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東京大学　2025年度　前期日程　文科

第2問図形と計量の解答・解説

円による被覆・垂直二等分線・外接円の半径・場合分け当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/11

問題文について

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(3) $∠ BAC = θ$ （ $0 < θ < π$ ）のとき、 $s$ と $t$ を $θ$ で表す（(1)(2) はその特別な場合）

答 $s = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} sin \frac{θ}{2} \frac{1}{2 sin \frac{θ}{2}} (0 < θ \leq \frac{π}{3}) (\frac{π}{3} \leq θ \leq \frac{π}{2}) (\frac{π}{2} \leq θ < π)$ 、 $t = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2 cos \frac{θ}{2}} \frac{1}{2 sin \frac{θ}{2}} (0 < θ \leq \frac{π}{2}) (\frac{π}{2} \leq θ < π)$ 。とくに (1) $θ = \frac{π}{3}$ では $s = \frac{1}{2}$ 、 $t = \frac{3}{3}$ 、(2) $θ = \frac{2 π}{3}$ では $s = t = \frac{3}{3}$

「 $D_{r}$ に含まれる」は「どの点も3頂点のどれかから距離 $r$ 以内」ということなので、 $X max min (XA, XB, XC)$ を求めればよい。 $s$ は $X$ を3辺の上で、 $t$ は三角形全体で動かしたときの値である。 $t$ のほうは、垂直二等分線で分けて「どの頂点がいちばん近いか」ごとに考えると、各部分は凸多角形になり、頂点だけ調べれば最大が分かる。

$A$ を原点、 $∠ BAC$ の二等分線を $x$ 軸にとり、 $h = cos \frac{θ}{2}$ 、 $m = sin \frac{θ}{2}$ とおいて

A (0, 0), B (h, - m), C (h, m)

とする。 $AB = AC = 1$ ✓、 $BC = 2 m$ で、 $A$ から $BC$ までの距離は $h$ である。 $BC$ の中点を $N (h, 0)$ とする。

「図形が $D_{r}$ に含まれる」とは、その図形のどの点 $X$ についても $min (XA, XB, XC) \leq r$ ということである。したがって $s$ は3辺の上での、 $t$ は三角形全体での、この最小値の最大である。

$s$ を求める。 辺 $AB$ の中点を $M$ とすると $AM = BM = \frac{1}{2}$ で、中線の長さの公式から

CM^{2} = \frac{2 CA ^{2} + 2 CB ^{2} - AB ^{2}}{4} = \frac{1 + 8 m ^{2}}{4} \geq \frac{1}{4}

なので $CM \geq \frac{1}{2}$ である。よって $M$ については3つの距離がすべて $\frac{1}{2}$ 以上で、 $s \geq \frac{1}{2}$ が必要である。逆に $r \geq \frac{1}{2}$ なら、辺 $AB$ 、 $AC$ は長さ $1$ なので両端の円だけで覆える。

残るのは辺 $BC$ （長さ $2 m$ ）である。 $B, C$ の円だけで覆えるのは $r \geq m$ のとき。そうでないときは真ん中が $A$ の円で覆われなければならない。 $A$ の円は直線 $BC$ を、 $N$ を中心とする長さ $2 r^{2} - h^{2}$ の部分で切るので、条件は

m - r \leq r^{2} - h^{2} ⟺ m^{2} - 2 m r + r^{2} \leq r^{2} - h^{2} ⟺ r \geq \frac{m ^{2} + h ^{2}}{2 m} = \frac{1}{2 m}

となる。つまり辺 $BC$ が覆われる条件は $r \geq min (m, \frac{1}{2 m})$ である。合わせて

s = max {\frac{1}{2}, min (m, \frac{1}{2 m})}

である。 $m \leq \frac{1}{2 m}$ は $m \leq \frac{1}{2}$ 、すなわち $θ \leq \frac{π}{2}$ と同値、 $m \geq \frac{1}{2}$ は $θ \geq \frac{π}{3}$ と同値なので、 $s$ は答えの3段の式になる（ $\frac{1}{2 m} \geq \frac{1}{2}$ はつねに成り立つ）。

$t$ を求める。 $x$ 軸について対称なので、 $y \geq 0$ の側だけ考えればよい。 $y \geq 0$ では

XB^{2} - XC^{2} = (y + m)^{2} - (y - m)^{2} = 4 m y \geq 0

なので $XB \geq XC$ となり、 $B$ が最も近い頂点になることはない。つまり $min (XA, XB, XC) = min (XA, XC)$ である。

そこで、三角形の上半分（ $A$ 、 $N$ 、 $C$ を頂点とする直角三角形）を、 $AC$ の垂直二等分線 $h x + m y = \frac{1}{2}$ で2つに分ける。定点からの距離は凸関数なので、凸多角形の上での最大は頂点で起きる。各部分の頂点を調べればよい。

この垂直二等分線は、辺 $AN$ （ $y = 0$ ）とは $x = \frac{1}{2 h}$ で、辺 $NC$ （ $x = h$ ）とは $y = \frac{\frac{1}{2} - h ^{2}}{m}$ で交わる。 $\frac{1}{2 h} \leq h$ は $2 h^{2} \geq 1$ 、すなわち $θ \leq \frac{π}{2}$ と同値である。

$θ \leq \frac{π}{2}$ のとき：二等分線は $AN$ 上の点 $O (\frac{1}{2 h}, 0)$ と $AC$ の中点を結ぶ。 $A$ 側の部分の頂点は $A$ 、 $O$ 、 $AC$ の中点で、 $A$ からの距離はそれぞれ $0$ 、 $\frac{1}{2 h}$ 、 $\frac{1}{2}$ 。 $C$ 側の部分の頂点は $O$ 、 $N$ 、 $C$ 、 $AC$ の中点で、 $C$ からの距離は $\frac{1}{2 h}$ （ $O$ は二等分線上なので $OA = OC$ ）、 $m$ 、 $0$ 、 $\frac{1}{2}$ 。 $\frac{1}{2 h} \geq m$ は $sin θ \leq 1$ と同じでつねに成り立つので、最大は $\frac{1}{2 h} = \frac{1}{2 cos \frac{θ}{2}}$ 。これは外接円の半径である。
$θ \geq \frac{π}{2}$ のとき：二等分線は $NC$ 上の点 $T (h, \frac{\frac{1}{2} - h ^{2}}{m})$ と $AC$ の中点を結ぶ。 $T$ は二等分線上なので $TA = TC$ で、 $TC = m - \frac{\frac{1}{2} - h ^{2}}{m} = \frac{m ^{2} + h ^{2} - \frac{1}{2}}{m} = \frac{1}{2 m}$ である。 $A$ 側の部分の頂点は $A$ 、 $N$ 、 $T$ 、 $AC$ の中点で、 $A$ からの距離は $0$ 、 $h$ 、 $\frac{1}{2 m}$ 、 $\frac{1}{2}$ 。 $C$ 側の頂点は $T$ 、 $C$ 、 $AC$ の中点で、 $C$ からの距離は $\frac{1}{2 m}$ 、 $0$ 、 $\frac{1}{2}$ 。 $h \leq \frac{1}{2 m}$ は $sin θ \leq 1$ と同じなので、最大は $\frac{1}{2 m} = \frac{1}{2 sin \frac{θ}{2}}$ 。

以上から $t$ は答えの2段の式になる。

(1)(2) の値。 $θ = \frac{π}{3}$ のとき $m = \frac{1}{2}$ なので $s = \frac{1}{2}$ 、 $h = \frac{3}{2}$ より $t = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ （正三角形の外接円の半径）。 $θ = \frac{2 π}{3}$ のとき $m = \frac{3}{2}$ なので $s = t = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ である。

θ = \frac{2 π}{3}

のとき（(2)）。半径

\frac{3}{3}

の3つの円で、三角形がちょうど覆われる。

∙

は最後まで覆われずに残る点で、

A

からも

C

からも距離が

\frac{3}{3}

になる。

3辺を $20000$ 等分して「3頂点までの距離の最小」の最大を数値で求めると、 $θ = \frac{π}{3}$ で $0.50000$ 、 $θ = \frac{2 π}{3}$ で $0.57734$ となり、式の $0.5$ 、 $\frac{3}{3} = 0.57735$ と合う。三角形の内部も $700 \times 700$ の格子で調べると、 $θ = \frac{π}{3}$ で $0.57653$ 、 $θ = \frac{2 π}{3}$ で $0.57653$ となり、どちらも $\frac{3}{3}$ に（格子の刻みぶんの誤差で）一致する。

$s$ と $t$ は $θ \geq \frac{π}{2}$ では一致する。最後まで覆われずに残る点が辺 $BC$ の上にあるためで、「三角形のほうが辺より広いから $t$ が大きいはず」とは限らない。

$t$ を「外接円の半径」と答えてしまうのは $θ \leq \frac{π}{2}$ （鋭角三角形）のときだけである。鈍角になると外心が三角形の外に出て、最も覆いにくい点は辺 $BC$ の上に移る。

$s$ の場合分けは $θ = \frac{π}{3}$ と $θ = \frac{π}{2}$ の2か所で起きる。前者は「辺 $AB$ と辺 $BC$ のどちらが厳しいか」、後者は「辺 $BC$ を両端の円で覆うか $A$ の円も使うか」の切り替わりである。

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(3)∠BAC=θ（0<θ<π）のとき、s と t を θ で表す（(1)(2) はその特別な場合）

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