東京大学　2026年度　前期日程　文科

第3問関数・方程式の解答・解説

折れ線（周期関数）・平方完成・相加相乗平均・共有点の個数の場合分け当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $x \geq 4$ で $f (x) > g (x)$ を示す

答 $4 \leq x < 5$ では $f (x) - g (x) = \frac{a}{8} (x - 1 - \frac{4}{a})^{2} > 0$ 、 $x \geq 5$ では $f (x) \geq f (5) > 1 \geq g (x)$

方針 $g$ の値は $0$ 以上 $1$ 以下。 $x \geq 5$ では「 $f$ が $1$ を超える」で済むが、 $x = 4$ の近くは $f$ がまだ小さいので粗すぎる。そこは $g$ の式を入れて平方完成する。判別式がちょうど $0$ になるのがこの問題の仕掛け。

$x \geq 5$ のとき。 $f$ は $x \geq 1$ で増加だから $f (x) \geq f (5) = 2 a + \frac{2}{a} - 3$ 。相加相乗平均より $2 a + \frac{2}{a} \geq 4$ で、等号は $a = 1$ のときだけ。 $0 < a < 1$ だから $f (5) > 1$ 。一方 $g (x) \leq 1$ なので $f (x) > g (x)$ 。

$4 \leq x < 5$ のとき。 $4 = 2 \cdot 2$ なので $g (x) = x - 4$ 。 $u = x - 1 \in [3, 4)$ とおくと

f (x) - g (x) = \frac{a}{8} u^{2} - u + \frac{2}{a} = \frac{a}{8} (u - \frac{4}{a})^{2}

（判別式が $1 - 4 \cdot \frac{a}{8} \cdot \frac{2}{a} = 0$ なので、完全平方になる。） $0 < a < 1$ より $\frac{4}{a} > 4 > u$ だから $u \neq = \frac{4}{a}$ で、この値は正。

以上より $x \geq 4$ でつねに $f (x) > g (x)$ 。

答案で省略しない方がよい点

$g (x) \leq 1$ だけで押し切ろうとすると、 $x = 4$ の近くで $f$ が $1$ を下回る場合（ $a$ が $1$ に近いとき）に失敗する。区間を分ける必要がある。
$2 a + \frac{2}{a} \geq 4$ の等号は $a = 1$ 。 $0 < a < 1$ で $a = 1$ が除かれているから狭義の不等号になる、と書いておく。

(2) $\frac{1}{2} < a < \frac{2}{3}$ のとき、 $x \geq 0$ での共有点の個数を求める

答 $\frac{1}{2} < a < 4 - 23$ のとき 2個、 $a = 4 - 23$ のとき 3個、 $4 - 23 < a < \frac{2}{3}$ のとき 4個

方針(1) より $x \geq 4$ には共有点がないので、調べるのは $0 \leq x < 4$ だけ。 $g$ の折れ目 $x = 1, 2, 3$ で区切り、各区間で $f - g$ が単調であることを使って、端の符号だけ見る。

$k = \frac{a}{8}, c = f (1) = \frac{2}{a} - 3$ とおく。 $\frac{1}{2} < a < \frac{2}{3}$ より $0 < c < 1$ 、 $\frac{1}{16} < k < \frac{1}{12}$ 。 $f (x) = k (x - 1)^{2} + c$ 。

$0 \leq x < 1$ （ $g = x$ ）… $f - g$ の微分は $2 k (x - 1) - 1 < 0$ で減少。端は $f (0) - 0 = k + c > 0$ と $c - 1 < 0$ なので1個
$1 \leq x < 2$ （ $g = - x + 2$ ）… 微分は $2 k (x - 1) + 1 > 0$ で増加。端は $c - 1 < 0$ と $k + c > 0$ なので1個
$2 \leq x < 3$ （ $g = x - 2$ ）… 微分は $2 k (x - 1) - 1 < 0$ で減少。端は $k + c > 0$ と $f (3) - 1$
$3 \leq x < 4$ （ $g = - x + 4$ ）… 微分は $2 k (x - 1) + 1 > 0$ で増加。端は $f (3) - 1$ と $9 k + c > 0$

後ろの2区間は、どちらも $f (3) - 1$ の符号で決まる。

f (3) - 1 = \frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 4, \frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 4 = 0 ⟺ a^{2} - 8 a + 4 = 0 ⟺ a = 4 - 23

$4 - 23 = 0.5358 \dots$ は $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$ の中にある。 $\frac{a}{2} + \frac{2}{a}$ はこの範囲で減少するので

$\frac{1}{2} < a < 4 - 23$ … $f (3) > 1$ 。後ろの2区間とも共有点なしで、合計 2個
$a = 4 - 23$ … $f (3) = 1$ でちょうど $x = 3$ が共有点。合計 3個
$4 - 23 < a < \frac{2}{3}$ … $f (3) < 1$ 。後ろの2区間に1個ずつで、合計 4個

検算

$a = 0.6$ （ $> 4 - 23$ ）では $f (3) = 0.633 < 1$ で、4区間すべてに1個ずつ入り4個。 $a = 0.52$ （ $< 4 - 23$ ）では $f (3) = 1.106 > 1$ で、 $2 \leq x < 4$ では $f - g$ が正のままとなり2個。数値で数えても同じ。

答案で省略しない方がよい点

$x = 3$ は $g$ の山の頂点で、 $g (3) = 1$ 。左右の区間の端の値が同じ $f (3) - 1$ になるので、1つの符号判定で2区間ぶん片づく。
$4 - 23$ が与えられた範囲の内側に入ることを確かめてから場合分けする。外にあれば場合分けは要らない。
$a = 4 - 23$ のときの3個を落としやすい。等号の場合を独立に書く。