第2問 積分法の解答・解説

直線 $\ell$ は $2x-y=0$ だから、点 $\mathrm{P}\left(t,3t^2-4t\right)$ との距離は

である。$t(2-t)$ は $0\le t\le 2$ で $0$ 以上、それ以外で $0$ 以下なので

となる。$-1\le a\le 0$ のときは

である。とくに $g(0)=\frac{4}{\sqrt{5}}$ で、$0\le a\le 2$ のときは

となる。$a=0$ ではどちらの式も $\frac{4}{\sqrt{5}}$ でつながっている。

$0\le a\le 2$ では $f(a)=\frac{3\left(2a-a^2\right)}{\sqrt{5}}$ なので

である。$h(a)=-a^3+6a^2-6a+4$ とおくと

で、$a^2-4a+2=0$ の解は $a=2\pm \sqrt{2}$ である。$2+\sqrt{2}>2$ なので区間に入るのは $a=2-\sqrt{2}$ だけで、$0\le a<2-\sqrt{2}$ では $a^2-4a+2>0$ すなわち $h^{\prime }<0$、$2-\sqrt{2}<a\le 2$ では $h^{\prime }>0$ である。

よって $h$ は $a=2-\sqrt{2}$ で最小になる。$a=2-\sqrt{2}$ では $a^2=6-4\sqrt{2}$、$a^3=20-14\sqrt{2}$ だから

である。両端は $h(0)=4$、$h(2)=-8+24-12+4=8$ で、大きいのは $h(2)=8$ である。したがって

となる。