第1問 2次方程式の解答・解説

解と係数の関係・対称式・相加相乗平均・最小値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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$k > 2$ で $\frac{α ^{3}}{1 - β} + \frac{β ^{3}}{1 - α}$ の最小値を求める

答 $15 + 83$ （ $k = 2 + 23$ のとき）

$α, β$ は対称に現れるので、通分すれば分母も分子も対称式になり、解と係数の関係だけで $k$ の式に直せる。出てきた分数式は $u = k - 2$ とおくと $2 u + \frac{24}{u} + 15$ の形になり、相加相乗平均で最小が出る。

解と係数の関係より $α + β = - 1$ 、 $α β = - k$ である。 $k > 0$ なので判別式 $1 + 4 k > 0$ で、2つの実数解をもつ。

通分する。 分母は

(1 - β) (1 - α) = 1 - (α + β) + α β = 1 + 1 - k = 2 - k

で、 $k > 2$ より $0$ ではない。分子は

α^{3} (1 - α) + β^{3} (1 - β) = (α^{3} + β^{3}) - (α^{4} + β^{4})

である。基本対称式から順に計算すると

α^{2} + β^{2} α^{3} + β^{3} α^{4} + β^{4} = (α + β)^{2} - 2 α β = 1 + 2 k = (α + β)^{3} - 3 α β (α + β) = - 1 - 3 k = (α^{2} + β^{2})^{2} - 2 (α β)^{2} = (1 + 2 k)^{2} - 2 k^{2} = 2 k^{2} + 4 k + 1

なので、分子は $(- 1 - 3 k) - (2 k^{2} + 4 k + 1) = - 2 k^{2} - 7 k - 2$ である。よって

\frac{α ^{3}}{1 - β} + \frac{β ^{3}}{1 - α} = \frac{- 2 k ^{2} - 7 k - 2}{2 - k} = \frac{2 k ^{2} + 7 k + 2}{k - 2}

となる。

最小を出す。 $u = k - 2 > 0$ とおくと $k = u + 2$ で

2 k^{2} + 7 k + 2 = 2 (u + 2)^{2} + 7 (u + 2) + 2 = 2 u^{2} + 15 u + 24

だから

\frac{2 u ^{2} + 15 u + 24}{u} = 2 u + 15 + \frac{24}{u}

である。 $u > 0$ なので相加相乗平均より

2 u + \frac{24}{u} \geq 2 2 u \cdot \frac{24}{u} = 248 = 83

で、等号は $2 u = \frac{24}{u}$ 、すなわち $u^{2} = 12$ 、 $u = 23$ のときに成り立つ。このとき $k = 2 + 23 > 2$ で範囲に入っている。よって最小値は

15 + 83

である。

$k = 4$ （ $u = 2$ ）なら $2 \cdot 2 + 15 + 12 = 31$ 。解 $α = \frac{- 1 + 17}{2}$ 、 $β = \frac{- 1 - 17}{2}$ から直接計算しても $31.00000000$ になる。 $k = 2 + 23 = 5.4641$ では $28.8564065$ で、 $15 + 83 = 28.8564065$ と一致する。 $k$ を $150$ 万等分した全探索でも最小は同じ値・同じ $k$ だった。