東京大学　2026年度　前期日程　文科

第4問微分法・図形と方程式の解答・解説

3次曲線の接線・正接の加法定理・60°で交わる3直線・3直線が作る三角形の面積当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $tan (θ + \frac{π}{3})$ を $tan θ$ で表す

答 $tan (θ + \frac{π}{3}) = \frac{tan θ + 3}{1 - 3 tan θ}$

方針正接の加法定理に $tan \frac{π}{3} = 3$ を入れるだけ。範囲 $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{6}$ は、分母が $0$ にならないこと（ $θ \neq = \frac{π}{6}$ ）を保証している。

tan (θ + \frac{π}{3}) = \frac{t a n θ + t a n \frac{π}{3}}{1 - t a n θ t a n \frac{π}{3}} = \frac{t a n θ + 3}{1 - 3 t a n θ}

(2)条件をみたす $P, Q$ が存在する $k$ の範囲を求める

答 $k > \frac{3}{3}$

方針 $y = x^{3} - k x$ の $x = s$ における接線は $y = (3 s^{2} - k) x - 2 s^{3}$ 。3本がどの2本も $60°$ で交わるとは、傾きの角が $θ, θ + \frac{π}{3}, θ + \frac{2 π}{3}$ と並ぶこと。原点での傾きを $tan θ$ とおけば、残り2本の傾きが決まる。

接線は $y = (3 s^{2} - k) x - 2 s^{3}$ 。原点（ $s = 0$ ）での傾きは $- k$ なので、 $t = tan θ = - k$ とおく。 $P, Q$ の接線の傾きはそれぞれ $tan (θ + \frac{π}{3}), tan (θ + \frac{2 π}{3})$ でなければならない。

$P$ の $x$ 座標を $p$ とすると $3 p^{2} - k = tan (θ + \frac{π}{3})$ 、つまり $3 p^{2} = tan (θ + \frac{π}{3}) - t$ 。 $p \neq = 0$ が要るので、これが正であることが条件。(1) を使って

tan (θ + \frac{π}{3}) - t = \frac{t + 3}{1 - 3 t} - t = \frac{3 ( 1 + t ^{2} )}{1 - 3 t}

同じように $tan \frac{2 π}{3} = - 3$ を使って

tan (θ + \frac{2 π}{3}) - t = \frac{t - 3}{1 + 3 t} - t = \frac{- 3 ( 1 + t ^{2} )}{1 + 3 t}

$3 (1 + t^{2}) > 0$ だから、2つとも正になる条件は $1 - 3 t > 0$ かつ $1 + 3 t < 0$ 、すなわち $t < - \frac{1}{3}$ 。 $t = - k$ より

k > \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

答案で省略しない方がよい点

$3 p^{2} > 0$ （ $p \neq = 0$ ）が条件の本体。 $P$ が原点と異なることが、この不等式になって効く。
$tan (θ + \frac{2 π}{3})$ は (1) の $\frac{π}{3}$ を $- 3$ に替えるだけ。別に加法定理を立て直さない。

(3) $M = 4 m$ となる $k$ の値を求める

答 $k = \frac{5 3}{12}$

方針 $k$ を決めると3本の傾きは完全に決まる。動けるのは $p, q$ の符号だけで、面積は2通りの値しか取らない。その比が $4$ になる条件を書く。

3本の接線 $y = m_{i} x + c_{i}$ が作る三角形の面積は

S = \frac{1}{2} \cdot \frac{( c _{1} ( m _{2} - m _{3} ) + c _{2} ( m _{3} - m _{1} ) + c _{3} ( m _{1} - m _{2} ) ) ^{2}}{( m _{1} - m _{2} ) ( m _{2} - m _{3} ) ( m _{3} - m _{1} )}

$O, P, Q$ の接線は $(m, c) = (- k, 0), (3 p^{2} - k, - 2 p^{3}), (3 q^{2} - k, - 2 q^{3})$ 。代入して整理すると

S = \frac{2}{3} \cdot \frac{p ^{2} q ^{2} ∣ p - q ∣}{∣ p + q ∣}

$p^{2}, q^{2}$ は (2) で決まった値に固定され、動けるのは符号だけ。 $p_{0}, q_{0} > 0$ を $∣ p ∣ = p_{0}, ∣ q ∣ = q_{0}$ とすると、 $\frac{∣ p - q ∣}{∣ p + q ∣}$ は

同符号のとき … $r = \frac{∣ p _{0} - q _{0} ∣}{p _{0} + q _{0}} (< 1)$
異符号のとき … $\frac{1}{r}$

$p_{0} \neq = q_{0}$ なので $r \neq = 1$ 。よって $\frac{M}{m} = \frac{1}{r ^{2}}$ で、 $M = 4 m$ は $r = \frac{1}{2}$ と同じこと。 $q_{0} > p_{0}$ として $\frac{q _{0} - p _{0}}{q _{0} + p _{0}} = \frac{1}{2}$ から $q_{0} = 3 p_{0}$ 、つまり $\frac{q _{0}^{2}}{p _{0}^{2}} = 9$ 。

(2) の計算から（ $t = - k$ を入れて）

3 p_{0}^{2} = \frac{3 ( 1 + k ^{2} )}{1 + 3 k}, 3 q_{0}^{2} = \frac{3 ( 1 + k ^{2} )}{3 k - 1}

したがって

\frac{q _{0}^{2}}{p _{0}^{2}} = \frac{1 + 3 k}{3 k - 1} = 9 ⟺ 83 k = 10 ⟺ k = \frac{5}{4 3} = \frac{5 3}{12}

$\frac{5 3}{12} > \frac{4 3}{12} = \frac{3}{3}$ なので (2) の範囲に入っている。 $p_{0} > q_{0}$ の場合は $k < 0$ となり範囲外。

検算

$k = \frac{5 3}{12}$ では $3 k = \frac{5}{4}$ なので $\frac{q _{0}^{2}}{p _{0}^{2}} = \frac{1 + 5/4}{5/4 - 1} = \frac{9/4}{1/4} = 9$ 。確かに $q_{0} = 3 p_{0}$ で $r = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{1}{2}$ 、 $\frac{M}{m} = 4$ 。

答案で省略しない方がよい点

$p, q$ の符号を変えても $p^{2}, q^{2}$ は変わらないので、接線の傾きは変わらず切片だけ変わる。面積が2通りしかないのはこのため。
$\frac{M}{m} = \frac{1}{r ^{2}}$ であって $\frac{1}{r}$ ではない。 $M$ と $m$ の両方が $r$ を含むことに注意。