第4問空間図形の解答・解説

余弦定理・球面上の4点・二等辺三角形・四面体の体積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1)三角形 $ABC$ の面積を求める

答 $\frac{3}{4}$

$AC = BC$ で $AB = 1$ 、頂角の $cos$ が分かっているので、余弦定理で等辺の長さが決まる。あとは $\frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot sin$ で面積が出る。

$AC = BC = c$ とおく。 $cos ∠ ACB = \frac{4}{5}$ なので余弦定理より

1 = AB^{2} = c^{2} + c^{2} - 2 c^{2} \cdot \frac{4}{5} = 2 c^{2} (1 - \frac{4}{5}) = \frac{2 c ^{2}}{5}

すなわち $c^{2} = \frac{5}{2}$ である。 $0 < ∠ ACB < π$ で $cos = \frac{4}{5}$ だから $sin ∠ ACB = \frac{3}{5}$ で

△ ABC = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot sin ∠ ACB = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{4}

である。

$D$ についても条件がまったく同じなので、 $AD = BD = \frac{5}{2}$ 、 $△ ABD = \frac{3}{4}$ である。

$c = 2.5 = 1.5811$ 。余弦定理で戻すと $2 \times 2.5 \times (1 - 0.8) = 1 = AB^{2}$ ✓。面積は $\frac{1}{2} \times 2.5 \times 0.6 = 0.75$ である。

(2)四面体 $ABCD$ の体積を求める

答 $\frac{11}{9}$

$AC = BC$ 、 $AD = BD$ なので、 $C$ も $D$ も線分 $AB$ の垂直二等分面の上にある。球の中心も同じ面の上にあるので、その面に座標を入れると $C$ と $D$ の位置が2つの円の交点として決まる。条件が $C$ と $D$ で同じなので、2つの交点がそのまま $C$ と $D$ になる。

$AB$ の中点を $M$ とし、 $M$ を原点、直線 $AB$ を $x$ 軸にとって

A (- \frac{1}{2}, 0, 0), B (\frac{1}{2}, 0, 0)

とする。 $AC = BC$ 、 $AD = BD$ より $C$ 、 $D$ は平面 $x = 0$ の上にある。球の中心 $O$ も $OA = OB = 1$ より同じ平面の上にあり、 $OM = 1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{2}$ である。 $x$ 軸のまわりに回して $O (0, \frac{3}{2}, 0)$ としてよい。

平面 $x = 0$ の上で $C (0, y, z)$ とおく。(1) より $AC^{2} = \frac{5}{2}$ なので

\frac{1}{4} + y^{2} + z^{2} = \frac{5}{2}, y^{2} + z^{2} = \frac{9}{4}

であり、球面上にあることから

(y - \frac{3}{2})^{2} + z^{2} = 1, y^{2} + z^{2} - 3 y + \frac{3}{4} = 1

である。前者を代入すると $\frac{9}{4} - 3 y + \frac{3}{4} = 1$ 、すなわち

y = \frac{2}{3}, z^{2} = \frac{9}{4} - \frac{4}{3} = \frac{11}{12}

となる。 $D$ についてもまったく同じ2式が成り立つので、 $C$ と $D$ はこの連立の2つの解、すなわち

C (0, \frac{2}{3}, \frac{11}{12}), D (0, \frac{2}{3}, - \frac{11}{12})

である（ $C \neq = D$ なので $z$ の符号が逆になる）。

体積。 直線 $AB$ は $x$ 軸、直線 $CD$ は $x = 0$ 、 $y = \frac{2}{3}$ の直線（ $z$ 方向）で、互いに垂直である。2直線の距離は $y$ 方向のずれ $\frac{2}{3}$ で、

AB = 1, CD = 2 \frac{11}{12} = \frac{11}{3}

である。向かい合う2辺が垂直で距離 $d$ のとき、四面体の体積は $\frac{1}{6} \cdot AB \cdot CD \cdot d$ なので

V = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot \frac{11}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2 11}{3} = \frac{11}{9}

となる。

平面

x = 0

（線分

AB

の垂直二等分面）で切った図。横軸が

y

、縦軸が

z

。

C

、

D

は「

M

から

\frac{3}{2}

の円」と「球の中心

O

から

1

の円」の2つの交点として決まる。

この座標で $AB = 1$ 、 $AC = BC = AD = BD = 1.581139 = \frac{5}{2}$ 、 $cos ∠ ACB = cos ∠ ADB = 0.8$ となり、4点とも中心 $(0, \frac{3}{2}, 0)$ から距離 $1$ である。行列式で体積を計算すると $0.368513866$ で、 $\frac{11}{9} = 0.368513866$ と一致する。