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東京大学　2025年度　前期日程　文科

第1問図形と方程式の解答・解説

接線と法線・放物線と直線の交点・相加相乗平均・最小値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $Q$ の $x$ 座標を求める

答 $- a - \frac{1}{2 a}$

放物線と直線の交点は、連立して2次方程式を解けばよい。ただし $x = a$ が解であることは分かっているので、因数 $x - a$ でくくれる。くくった残りがそのまま答えになる。

$y = x^{2}$ より $y^{'} = 2 x$ なので、 $P (a, a^{2})$ における接線の傾きは $2 a$ である。 $a > 0$ だから、これと直交する直線 $ℓ$ の傾きは $- \frac{1}{2 a}$ で

ℓ : y - a^{2} = - \frac{1}{2 a} (x - a)

である。 $y = x^{2}$ と連立すると

x^{2} - a^{2} = - \frac{1}{2 a} (x - a) ⟺ (x - a) (x + a + \frac{1}{2 a}) = 0

となる。 $x = a$ は $P$ だから、 $Q$ の $x$ 座標は $- a - \frac{1}{2 a}$ である。

$a = 1$ なら $Q$ の $x$ 座標は $- \frac{3}{2}$ 。 $P (1, 1)$ での法線は $y - 1 = - \frac{1}{2} (x - 1)$ で、 $x = - \frac{3}{2}$ を入れると $y = 1 - \frac{1}{2} (- \frac{5}{2}) = \frac{9}{4} = (- \frac{3}{2})^{2}$ となり、確かに放物線上にある。

(2) $a$ が正の実数全体を動くとき、 $R$ の $x$ 座標の最小値を求める

答 $\frac{5 2}{4}$ （ $a = \frac{1}{2}$ のとき）

(1) で作った「点の $x$ 座標 $\to$ 法線のもう一方の交点の $x$ 座標」という対応は、 $a$ の符号によらず $b \mapsto - b - \frac{1}{2 b}$ の形で同じように使える。だから $R$ の $x$ 座標はこの対応を2回繰り返したものになる。 $u = a + \frac{1}{2 a}$ とまとめると、相加相乗平均で $u$ の範囲が決まり、あとは $u$ の増加関数になる。

$Q$ の $x$ 座標を $b$ とすると、(1) と同じ計算（ $a$ を $b$ に置きかえるだけで、 $b \neq = 0$ なら途中の式はそのまま通る）で、 $R$ の $x$ 座標は $- b - \frac{1}{2 b}$ である。

$u = a + \frac{1}{2 a}$ とおくと $b = - u$ で、 $u > 0$ だから

(R の x 座標) = - (- u) - \frac{1}{2 ( - u )} = u + \frac{1}{2 u}

となる。 $a > 0$ での相加相乗平均より

u = a + \frac{1}{2 a} \geq 2 a \cdot \frac{1}{2 a} = 2

で、等号は $a = \frac{1}{2 a}$ 、すなわち $a = \frac{1}{2}$ のときに成り立つ。また $a$ が正の実数全体を動くとき $u$ は $2$ 以上のすべての値をとる。

次に $v \mapsto v + \frac{1}{2 v}$ の増減を見る。 $(v + \frac{1}{2 v})^{'} = 1 - \frac{1}{2 v ^{2}}$ で、 $v \geq 2$ では $2 v^{2} \geq 4 > 1$ だから正である。よってこの関数は $v \geq 2$ で増加し、 $u = 2$ のときに最小になる。

2 + \frac{1}{2 2} = 2 + \frac{2}{4} = \frac{5 2}{4}

したがって $R$ の $x$ 座標の最小値は $\frac{5 2}{4}$ である。

最小になるとき（

a = \frac{1}{2}

）の様子。

P

での法線が

Q

を、

Q

での法線が

R

を決める。

R

の

x

座標は

\frac{5 2}{4} = 1.7678

。

$a = \frac{1}{2} = 0.7071$ のとき $u = 0.7071 + 0.7071 = 2$ 、 $Q$ の $x$ 座標は $- 2$ 、 $R$ の $x$ 座標は $2 + \frac{1}{2 2} = 1.7678$ 。 $a = 0.9$ では $u = 1.4556$ 、 $R$ の $x$ 座標は $1.7991$ でわずかに大きい。 $a$ を $40$ 万等分した全探索でも最小は $1.767766953$ （ $a = 0.70711$ ）だった。

(1) の公式を使い回すとき、 $Q$ の $x$ 座標は負である。 $a > 0$ を仮定して導いた式でも、途中で $a > 0$ を使っているのは「接線の傾きが $0$ でない」ところだけなので、 $b \neq = 0$ ならそのまま成り立つ。

$u + \frac{1}{2 u}$ に相加相乗平均をもう一度使うと最小が $u = \frac{1}{2}$ のときになるが、 $u \geq 2$ なのでその値はとれない。範囲の端で最小になることを、増加であることから言う。

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(1)Q の x 座標を求める

(2)a が正の実数全体を動くとき、R の x 座標の最小値を求める

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