東京大学　2026年度　前期日程　文科

東大文系 2026年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　2次関数・積分法

放物線の頂点・6分の1公式・y切片の条件・1文字への集約当サイトの体感難易度：標準

面積 $S$ のとりうる値の範囲を求める

答 $\frac{4 3}{3} \leq S \leq 4$

方針 $α, β, k$ の3文字あるが、頂点の条件2本で1文字に集約できる。 $d = \frac{β - α}{2}$ とおくと、 $y$ 切片も面積も $d$ だけの式になる。

$y = k (x - α) (β - x)$ は上に凸で、軸は $x = \frac{α + β}{2}$ 。頂点が $(- 3, 1)$ だから

\frac{α + β}{2} = - 3, k (\frac{β - α}{2})^{2} = 1

$d = \frac{β - α}{2} > 0$ とおくと $α = - 3 - d, β = - 3 + d$ 、 $k = \frac{1}{d ^{2}}$ 。

$y$ 切片は $x = 0$ を入れて

- k α β = - \frac{( - 3 - d ) ( - 3 + d )}{d ^{2}} = - \frac{9 - d ^{2}}{d ^{2}} = 1 - \frac{9}{d ^{2}}

これが $- 2$ 以上 $0$ 以下なので

$1 - \frac{9}{d ^{2}} \geq - 2 ⟺ d^{2} \geq 3 ⟺ d \geq 3$
$1 - \frac{9}{d ^{2}} \leq 0 ⟺ d^{2} \leq 9 ⟺ d \leq 3$

よって $3 \leq d \leq 3$ 。面積は6分の1公式から

S = \int_{α}^{β} k (x - α) (β - x) d x = \frac{k ( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{1}{d ^{2}} \cdot \frac{( 2 d ) ^{3}}{6} = \frac{4}{3} d

$S = \frac{4}{3} d$ は $d$ の増加関数だから、 $3 \leq d \leq 3$ より $\frac{4 3}{3} \leq S \leq 4$ 。

検算

$d = 3$ のとき $k = \frac{1}{9}, α = - 6, β = 0$ で、 $C$ は原点を通る（ $y$ 切片 $0$ ）。このとき $S = 4$ 。 $d = 3$ のとき $k = \frac{1}{3}$ で $y$ 切片は $- 2$ 、 $S = \frac{4 3}{3} = 2.309 \dots$ 。どちらも端点がちょうど条件を満たす。

答案で省略しない方がよい点

$y$ 切片は $k \cdot (0 - α) (β - 0) = - k α β$ 。符号を取り違えやすいので、 $α < 0 < \dots$ の位置関係に頼らず式で出す。
6分の1公式は $\int_{α}^{β} (x - α) (β - x) d x = \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ 。 $(x - α) (x - β)$ の形との符号の違いに注意。
$d$ の範囲の端点が両方とも取れるので、答えは閉区間になる。

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第2問　確率・場合の数

余事象・一直線上に並ぶ3点・等差数列・偶奇で数える当サイトの体感難易度：やや難

(1) $p_{5}$ を求める

答 $p_{5} = \frac{412}{455}$

方針三角形にならない＝一直線上に並ぶ。余事象で数える。列が3本しかないので、縦・横・斜めの3通りしか起こらず、斜めは「等差数列」になる場合だけ。

$3 n$ 個の点から3点を選ぶ総数は $(3 3 n)$ 。一直線上に並ぶ組を数える。

縦（ $x$ が同じ）… 各列に $n$ 個なので $3 (3 n)$ 通り
それ以外 … 列が3本しかないので、縦でない直線は各列から1点ずつ。 $(1, a), (2, b), (3, c)$ が一直線上 $⟺ 2 b = a + c$

$2 b = a + c$ は「 $a, b, c$ がこの順に等差数列」。 $a, c$ を決めれば $b = \frac{a + c}{2}$ が決まり、 $1 \leq a, c \leq n$ なら $b$ も自動的に範囲に入る。だから $a \equiv c (mod 2)$ をみたす $(a, c)$ の個数を数えればよい（ $a = c$ のときが横一直線）。

$n = 5$ なら、奇数は $1, 3, 5$ の3個、偶数は $2, 4$ の2個なので $3^{2} + 2^{2} = 13$ 通り。縦は $3 (3 5) = 30$ 通り。合わせて $43$ 通り。

p_{5} = 1 - \frac{43}{( 3 15 )} = 1 - \frac{43}{455} = \frac{412}{455}

答案で省略しない方がよい点

横一直線（ $a = b = c$ ）は「各列から1点ずつ」に含まれている。縦と別に足すと二重に数える。
列が3本しかないことが効いている。縦でない直線には、1つの列から2点以上は乗らない。

(2) $m \geq 2$ のとき $p_{2 m}$ を求める

答 $p_{2 m} = \frac{m ( 16 m - 7 )}{( 6 m - 1 ) ( 3 m - 1 )}$

方針(1) と数え方は同じ。 $n = 2 m$ は偶数なので、 $1$ から $n$ までに奇数も偶数もちょうど $m$ 個ずつあり、 $a \equiv c$ の個数が $m^{2} + m^{2}$ ときれいに出る。

$n = 2 m$ では奇数・偶数がそれぞれ $m$ 個なので、 $a \equiv c (mod 2)$ をみたす $(a, c)$ は $m^{2} + m^{2} = 2 m^{2}$ 通り。縦は

3 (3 2 m) = \frac{( 2 m ) ( 2 m - 1 ) ( 2 m - 2 )}{2} = 2 m (2 m - 1) (m - 1)

一直線上に並ぶ組は合わせて

2 m (2 m - 1) (m - 1) + 2 m^{2} = 2 m {(2 m - 1) (m - 1) + m} = 2 m (2 m^{2} - 2 m + 1)

総数は $(3 6 m) = 2 m (6 m - 1) (3 m - 1)$ だから

p_{2 m} = 1 - \frac{2 m ^{2} - 2 m + 1}{( 6 m - 1 ) ( 3 m - 1 )} = \frac{18 m ^{2} - 9 m + 1 - ( 2 m ^{2} - 2 m + 1 )}{( 6 m - 1 ) ( 3 m - 1 )} = \frac{m ( 16 m - 7 )}{( 6 m - 1 ) ( 3 m - 1 )}

検算

$m = 2$ （ $n = 4$ ）とすると $\frac{2 \cdot 25}{11 \cdot 5} = \frac{10}{11}$ 。実際、 $12$ 点から3点を選ぶ $220$ 通りのうち、縦 $3 (3 4) = 12$ 通り、 $a \equiv c$ が $2 \cdot 2^{2} = 8$ 通りで、 $1 - \frac{20}{220} = \frac{10}{11}$ と合う。

答案で省略しない方がよい点

$(3 6 m)$ を展開するとき $\frac{6 m ( 6 m - 1 ) ( 6 m - 2 )}{6} = 2 m (6 m - 1) (3 m - 1)$ 。 $6 m - 2 = 2 (3 m - 1)$ を使うと約分が通る。
$n$ が奇数のときは奇数・偶数の個数が $1$ 個ずれるので、 $(2)$ の式はそのままでは使えない。 $(1)$ で $n = 5$ を別に数えたのはこのため。

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第3問　関数・方程式

折れ線（周期関数）・平方完成・相加相乗平均・共有点の個数の場合分け当サイトの体感難易度：難

(1) $x \geq 4$ で $f (x) > g (x)$ を示す

答 $4 \leq x < 5$ では $f (x) - g (x) = \frac{a}{8} (x - 1 - \frac{4}{a})^{2} > 0$ 、 $x \geq 5$ では $f (x) \geq f (5) > 1 \geq g (x)$

方針 $g$ の値は $0$ 以上 $1$ 以下。 $x \geq 5$ では「 $f$ が $1$ を超える」で済むが、 $x = 4$ の近くは $f$ がまだ小さいので粗すぎる。そこは $g$ の式を入れて平方完成する。判別式がちょうど $0$ になるのがこの問題の仕掛け。

$x \geq 5$ のとき。 $f$ は $x \geq 1$ で増加だから $f (x) \geq f (5) = 2 a + \frac{2}{a} - 3$ 。相加相乗平均より $2 a + \frac{2}{a} \geq 4$ で、等号は $a = 1$ のときだけ。 $0 < a < 1$ だから $f (5) > 1$ 。一方 $g (x) \leq 1$ なので $f (x) > g (x)$ 。

$4 \leq x < 5$ のとき。 $4 = 2 \cdot 2$ なので $g (x) = x - 4$ 。 $u = x - 1 \in [3, 4)$ とおくと

f (x) - g (x) = \frac{a}{8} u^{2} - u + \frac{2}{a} = \frac{a}{8} (u - \frac{4}{a})^{2}

（判別式が $1 - 4 \cdot \frac{a}{8} \cdot \frac{2}{a} = 0$ なので、完全平方になる。） $0 < a < 1$ より $\frac{4}{a} > 4 > u$ だから $u \neq = \frac{4}{a}$ で、この値は正。

以上より $x \geq 4$ でつねに $f (x) > g (x)$ 。

答案で省略しない方がよい点

$g (x) \leq 1$ だけで押し切ろうとすると、 $x = 4$ の近くで $f$ が $1$ を下回る場合（ $a$ が $1$ に近いとき）に失敗する。区間を分ける必要がある。
$2 a + \frac{2}{a} \geq 4$ の等号は $a = 1$ 。 $0 < a < 1$ で $a = 1$ が除かれているから狭義の不等号になる、と書いておく。

(2) $\frac{1}{2} < a < \frac{2}{3}$ のとき、 $x \geq 0$ での共有点の個数を求める

答 $\frac{1}{2} < a < 4 - 23$ のとき 2個、 $a = 4 - 23$ のとき 3個、 $4 - 23 < a < \frac{2}{3}$ のとき 4個

方針(1) より $x \geq 4$ には共有点がないので、調べるのは $0 \leq x < 4$ だけ。 $g$ の折れ目 $x = 1, 2, 3$ で区切り、各区間で $f - g$ が単調であることを使って、端の符号だけ見る。

$k = \frac{a}{8}, c = f (1) = \frac{2}{a} - 3$ とおく。 $\frac{1}{2} < a < \frac{2}{3}$ より $0 < c < 1$ 、 $\frac{1}{16} < k < \frac{1}{12}$ 。 $f (x) = k (x - 1)^{2} + c$ 。

$0 \leq x < 1$ （ $g = x$ ）… $f - g$ の微分は $2 k (x - 1) - 1 < 0$ で減少。端は $f (0) - 0 = k + c > 0$ と $c - 1 < 0$ なので1個
$1 \leq x < 2$ （ $g = - x + 2$ ）… 微分は $2 k (x - 1) + 1 > 0$ で増加。端は $c - 1 < 0$ と $k + c > 0$ なので1個
$2 \leq x < 3$ （ $g = x - 2$ ）… 微分は $2 k (x - 1) - 1 < 0$ で減少。端は $k + c > 0$ と $f (3) - 1$
$3 \leq x < 4$ （ $g = - x + 4$ ）… 微分は $2 k (x - 1) + 1 > 0$ で増加。端は $f (3) - 1$ と $9 k + c > 0$

後ろの2区間は、どちらも $f (3) - 1$ の符号で決まる。

f (3) - 1 = \frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 4, \frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 4 = 0 ⟺ a^{2} - 8 a + 4 = 0 ⟺ a = 4 - 23

$4 - 23 = 0.5358 \dots$ は $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$ の中にある。 $\frac{a}{2} + \frac{2}{a}$ はこの範囲で減少するので

$\frac{1}{2} < a < 4 - 23$ … $f (3) > 1$ 。後ろの2区間とも共有点なしで、合計 2個
$a = 4 - 23$ … $f (3) = 1$ でちょうど $x = 3$ が共有点。合計 3個
$4 - 23 < a < \frac{2}{3}$ … $f (3) < 1$ 。後ろの2区間に1個ずつで、合計 4個

検算

$a = 0.6$ （ $> 4 - 23$ ）では $f (3) = 0.633 < 1$ で、4区間すべてに1個ずつ入り4個。 $a = 0.52$ （ $< 4 - 23$ ）では $f (3) = 1.106 > 1$ で、 $2 \leq x < 4$ では $f - g$ が正のままとなり2個。数値で数えても同じ。

答案で省略しない方がよい点

$x = 3$ は $g$ の山の頂点で、 $g (3) = 1$ 。左右の区間の端の値が同じ $f (3) - 1$ になるので、1つの符号判定で2区間ぶん片づく。
$4 - 23$ が与えられた範囲の内側に入ることを確かめてから場合分けする。外にあれば場合分けは要らない。
$a = 4 - 23$ のときの3個を落としやすい。等号の場合を独立に書く。

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第4問　微分法・図形と方程式

3次曲線の接線・正接の加法定理・60°で交わる3直線・3直線が作る三角形の面積当サイトの体感難易度：難

(1) $tan (θ + \frac{π}{3})$ を $tan θ$ で表す

答 $tan (θ + \frac{π}{3}) = \frac{tan θ + 3}{1 - 3 tan θ}$

方針正接の加法定理に $tan \frac{π}{3} = 3$ を入れるだけ。範囲 $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{6}$ は、分母が $0$ にならないこと（ $θ \neq = \frac{π}{6}$ ）を保証している。

tan (θ + \frac{π}{3}) = \frac{t a n θ + t a n \frac{π}{3}}{1 - t a n θ t a n \frac{π}{3}} = \frac{t a n θ + 3}{1 - 3 t a n θ}

(2)条件をみたす $P, Q$ が存在する $k$ の範囲を求める

答 $k > \frac{3}{3}$

方針 $y = x^{3} - k x$ の $x = s$ における接線は $y = (3 s^{2} - k) x - 2 s^{3}$ 。3本がどの2本も $60°$ で交わるとは、傾きの角が $θ, θ + \frac{π}{3}, θ + \frac{2 π}{3}$ と並ぶこと。原点での傾きを $tan θ$ とおけば、残り2本の傾きが決まる。

接線は $y = (3 s^{2} - k) x - 2 s^{3}$ 。原点（ $s = 0$ ）での傾きは $- k$ なので、 $t = tan θ = - k$ とおく。 $P, Q$ の接線の傾きはそれぞれ $tan (θ + \frac{π}{3}), tan (θ + \frac{2 π}{3})$ でなければならない。

$P$ の $x$ 座標を $p$ とすると $3 p^{2} - k = tan (θ + \frac{π}{3})$ 、つまり $3 p^{2} = tan (θ + \frac{π}{3}) - t$ 。 $p \neq = 0$ が要るので、これが正であることが条件。(1) を使って

tan (θ + \frac{π}{3}) - t = \frac{t + 3}{1 - 3 t} - t = \frac{3 ( 1 + t ^{2} )}{1 - 3 t}

同じように $tan \frac{2 π}{3} = - 3$ を使って

tan (θ + \frac{2 π}{3}) - t = \frac{t - 3}{1 + 3 t} - t = \frac{- 3 ( 1 + t ^{2} )}{1 + 3 t}

$3 (1 + t^{2}) > 0$ だから、2つとも正になる条件は $1 - 3 t > 0$ かつ $1 + 3 t < 0$ 、すなわち $t < - \frac{1}{3}$ 。 $t = - k$ より

k > \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

答案で省略しない方がよい点

$3 p^{2} > 0$ （ $p \neq = 0$ ）が条件の本体。 $P$ が原点と異なることが、この不等式になって効く。
$tan (θ + \frac{2 π}{3})$ は (1) の $\frac{π}{3}$ を $- 3$ に替えるだけ。別に加法定理を立て直さない。

(3) $M = 4 m$ となる $k$ の値を求める

答 $k = \frac{5 3}{12}$

方針 $k$ を決めると3本の傾きは完全に決まる。動けるのは $p, q$ の符号だけで、面積は2通りの値しか取らない。その比が $4$ になる条件を書く。

3本の接線 $y = m_{i} x + c_{i}$ が作る三角形の面積は

S = \frac{1}{2} \cdot \frac{( c _{1} ( m _{2} - m _{3} ) + c _{2} ( m _{3} - m _{1} ) + c _{3} ( m _{1} - m _{2} ) ) ^{2}}{( m _{1} - m _{2} ) ( m _{2} - m _{3} ) ( m _{3} - m _{1} )}

$O, P, Q$ の接線は $(m, c) = (- k, 0), (3 p^{2} - k, - 2 p^{3}), (3 q^{2} - k, - 2 q^{3})$ 。代入して整理すると

S = \frac{2}{3} \cdot \frac{p ^{2} q ^{2} ∣ p - q ∣}{∣ p + q ∣}

$p^{2}, q^{2}$ は (2) で決まった値に固定され、動けるのは符号だけ。 $p_{0}, q_{0} > 0$ を $∣ p ∣ = p_{0}, ∣ q ∣ = q_{0}$ とすると、 $\frac{∣ p - q ∣}{∣ p + q ∣}$ は

同符号のとき … $r = \frac{∣ p _{0} - q _{0} ∣}{p _{0} + q _{0}} (< 1)$
異符号のとき … $\frac{1}{r}$

$p_{0} \neq = q_{0}$ なので $r \neq = 1$ 。よって $\frac{M}{m} = \frac{1}{r ^{2}}$ で、 $M = 4 m$ は $r = \frac{1}{2}$ と同じこと。 $q_{0} > p_{0}$ として $\frac{q _{0} - p _{0}}{q _{0} + p _{0}} = \frac{1}{2}$ から $q_{0} = 3 p_{0}$ 、つまり $\frac{q _{0}^{2}}{p _{0}^{2}} = 9$ 。

(2) の計算から（ $t = - k$ を入れて）

3 p_{0}^{2} = \frac{3 ( 1 + k ^{2} )}{1 + 3 k}, 3 q_{0}^{2} = \frac{3 ( 1 + k ^{2} )}{3 k - 1}

したがって

\frac{q _{0}^{2}}{p _{0}^{2}} = \frac{1 + 3 k}{3 k - 1} = 9 ⟺ 83 k = 10 ⟺ k = \frac{5}{4 3} = \frac{5 3}{12}

$\frac{5 3}{12} > \frac{4 3}{12} = \frac{3}{3}$ なので (2) の範囲に入っている。 $p_{0} > q_{0}$ の場合は $k < 0$ となり範囲外。

検算

$k = \frac{5 3}{12}$ では $3 k = \frac{5}{4}$ なので $\frac{q _{0}^{2}}{p _{0}^{2}} = \frac{1 + 5/4}{5/4 - 1} = \frac{9/4}{1/4} = 9$ 。確かに $q_{0} = 3 p_{0}$ で $r = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{1}{2}$ 、 $\frac{M}{m} = 4$ 。

答案で省略しない方がよい点

$p, q$ の符号を変えても $p^{2}, q^{2}$ は変わらないので、接線の傾きは変わらず切片だけ変わる。面積が2通りしかないのはこのため。
$\frac{M}{m} = \frac{1}{r ^{2}}$ であって $\frac{1}{r}$ ではない。 $M$ と $m$ の両方が $r$ を含むことに注意。