独自の解答・詳解
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全4問・無料

東京大学　2023年度　前期日程　文科

東大文系 2023年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　2次方程式

解と係数の関係・対称式・相加相乗平均・最小値当サイトの体感難易度：標準

$k > 2$ で $\frac{α ^{3}}{1 - β} + \frac{β ^{3}}{1 - α}$ の最小値を求める

答 $15 + 83$ （ $k = 2 + 23$ のとき）

$α, β$ は対称に現れるので、通分すれば分母も分子も対称式になり、解と係数の関係だけで $k$ の式に直せる。出てきた分数式は $u = k - 2$ とおくと $2 u + \frac{24}{u} + 15$ の形になり、相加相乗平均で最小が出る。

解と係数の関係より $α + β = - 1$ 、 $α β = - k$ である。 $k > 0$ なので判別式 $1 + 4 k > 0$ で、2つの実数解をもつ。

通分する。 分母は

(1 - β) (1 - α) = 1 - (α + β) + α β = 1 + 1 - k = 2 - k

で、 $k > 2$ より $0$ ではない。分子は

α^{3} (1 - α) + β^{3} (1 - β) = (α^{3} + β^{3}) - (α^{4} + β^{4})

である。基本対称式から順に計算すると

α^{2} + β^{2} α^{3} + β^{3} α^{4} + β^{4} = (α + β)^{2} - 2 α β = 1 + 2 k = (α + β)^{3} - 3 α β (α + β) = - 1 - 3 k = (α^{2} + β^{2})^{2} - 2 (α β)^{2} = (1 + 2 k)^{2} - 2 k^{2} = 2 k^{2} + 4 k + 1

なので、分子は $(- 1 - 3 k) - (2 k^{2} + 4 k + 1) = - 2 k^{2} - 7 k - 2$ である。よって

\frac{α ^{3}}{1 - β} + \frac{β ^{3}}{1 - α} = \frac{- 2 k ^{2} - 7 k - 2}{2 - k} = \frac{2 k ^{2} + 7 k + 2}{k - 2}

となる。

最小を出す。 $u = k - 2 > 0$ とおくと $k = u + 2$ で

2 k^{2} + 7 k + 2 = 2 (u + 2)^{2} + 7 (u + 2) + 2 = 2 u^{2} + 15 u + 24

だから

\frac{2 u ^{2} + 15 u + 24}{u} = 2 u + 15 + \frac{24}{u}

である。 $u > 0$ なので相加相乗平均より

2 u + \frac{24}{u} \geq 2 2 u \cdot \frac{24}{u} = 248 = 83

で、等号は $2 u = \frac{24}{u}$ 、すなわち $u^{2} = 12$ 、 $u = 23$ のときに成り立つ。このとき $k = 2 + 23 > 2$ で範囲に入っている。よって最小値は

15 + 83

である。

$k = 4$ （ $u = 2$ ）なら $2 \cdot 2 + 15 + 12 = 31$ 。解 $α = \frac{- 1 + 17}{2}$ 、 $β = \frac{- 1 - 17}{2}$ から直接計算しても $31.00000000$ になる。 $k = 2 + 23 = 5.4641$ では $28.8564065$ で、 $15 + 83 = 28.8564065$ と一致する。 $k$ を $150$ 万等分した全探索でも最小は同じ値・同じ $k$ だった。

分母 $2 - k$ は $k > 2$ では負である。分子も負なので全体は正になるが、符号を見ずに約分すると間違えやすい。 $\frac{2 k ^{2} + 7 k + 2}{k - 2}$ と書き直してから進める。

$u = k - 2$ と置きかえるのが要点である。 $k$ のままでは相加相乗平均の形にならない。

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第2問　積分法

点と直線の距離・絶対値を含む積分・3次関数の増減・最大最小当サイトの体感難易度：標準

(1) $- 1 \leq a \leq 2$ に対し $g (a) = \int_{- 1}^{a} f (t) d t$ を求める

答 $g (a) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a ^{3} - 3 a ^{2} + 4}{5} \frac{- a ^{3} + 3 a ^{2} + 4}{5} (- 1 \leq a \leq 0) (0 \leq a \leq 2)$

点と直線の距離の公式で $f (t)$ を書くと絶対値がつく。中身 $t (2 - t)$ の符号が $t = 0$ で変わるので、積分の上端が $0$ より左か右かで式が分かれる。

直線 $ℓ$ は $2 x - y = 0$ だから、点 $P (t, 3 t^{2} - 4 t)$ との距離は

f (t) = \frac{2 t - ( 3 t ^{2} - 4 t )}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{6 t - 3 t ^{2}}{5} = \frac{3 ∣ t ( 2 - t ) ∣}{5}

である。 $t (2 - t)$ は $0 \leq t \leq 2$ で $0$ 以上、それ以外で $0$ 以下なので

f (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3 ( t ^{2} - 2 t )}{5} \frac{3 ( 2 t - t ^{2} )}{5} (t \leq 0) (0 \leq t \leq 2)

となる。 $- 1 \leq a \leq 0$ のときは

g (a) = \frac{3}{5} [\frac{t ^{3}}{3} - t^{2}]_{- 1}^{a} = \frac{3}{5} (\frac{a ^{3}}{3} - a^{2} + \frac{4}{3}) = \frac{a ^{3} - 3 a ^{2} + 4}{5}

である。とくに $g (0) = \frac{4}{5}$ で、 $0 \leq a \leq 2$ のときは

g (a) = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} [t^{2} - \frac{t ^{3}}{3}]_{0}^{a} = \frac{4 + 3 a ^{2} - a ^{3}}{5}

となる。 $a = 0$ ではどちらの式も $\frac{4}{5}$ でつながっている。

$a = 2$ なら $g (2) = \frac{4 + 12 - 8}{5} = \frac{8}{5} = 3.5777$ 。 $f$ を数値積分しても $3.577708764$ で一致する。 $a = - 0.5$ では式が $1.397542486$ 、数値積分も同じ値になる。

$f$ は距離なので $0$ 以上である。絶対値を外すときの符号を間違えると、 $- 1 \leq t \leq 0$ の部分で負になってしまう。

(2) $0 \leq a \leq 2$ で $g (a) - f (a)$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{8}{5} = \frac{8 5}{5}$ （ $a = 2$ ）、最小値 $\frac{8 - 4 2}{5} = \frac{( 8 - 4 2 ) 5}{5}$ （ $a = 2 - 2$ ）

$0 \leq a \leq 2$ では絶対値が外れているので、 $g - f$ はただの3次式になる。微分して増減を調べればよい。

$0 \leq a \leq 2$ では $f (a) = \frac{3 ( 2 a - a ^{2} )}{5}$ なので

g (a) - f (a) = \frac{( 4 + 3 a ^{2} - a ^{3} ) - 3 ( 2 a - a ^{2} )}{5} = \frac{- a ^{3} + 6 a ^{2} - 6 a + 4}{5}

である。 $h (a) = - a^{3} + 6 a^{2} - 6 a + 4$ とおくと

h^{'} (a) = - 3 a^{2} + 12 a - 6 = - 3 (a^{2} - 4 a + 2)

で、 $a^{2} - 4 a + 2 = 0$ の解は $a = 2 \pm 2$ である。 $2 + 2 > 2$ なので区間に入るのは $a = 2 - 2$ だけで、 $0 \leq a < 2 - 2$ では $a^{2} - 4 a + 2 > 0$ すなわち $h^{'} < 0$ 、 $2 - 2 < a \leq 2$ では $h^{'} > 0$ である。

よって $h$ は $a = 2 - 2$ で最小になる。 $a = 2 - 2$ では $a^{2} = 6 - 42$ 、 $a^{3} = 20 - 142$ だから

h (2 - 2) = - (20 - 142) + 6 (6 - 42) - 6 (2 - 2) + 4 = 8 - 42

である。両端は $h (0) = 4$ 、 $h (2) = - 8 + 24 - 12 + 4 = 8$ で、大きいのは $h (2) = 8$ である。したがって

最大値 = \frac{8}{5} = \frac{8 5}{5}, 最小値 = \frac{8 - 4 2}{5} = \frac{( 8 - 4 2 ) 5}{5}

となる。

y = g (a) - f (a)

のグラフ（

0 \leq a \leq 2

）。

a = 2 - 2 = 0.586

で最小

\frac{8 - 4 2}{5} = 1.048

、右端

a = 2

で最大

\frac{8}{5} = 3.578

になる。

$\frac{8}{5} = 3.5777$ 、 $\frac{8 - 4 2}{5} = 1.0479$ 。 $0 \leq a \leq 2$ を $4$ 万等分して $g (a) - f (a)$ を直接計算すると、最大 $3.57770876$ （ $a = 2$ ）、最小 $1.04788664$ （ $a = 0.58580$ ）となり、 $2 - 2 = 0.58579$ と合う。

最小は区間の内部（ $a = 2 - 2$ ）、最大は端（ $a = 2$ ）で起きる。 $h (0) = 4$ と $h (2) = 8$ を両方計算して比べないと、最大を取り違える。

$a = 2 - 2$ での値は、 $a^{2} = 6 - 42$ 、 $a^{3} = (2 - 2) (6 - 42) = 20 - 142$ を先に用意しておくと計算が早い。

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第3問　確率

同じものを含む順列・間に入れる数え方・条件つき確率当サイトの体感難易度：標準

(1)どの赤玉も隣り合わない確率 $p$ を求める

答 $p = \frac{14}{55}$

色だけが問題なので、 $12$ か所のうちどこに赤が来るかだけを見ればよい。「隣り合わない $4$ か所」の選び方は、赤でない $8$ 個を並べてできる $9$ つのすき間から $4$ つ選ぶ、と読み替えれば数えられる。

取り出す順番は $12!$ 通りあり、どれも同じ確率で起きる。色の並びだけを見ると、赤玉4個がどの位置に来るかで決まり、その選び方 $_{12} C_{4} = 495$ 通りはどれも同じ確率である。

赤以外の8個を横一列に並べると、その両端と間に9つのすき間ができる。どの赤玉も隣り合わないように置くことは、この9つのすき間から4つを選んで1個ずつ入れることと同じである。よって

p = \frac{_{9} C _{4}}{_{12} C _{4}} = \frac{126}{495} = \frac{14}{55}

である。

$\frac{14}{55} = 0.2545 \dots$ 。黒3・赤4・白5の色の並び全 $\frac{12 !}{3 ! 4 ! 5 !} = 27720$ 通りを機械で全部調べると、赤が隣り合わないものは $7056$ 通りで、 $\frac{7056}{27720} = \frac{14}{55}$ と一致する。

(2)どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件つき確率 $q$ を求める

答 $q = \frac{103}{168}$

分子を数えるとき、(1) と同じ「赤でない8個を先に並べる」見方をそのまま使う。先に並べた8個（黒3・白5）の中で黒がくっついている場所があれば、そこには必ず赤を入れなければならない。くっついている箇所の個数で場合分けすれば数え切れる。

色の並びは全部で $\frac{12 !}{3 ! 4 ! 5 !} = 27720$ 通りあり、どれも同じ確率で起きる。

分母。 赤でない8個（黒3・白5）の並べ方が $_{8} C_{3} = 56$ 通り、その9つのすき間から4つ選んで赤を入れる方法が $_{9} C_{4} = 126$ 通りだから、赤が隣り合わない並びは $56 \times 126 = 7056$ 通りである。

分子。 赤でない8個の並びを1つ固定し、その中で黒どうしが隣り合っている箇所の個数を $m$ とする。 $m$ 箇所のすき間には必ず赤を入れなければ、最終的な並びで黒が隣り合ってしまう。逆にその $m$ 箇所に赤を入れさえすれば、残りの赤をどこに入れても黒は隣り合わない。よって赤の入れ方は $_{9 - m} C_{4 - m}$ 通りである。

$m = 0$ （黒がどこも隣り合わない）：白5個の間と両端の6つのすき間から3つ選べばよく、 $_{6} C_{3} = 20$ 通り。
$m = 2$ （黒3個が1かたまり）：8か所のうち連続3か所をかたまりの位置にすればよく、 $6$ 通り。
$m = 1$ ：全体 $_{8} C_{3} = 56$ 通りから上の2つを引いて $56 - 20 - 6 = 30$ 通り。

したがって、赤も黒も隣り合わない並びは

20 \times_{9} C_{4} + 30 \times_{8} C_{3} + 6 \times_{7} C_{2} = 2520 + 1680 + 126 = 4326

通りである。よって

q = \frac{4326}{7056} = \frac{103}{168}

となる。

$\frac{103}{168} = 0.6131 \dots$ 。全 $27720$ 通りを機械で調べると、赤も黒も隣り合わないものは $4326$ 通りで、 $\frac{4326}{7056}$ は約分して $\frac{103}{168}$ になる（ $4326 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 103$ 、 $7056 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7^{2}$ で共通因数は $42$ ）。

「黒が隣り合わない並びを先に作る」と始めると、白と黒だけの並びでは隣り合っていた黒が、あとから赤を入れることで離れる場合を取りこぼす。赤でない8個を先に並べ、くっついた黒の箇所に赤を強制的に入れる、という順番にすると漏れなく数えられる。

$q$ は条件つき確率なので、分母は $27720$ ではなく $7056$ である。

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第4問　空間図形

余弦定理・球面上の4点・二等辺三角形・四面体の体積当サイトの体感難易度：やや難

(1)三角形 $ABC$ の面積を求める

答 $\frac{3}{4}$

$AC = BC$ で $AB = 1$ 、頂角の $cos$ が分かっているので、余弦定理で等辺の長さが決まる。あとは $\frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot sin$ で面積が出る。

$AC = BC = c$ とおく。 $cos ∠ ACB = \frac{4}{5}$ なので余弦定理より

1 = AB^{2} = c^{2} + c^{2} - 2 c^{2} \cdot \frac{4}{5} = 2 c^{2} (1 - \frac{4}{5}) = \frac{2 c ^{2}}{5}

すなわち $c^{2} = \frac{5}{2}$ である。 $0 < ∠ ACB < π$ で $cos = \frac{4}{5}$ だから $sin ∠ ACB = \frac{3}{5}$ で

△ ABC = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot sin ∠ ACB = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{4}

である。

$D$ についても条件がまったく同じなので、 $AD = BD = \frac{5}{2}$ 、 $△ ABD = \frac{3}{4}$ である。

$c = 2.5 = 1.5811$ 。余弦定理で戻すと $2 \times 2.5 \times (1 - 0.8) = 1 = AB^{2}$ ✓。面積は $\frac{1}{2} \times 2.5 \times 0.6 = 0.75$ である。

(2)四面体 $ABCD$ の体積を求める

答 $\frac{11}{9}$

$AC = BC$ 、 $AD = BD$ なので、 $C$ も $D$ も線分 $AB$ の垂直二等分面の上にある。球の中心も同じ面の上にあるので、その面に座標を入れると $C$ と $D$ の位置が2つの円の交点として決まる。条件が $C$ と $D$ で同じなので、2つの交点がそのまま $C$ と $D$ になる。

$AB$ の中点を $M$ とし、 $M$ を原点、直線 $AB$ を $x$ 軸にとって

A (- \frac{1}{2}, 0, 0), B (\frac{1}{2}, 0, 0)

とする。 $AC = BC$ 、 $AD = BD$ より $C$ 、 $D$ は平面 $x = 0$ の上にある。球の中心 $O$ も $OA = OB = 1$ より同じ平面の上にあり、 $OM = 1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{2}$ である。 $x$ 軸のまわりに回して $O (0, \frac{3}{2}, 0)$ としてよい。

平面 $x = 0$ の上で $C (0, y, z)$ とおく。(1) より $AC^{2} = \frac{5}{2}$ なので

\frac{1}{4} + y^{2} + z^{2} = \frac{5}{2}, y^{2} + z^{2} = \frac{9}{4}

であり、球面上にあることから

(y - \frac{3}{2})^{2} + z^{2} = 1, y^{2} + z^{2} - 3 y + \frac{3}{4} = 1

である。前者を代入すると $\frac{9}{4} - 3 y + \frac{3}{4} = 1$ 、すなわち

y = \frac{2}{3}, z^{2} = \frac{9}{4} - \frac{4}{3} = \frac{11}{12}

となる。 $D$ についてもまったく同じ2式が成り立つので、 $C$ と $D$ はこの連立の2つの解、すなわち

C (0, \frac{2}{3}, \frac{11}{12}), D (0, \frac{2}{3}, - \frac{11}{12})

である（ $C \neq = D$ なので $z$ の符号が逆になる）。

体積。 直線 $AB$ は $x$ 軸、直線 $CD$ は $x = 0$ 、 $y = \frac{2}{3}$ の直線（ $z$ 方向）で、互いに垂直である。2直線の距離は $y$ 方向のずれ $\frac{2}{3}$ で、

AB = 1, CD = 2 \frac{11}{12} = \frac{11}{3}

である。向かい合う2辺が垂直で距離 $d$ のとき、四面体の体積は $\frac{1}{6} \cdot AB \cdot CD \cdot d$ なので

V = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot \frac{11}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2 11}{3} = \frac{11}{9}

となる。

平面

x = 0

（線分

AB

の垂直二等分面）で切った図。横軸が

y

、縦軸が

z

。

C

、

D

は「

M

から

\frac{3}{2}

の円」と「球の中心

O

から

1

の円」の2つの交点として決まる。

この座標で $AB = 1$ 、 $AC = BC = AD = BD = 1.581139 = \frac{5}{2}$ 、 $cos ∠ ACB = cos ∠ ADB = 0.8$ となり、4点とも中心 $(0, \frac{3}{2}, 0)$ から距離 $1$ である。行列式で体積を計算すると $0.368513866$ で、 $\frac{11}{9} = 0.368513866$ と一致する。