第3問確率の解答・解説

同じものを含む順列・間に入れる数え方・条件つき確率当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1)どの赤玉も隣り合わない確率 $p$ を求める

答 $p = \frac{14}{55}$

色だけが問題なので、 $12$ か所のうちどこに赤が来るかだけを見ればよい。「隣り合わない $4$ か所」の選び方は、赤でない $8$ 個を並べてできる $9$ つのすき間から $4$ つ選ぶ、と読み替えれば数えられる。

取り出す順番は $12!$ 通りあり、どれも同じ確率で起きる。色の並びだけを見ると、赤玉4個がどの位置に来るかで決まり、その選び方 $_{12} C_{4} = 495$ 通りはどれも同じ確率である。

赤以外の8個を横一列に並べると、その両端と間に9つのすき間ができる。どの赤玉も隣り合わないように置くことは、この9つのすき間から4つを選んで1個ずつ入れることと同じである。よって

p = \frac{_{9} C _{4}}{_{12} C _{4}} = \frac{126}{495} = \frac{14}{55}

である。

$\frac{14}{55} = 0.2545 \dots$ 。黒3・赤4・白5の色の並び全 $\frac{12 !}{3 ! 4 ! 5 !} = 27720$ 通りを機械で全部調べると、赤が隣り合わないものは $7056$ 通りで、 $\frac{7056}{27720} = \frac{14}{55}$ と一致する。

(2)どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件つき確率 $q$ を求める

答 $q = \frac{103}{168}$

分子を数えるとき、(1) と同じ「赤でない8個を先に並べる」見方をそのまま使う。先に並べた8個（黒3・白5）の中で黒がくっついている場所があれば、そこには必ず赤を入れなければならない。くっついている箇所の個数で場合分けすれば数え切れる。

色の並びは全部で $\frac{12 !}{3 ! 4 ! 5 !} = 27720$ 通りあり、どれも同じ確率で起きる。

分母。 赤でない8個（黒3・白5）の並べ方が $_{8} C_{3} = 56$ 通り、その9つのすき間から4つ選んで赤を入れる方法が $_{9} C_{4} = 126$ 通りだから、赤が隣り合わない並びは $56 \times 126 = 7056$ 通りである。

分子。 赤でない8個の並びを1つ固定し、その中で黒どうしが隣り合っている箇所の個数を $m$ とする。 $m$ 箇所のすき間には必ず赤を入れなければ、最終的な並びで黒が隣り合ってしまう。逆にその $m$ 箇所に赤を入れさえすれば、残りの赤をどこに入れても黒は隣り合わない。よって赤の入れ方は $_{9 - m} C_{4 - m}$ 通りである。

$m = 0$ （黒がどこも隣り合わない）：白5個の間と両端の6つのすき間から3つ選べばよく、 $_{6} C_{3} = 20$ 通り。
$m = 2$ （黒3個が1かたまり）：8か所のうち連続3か所をかたまりの位置にすればよく、 $6$ 通り。
$m = 1$ ：全体 $_{8} C_{3} = 56$ 通りから上の2つを引いて $56 - 20 - 6 = 30$ 通り。

したがって、赤も黒も隣り合わない並びは

20 \times_{9} C_{4} + 30 \times_{8} C_{3} + 6 \times_{7} C_{2} = 2520 + 1680 + 126 = 4326

通りである。よって

q = \frac{4326}{7056} = \frac{103}{168}

となる。

$\frac{103}{168} = 0.6131 \dots$ 。全 $27720$ 通りを機械で調べると、赤も黒も隣り合わないものは $4326$ 通りで、 $\frac{4326}{7056}$ は約分して $\frac{103}{168}$ になる（ $4326 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 103$ 、 $7056 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7^{2}$ で共通因数は $42$ ）。