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東京大学　2025年度　前期日程　文科

第4問積分法の解答・解説

絶対値を含む不等式・放物線で囲まれた面積・3次関数の最大・場合分け当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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$- 2 \leq a < 2$ で $S (a)$ の最大値を求める

答 $\frac{19}{6}$ （ $a = - \frac{1}{4}$ のとき）

上の境界 $- \frac{1}{2} x^{2} + 2$ と下の境界 $x^{2} + a$ の差を積分する。絶対値は $x^{2} + a$ の符号で割れるので、 $a \geq 0$ か $a < 0$ かで形が変わる。 $a < 0$ のときは $α = - a$ を変数にとると、面積が $α$ の3次式になって扱いやすい。

$- 1 \leq x \leq 1$ とする。上の境界を $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2$ 、下の境界を $g (x) = x^{2} + a$ と書く。

$a \geq 0$ のとき。 $x^{2} + a \geq 0$ なので $g (x) = x^{2} + a$ で

f (x) - g (x) = 2 - a - \frac{3}{2} x^{2}

である。これが $- 1 \leq x \leq 1$ 全体で $0$ 以上になるのは $2 - a - \frac{3}{2} \geq 0$ 、すなわち $a \leq \frac{1}{2}$ のときで、そのとき

S (a) = \int_{- 1}^{1} (2 - a - \frac{3}{2} x^{2}) d x = 2 (2 - a) - 1 = 3 - 2 a

となり、 $a$ について減少する。 $a > \frac{1}{2}$ では区間が狭まるのでさらに小さくなる（ $X = \frac{2 ( 2 - a )}{3} < 1$ として $S (a) = 2 X^{3}$ となり、やはり減少）。よって $a \geq 0$ では $a = 0$ の $S (0) = 3$ が最大である。

$a < 0$ のとき。 $α = - a$ とおくと、 $∣ x ∣ < α$ で $x^{2} + a < 0$ 、 $∣ x ∣ > α$ で $x^{2} + a > 0$ である。

$α \geq 1$ （ $a \leq - 1$ ）のときは $- 1 \leq x \leq 1$ 全体で $g (x) = - x^{2} - a$ となり

S (a) = \int_{- 1}^{1} (\frac{1}{2} x^{2} + 2 + a) d x = \frac{1}{3} + 2 (2 + a) = \frac{13}{3} + 2 a

である（ $2 + a \geq 0$ なので被積分関数は正）。これは増加するので、この範囲では $a = - 1$ の $\frac{7}{3}$ が最大である。

$- 1 < a < 0$ （ $0 < α < 1$ ）のときは2つに分ける。 $∣ x ∣ \leq α$ では $f - g = \frac{1}{2} x^{2} + 2 + a$ 、 $α \leq ∣ x ∣ \leq 1$ では $f - g = 2 - a - \frac{3}{2} x^{2}$ で、どちらもこの範囲で正である。 $a = - α^{2}$ を使うと

\int_{- α}^{α} (\frac{1}{2} x^{2} + 2 + a) d x = \frac{α ^{3}}{3} + 2 (2 - α^{2}) α = 4 α - \frac{5}{3} α^{3}

であり、

2 \int_{α}^{1} (2 + α^{2} - \frac{3}{2} x^{2}) d x = 2 [(2 + α^{2}) x - \frac{x ^{3}}{2}]_{α}^{1} = 3 - 4 α + 2 α^{2} - α^{3}

である。足すと

S = 3 + 2 α^{2} - \frac{8}{3} α^{3} (0 \leq α \leq 1)

となる。微分すると

\frac{d S}{d α} = 4 α - 8 α^{2} = 4 α (1 - 2 α)

で、 $0 < α < \frac{1}{2}$ で正、 $\frac{1}{2} < α < 1$ で負。よって $α = \frac{1}{2}$ 、すなわち $a = - \frac{1}{4}$ で最大になり

S = 3 + 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{8} = 3 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{19}{6}

である。 $\frac{19}{6} = 3.166 \dots$ は、ほかの範囲での最大 $3$ （ $a = 0$ ）や $\frac{7}{3}$ （ $a = - 1$ ）より大きい。よって求める最大値は $\frac{19}{6}$ である。

a = - \frac{1}{4}

のときの領域（網かけ）。上の境界は

y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2

、下の境界は

y = x^{2} - \frac{1}{4}

で、

x = \pm \frac{1}{2}

で折れている。面積は

\frac{19}{6}

。

$S (0) = 3$ 、 $S (- 1) = \frac{13}{3} - 2 = \frac{7}{3} = 2.333$ 、 $S (- 2) = \frac{13}{3} - 4 = \frac{1}{3}$ で、数値積分の値 $3.000000$ 、 $2.333333$ 、 $0.333333$ と一致する。 $a$ を $- 2$ から $2$ まで $4$ 万等分した全探索でも、最大は $3.166667$ （ $a = - 0.25$ ）で $\frac{19}{6} = 3.166667$ と合う。

$a < 0$ では下の境界が $x = \pm - a$ で折れる。 $x^{2} + a$ をそのまま $x^{2} + a$ として積分すると、折れた部分のぶんだけ面積を取り違える。

$a$ そのものではなく $α = - a$ を変数にとると、面積が $α$ の3次式になって微分しやすい。 $α$ の範囲 $0 \leq α \leq 1$ （ $- 1 \leq a \leq 0$ ）を忘れない。

$a \geq \frac{1}{2}$ では上下の境界が交わって区間が狭くなる。この範囲でも $S$ は減少し続けるので最大には関わらないが、場合分けとしては触れておく。

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