} + 24

である。一方、示したい式の左辺は

2^{n + 1} + (n + 1)^{2} + 8 = 2 \cdot 2^{n} + n^{2} + 2 n + 9

である。両者の差をとると

(3 \cdot 2^{n} + 3 n^{2} + 24) - (2 \cdot 2^{n} + n^{2} + 2 n + 9) = 2^{n} + 2 n^{2} - 2 n + 15

で、 $2^{n} > 0$ 、 $2 n^{2} - 2 n = 2 n (n - 1) ≧ 0$ （ $n ≧ 1$ ）だからこれは正である。よって

2^{n + 1} + (n + 1)^{2} + 8 < 3 \cdot 2^{n} + 3 n^{2} + 24 < 3^{n + 1}

となり、 $n + 1$ でも成り立つ。数学的帰納法より $n ≧ 3$ のすべてで成り立つ。 $■$

$n = 3, \dots, 11$ で数値を比べると、差 $3^{n} - (2^{n} + n^{2} + 8)$ は $2, 41, 178, 621, 2002, 6233, 19082, 57917, 174970$ とどんどん開いた。

$3^{n + 1} > 3 (左辺)$ という「3倍の余裕」を作ってから比べる。直接 $2^{n + 1} + \dots < 3^{n + 1}$ を示そうとすると手がかりが少ない。

(2)不等式 $2^{n} + n^{2} + 8 ≧ 3^{n}$ を満たす $n$ をすべて求める

答 $n = 1, 2$

(1) より $n ≧ 3$ はすべて不適。残る $n = 1, 2$ を直接確かめるだけ。

(1) より $n ≧ 3$ では $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ なので、条件を満たさない。残りを調べる。

$n = 1$ ： $2 + 1 + 8 = 11 ≧ 3$ ✓
$n = 2$ ： $4 + 4 + 8 = 16 ≧ 9$ ✓

よって求める $n$ は

n = 1, 2

である。

$n = 1, \dots, 11$ を計算すると、 $≧$ になるのは $n = 1, 2$ だけだった。

(3)等式 $2^{n} + n^{2} + 8 = 3^{n} + an + b$ を満たす $a, b, n$ （ $a, b$ は $0$ 以上の整数、 $n$ は正の整数）の組をすべて求める

答 $n = 1$ で $a + b = 8$ となる9組、 $n = 2$ で $2 a + b = 7$ となる4組、計13組

$a, b ≧ 0$ なので右辺の $an + b$ は $0$ 以上。したがって $2^{n} + n^{2} + 8 - 3^{n} ≧ 0$ が必要で、(2) から $n$ が $1$ か $2$ に限られる。

$D (n) = 2^{n} + n^{2} + 8 - 3^{n}$ とおくと、条件は

D (n) = an + b

である。 $a, b ≧ 0$ 、 $n ≧ 1$ より右辺は $0$ 以上だから $D (n) ≧ 0$ が必要で、(2) より $n = 1$ または $n = 2$ である。

$n = 1$ 。 $D (1) = 2 + 1 + 8 - 3 = 8$ なので $a + b = 8$ である。 $a, b ≧ 0$ の整数だから

(a, b) = (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0)

の9組である。

$n = 2$ 。 $D (2) = 4 + 4 + 8 - 9 = 7$ なので $2 a + b = 7$ である。 $b = 7 - 2 a ≧ 0$ より $a ≦ 3$ だから

(a, b) = (0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1)

の4組である。

以上、求める組 $(a, b, n)$ は合わせて13組である。

$a, b$ が $0$ 以上という条件が、 $n$ を2通りに絞る決め手になっている。もし $a, b$ が負でもよければ、どの $n$ でも解が作れてしまう。

全探索すると $n = 1$ で9組、 $n = 2$ で4組の計13組だった。

$a = 0$ や $b = 0$ も「 $0$ 以上の整数」なので含める。

$n$ が先に決まり、そのあと $a, b$ の組を数える、という順番で考える。

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第3問　図形と方程式

円と直線の距離・共有点の個数・連立方程式・集合の要素数当サイトの体感難易度：やや難

(1) $a \neq = 0$ の実数とし、円 $C : x^{2} - 2 a x + y^{2} - 4 y + 4 = 0$ 、直線 $L : - 4 x + 3 y + a = 0$ 、直線 $M : 3 x + 4 y - 7 a = 0$ を考えるとき、 $L$ と $M$ の交点が $C$ 上にあるような $a$ を求める

答 $a = 1$

まず $L$ と $M$ を連立して交点を求める。係数が $(- 4, 3)$ と $(3, 4)$ で直交しているので、消去もきれいに進む。

$C$ を平方完成すると

(x - a)^{2} + (y - 2)^{2} = a^{2}

なので、中心 $(a, 2)$ 、半径 $∣ a ∣$ の円である（ $a \neq = 0$ なので半径は正）。

$L, M$ を連立する。

{- 4 x + 3 y = - a 3 x + 4 y = 7 a

上を $4$ 倍、下を $3$ 倍して引くと $- 25 x = - 25 a$ 、つまり $x = a$ である。上に戻して $- 4 a + 3 y = - a$ より $y = a$ だから、交点は

(a, a)

である。これが $C$ 上にある条件は

(a - a)^{2} + (a - 2)^{2} = a^{2}, a^{2} - 4 a + 4 = a^{2}

すなわち $- 4 a + 4 = 0$ で、 $a = 1$ である。

$L$ の法線ベクトルは $(- 4, 3)$ 、 $M$ の法線ベクトルは $(3, 4)$ で、内積は $- 12 + 12 = 0$ 。つまり $L ⊥ M$ である。(3) でこの事実は直接は使わないが、図を描くときの見当になる。

$a = 1$ のとき交点は $(1, 1)$ で、 $C : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ に代入すると $0 + 1 = 1$ で成り立つ。

(2) $C$ と $L$ が異なる2つの共有点をもつような $a$ の範囲を求める

答 $a < - 3$ または $a > \frac{3}{4}$

中心から直線までの距離が半径より小さい、という条件を書く。両辺とも $0$ 以上なので2乗して比べられる。

中心 $(a, 2)$ と $L : - 4 x + 3 y + a = 0$ の距離は

\frac{∣ - 4 a + 6 + a ∣}{( - 4 ) ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{∣ - 3 a + 6 ∣}{5} = \frac{3 ∣ a - 2 ∣}{5}

である。異なる2点で交わる条件は、これが半径 $∣ a ∣$ より小さいことなので

\frac{3 ∣ a - 2 ∣}{5} < ∣ a ∣, 9 (a - 2)^{2} < 25 a^{2}

である（両辺 $0$ 以上なので2乗してよい）。展開して整理すると

9 a^{2} - 36 a + 36 < 25 a^{2}, 16 a^{2} + 36 a - 36 > 0, 4 a^{2} + 9 a - 9 > 0

である。左辺は $(4 a - 3) (a + 3)$ と因数分解できるので

(4 a - 3) (a + 3) > 0, a < - 3 または a > \frac{3}{4}

である（いずれも $a \neq = 0$ を満たす）。

$a = 1$ では距離 $\frac{3}{5} < 1$ で2点、 $a = \frac{1}{2}$ では $\frac{3 \cdot 1.5}{5} = 0.9 > 0.5$ で共有点なしだった。

半径は $a$ ではなく $∣ a ∣$ 。 $a < 0$ の場合を落とさない。

(3)集合 ${P ∣ P は C と L の共有点} \cup {P ∣ P は C と M の共有点}$ の要素の個数が $3$ となる $a$ をすべて求める

答 $a = - 8, \frac{8}{9}, 1$

$C$ と $M$ についても (2) と同じ計算をする。2つの集合が共通の要素をもつのは、その点が $L$ と $M$ の交点 $(a, a)$ でもあるときに限るので、(1) から $a = 1$ のときだけ。それ以外は個数を足すだけである。

a = 1 のとき。L と M は直交し、その交点 (1, 1) が円 C 上にある。C は L とも M とも2点で交わるが、そのうち1点が共通なので和集合は3個になる。

$C$ と $M$ 。 中心 $(a, 2)$ と $M : 3 x + 4 y - 7 a = 0$ の距離は

\frac{∣ 3 a + 8 - 7 a ∣}{5} = \frac{4 ∣ a - 2 ∣}{5}

である。これと半径 $∣ a ∣$ を比べると

$16 (a - 2)^{2} < 25 a^{2} ⟺ 9 a^{2} + 64 a - 64 > 0 ⟺ (9 a - 8) (a + 8) > 0 ⟺ a < - 8$ または $a > \frac{8}{9}$ ：2点
$(9 a - 8) (a + 8) = 0 ⟺ a = - 8$ または $a = \frac{8}{9}$ ：1点（接する）
それ以外：0点

である。(2) と同様に $C$ と $L$ については

$a < - 3$ または $a > \frac{3}{4}$ ：2点
$a = - 3$ または $a = \frac{3}{4}$ ：1点
それ以外：0点

である。

重なりの有無。 2つの集合が共通の点をもつなら、その点は $L$ 上にも $M$ 上にもあるので $L$ と $M$ の交点 $(a, a)$ であり、かつ $C$ 上にある。(1) よりそれは $a = 1$ のときだけである。

$a \neq = 1$ のとき。 2つの集合は交わらないので、要素数は $∣ C \cap L ∣ + ∣ C \cap M ∣$ である。これが $3$ になるのは $(2, 1)$ か $(1, 2)$ の組み合わせのときである。

$∣ C \cap L ∣ = 1$ は $a = - 3, \frac{3}{4}$ 。このとき $∣ C \cap M ∣ = 2$ には $a < - 8$ か $a > \frac{8}{9}$ が必要だが、 $- 3$ も $\frac{3}{4}$ も当てはまらない。不適
$∣ C \cap M ∣ = 1$ は $a = - 8, \frac{8}{9}$ 。 $a = - 8$ は $a < - 3$ を満たし、 $a = \frac{8}{9}$ は $\frac{8}{9} > \frac{3}{4}$ を満たすので、どちらも $∣ C \cap L ∣ = 2$ 。適する

$a = 1$ のとき。 距離は $L$ について $\frac{3}{5}$ 、 $M$ について $\frac{4}{5}$ で、どちらも半径 $1$ より小さいので $∣ C \cap L ∣ = ∣ C \cap M ∣ = 2$ である。共通の点 $(1, 1)$ が1つあるので、和集合の要素数は

2 + 2 - 1 = 3

で、条件を満たす。

以上より、求める $a$ は

a = - 8, \frac{8}{9}, 1

である。

$a = - 8$ では $L$ との距離 $6 < 8$ （2点）、 $M$ との距離 $8 = 8$ （接する）で和集合3個。 $a = \frac{8}{9}$ では $\frac{2}{3} < \frac{8}{9}$ （2点）と $\frac{8}{9} = \frac{8}{9}$ （接する）で3個だった。

$a = 1$ の「2点ずつだが1点が共通」を見落としやすい。(1) はそのための誘導である。

$∣ C \cap L ∣ = 1$ の2つの値がいずれも $∣ C \cap M ∣ = 2$ の条件を満たさないことを、きちんと確認する。

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第4問　確率・ベクトル

反復試行・ベクトルの成分・内積となす角・二項係数当サイトの体感難易度：標準

(1) $6$ 枚の硬貨を同時に投げて、表がでた硬貨が $s$ 枚、裏がでた硬貨が $t$ 枚であったとき、ベクトル $p = (x, y)$ を $p = s (2, - 1) + t (- 1, 2)$ で定める。 $x + y$ の値を求める

答 $x + y = 6$

成分を足すと、 $(2, - 1)$ も $(- 1, 2)$ も成分の和が $1$ であることが効く。

成分で書くと

x = 2 s - t, y = - s + 2 t

である。足すと

x + y = (2 s - t) + (- s + 2 t) = s + t

で、硬貨は6枚なので $s + t = 6$ である。よって

x + y = 6

で、表裏の出かたによらず一定である。

つまり $p$ の終点は、いつも直線 $x + y = 6$ の上にある。(3) ではこの事実が効いてくる。

$64$ 通りをすべて計算すると、 $x + y$ はつねに $6$ だった。

(2) $p = (0, 6)$ となる確率を求める

答 $\frac{15}{64}$

成分を連立して $s$ を決めれば、あとはふつうの反復試行の確率。

$2 s - t = 0$ かつ $- s + 2 t = 6$ とする。1本目より $t = 2 s$ で、2本目に入れると

- s + 4 s = 6, s = 2, t = 4

である（ $s + t = 6$ も満たす ✓）。表が2枚出る確率は

_{6} C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{4} = \frac{15}{2 ^{6}} = \frac{15}{64}

である。

$64$ 通りのうち $15$ 通りで $p = (0, 6)$ になった。

(3) $p$ と $q = (3, 1)$ のなす角が $\frac{π}{6}$ 以下となる確率を求める

答 $\frac{35}{64}$

$t = 6 - s$ を入れると $p = 3 (s - 2, 4 - s)$ となり、 $s = 0, 1, \dots, 6$ の7通りしかない。あとは1つずつ $cos$ を計算して $\frac{3}{2}$ と比べるだけ。

$t = 6 - s$ を代入すると

p = (2 s - (6 - s), - s + 2 (6 - s)) = (3 s - 6, 12 - 3 s) = 3 (s - 2, 4 - s)

である。向きは $(s - 2, 4 - s)$ で決まるので、 $s = 0, 1, \dots, 6$ の7通りを調べればよい。なす角 $θ$ が $\frac{π}{6}$ 以下という条件は

cos θ = \frac{p \cdot q}{∣ p ∣ ∣ q ∣} ≧ cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2} = 0.866 \dots

である。 $∣ q ∣ = 10$ に注意して、向きベクトル $u = (s - 2, 4 - s)$ ごとに計算する。

$s = 0$ ： $u = (- 2, 4)$ 、 $u \cdot q = - 2$ で負。不適
$s = 1$ ： $u = (- 1, 3)$ 、 $u \cdot q = 0$ で $θ = \frac{π}{2}$ 。不適
$s = 2$ ： $u = (0, 2)$ 、 $cos θ = \frac{2}{2 10} = \frac{1}{10} = 0.316$ 。不適
$s = 3$ ： $u = (1, 1)$ 、 $cos θ = \frac{4}{2 10} = \frac{4}{2 5} = \frac{2}{5} = 0.894$ 。適する
$s = 4$ ： $u = (2, 0)$ 、 $cos θ = \frac{6}{2 10} = \frac{3}{10} = 0.949$ 。適する
$s = 5$ ： $u = (3, - 1)$ 、 $cos θ = \frac{8}{10 10} = \frac{8}{10} = 0.8$ 。不適
$s = 6$ ： $u = (4, - 2)$ 、 $cos θ = \frac{10}{20 10} = \frac{10}{10 2} = \frac{1}{2} = 0.707$ 。不適

（ $\frac{2}{5} = 0.8944$ 、 $\frac{3}{2} = 0.8660$ なので $s = 3$ は適する。 $0.8 < 0.866$ なので $s = 5$ は不適。）適するのは $s = 3, 4$ である。よって確率は

\frac{_{6} C _{3} + _{6} C _{4}}{2 ^{6}} = \frac{20 + 15}{64} = \frac{35}{64}

である。

s = 0 から 6 までの7通りの p は、すべて直線 x + y = 6 の上に等間隔に並ぶ。網かけは q = (3, 1) の向きから 30° 以内の範囲で、その中に入るのは s = 3 と s = 4 の2つ。

$s = 5$ のときの $0.8$ と $\frac{3}{2} = 0.866 \dots$ の比較は、 $0. 8^{2} = 0.64$ と $(\frac{3}{2})^{2} = 0.75$ を比べれば確実である。

$64$ 通りをすべて調べると、なす角が $3 0^{\circ}$ 以下になるのは $35$ 通りだった。

$p$ は7通りしかない。 $64$ 通りを1つずつ調べる必要はなく、 $s$ で分類する。

$cos$ の値を $\frac{3}{2}$ と比べるときは、どちらも正であることを確かめてから2乗して比べると間違えにくい。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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問題文について

(1)a を −2≦a≦3 を満たす実数とし、f(x) を「x<−2 では 0、−2≦x≦a では (x−a)(x+2)、a≦x≦3 では 2(x−a)(x−3)、x>3 では 0」で定める。曲線 y=f(x) と x 軸で囲まれる図形の面積を S(a) とするとき、S(a) を求める

(2)S(a) が最大となる a の値を求め、また S(a) が最小となる a の値を求める

(1)n≧3 のとき 2n+n2+8<3n が成り立つことを示す

(2)不等式 2n+n2+8≧3n を満たす n をすべて求める

(3)等式 2n+n2+8=3n+an+b を満たす a,b,n（a,b は 0 以上の整数、n は正の整数）の組をすべて求める

(1)a=0 の実数とし、円 C:x2−2ax+y2−4y+4=0、直線 L:−4x+3y+a=0、直線 M:3x+4y−7a=0 を考えるとき、L と M の交点が C 上にあるような a を求める

(2)C と L が異なる2つの共有点をもつような a の範囲を求める

(3)集合 {P∣P は C と L の共有点}∪{P∣P は C と M の共有点} の要素の個数が 3 となる a をすべて求める

(1)6 枚の硬貨を同時に投げて、表がでた硬貨が s 枚、裏がでた硬貨が t 枚であったとき、ベクトル p​=(x,y) を p​=s(2,−1)+t(−1,2) で定める。x+y の値を求める

(2)p​=(0,6) となる確率を求める

(3)p​ と q​=(3,1) のなす角が 6π​ 以下となる確率を求める

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(2) $S (a)$ が最大となる $a$ の値を求め、また $S (a)$ が最小となる $a$ の値を求める

(1) $n ≧ 3$ のとき $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ が成り立つことを示す

(2)不等式 $2^{n} + n^{2} + 8 ≧ 3^{n}$ を満たす $n$ をすべて求める

(3)等式 $2^{n} + n^{2} + 8 = 3^{n} + an + b$ を満たす $a, b, n$ （ $a, b$ は $0$ 以上の整数、 $n$ は正の整数）の組をすべて求める

(1) $a \neq = 0$ の実数とし、円 $C : x^{2} - 2 a x + y^{2} - 4 y + 4 = 0$ 、直線 $L : - 4 x + 3 y + a = 0$ 、直線 $M : 3 x + 4 y - 7 a = 0$ を考えるとき、 $L$ と $M$ の交点が $C$ 上にあるような $a$ を求める

(2) $C$ と $L$ が異なる2つの共有点をもつような $a$ の範囲を求める

(3)集合 ${P ∣ P は C と L の共有点} \cup {P ∣ P は C と M の共有点}$ の要素の個数が $3$ となる $a$ をすべて求める

(1) $6$ 枚の硬貨を同時に投げて、表がでた硬貨が $s$ 枚、裏がでた硬貨が $t$ 枚であったとき、ベクトル $p = (x, y)$ を $p = s (2, - 1) + t (- 1, 2)$ で定める。 $x + y$ の値を求める

(2) $p = (0, 6)$ となる確率を求める

(3) $p$ と $q = (3, 1)$ のなす角が $\frac{π}{6}$ 以下となる確率を求める