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東京大学　2024年度　前期日程　文科

第1問図形と方程式・積分法の解答・解説

円の接線・放物線と直線の接触・面積・相加相乗平均当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1) $a, b, c$ を $s = sin θ$ で表す

答 $a = - \frac{1}{2 s}$ 、 $b = 0$ 、 $c = \frac{s ^{2} + 1}{2 s}$

「共通の接線を持つ」とは、その点で接線の傾きが一致することである。円 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上の点での接線は半径と垂直なので、傾きはすぐ書ける。 $P$ と $Q$ の2本を立てると、足して $b$ が、引いて $a$ が決まる。

$c = cos θ$ と書くと紛らわしいので、 $P (cos θ, sin θ)$ 、 $Q (- cos θ, sin θ)$ のまま進める。 $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ より $cos θ > 0$ 、 $sin θ > 0$ である。

円 $x^{2} + y^{2} = 1$ の点 $P$ における接線は半径 $OP$ に垂直である。 $OP$ の方向は $(cos θ, sin θ)$ だから、接線の傾きは $- \frac{cos θ}{sin θ}$ である。同様に $Q$ での接線の傾きは $\frac{cos θ}{sin θ}$ である。

放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ の接線の傾きは $2 a x + b$ だから、共通接線をもつ条件は

2 a cos θ + b = - \frac{cos θ}{sin θ}, - 2 a cos θ + b = \frac{cos θ}{sin θ}

である。辺々足すと $2 b = 0$ で $b = 0$ 。辺々引くと $4 a cos θ = - \frac{2 cos θ}{sin θ}$ で、 $cos θ \neq = 0$ より

a = - \frac{1}{2 sin θ} = - \frac{1}{2 s}

を得る。 $P$ を通ることから、 $cos^{2} θ = 1 - s^{2}$ を使って

s = a (1 - s^{2}) + c, c = s + \frac{1 - s ^{2}}{2 s} = \frac{2 s ^{2} + 1 - s ^{2}}{2 s} = \frac{s ^{2} + 1}{2 s}

となる。 $Q$ を通る条件は $b = 0$ のもとで同じ式になるので、新しい条件は出ない。

$θ = 4 5^{\circ}$ （ $s = \frac{1}{2}$ ）なら $a = - \frac{1}{2}$ 、 $c = \frac{3}{2 2}$ 。 $x = \frac{1}{2}$ を入れると $y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2 2} = \frac{1}{2}$ で $P$ を通る。傾きは $2 a \cdot \frac{1}{2} = - 1$ で、円の接線の傾き $- \frac{cos 4 5 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ}} = - 1$ と一致する。

「共通の接線を持つ」は「接線の傾きが等しい」だけでなく「同じ点を通る」ことも要るが、どちらも点 $P$ で接するので、通ることは「放物線が $P$ を通る」という条件に含まれている。

$b = 0$ は、 $P$ と $Q$ が $y$ 軸について対称であることから当然そうなる。先に $b = 0$ と見当をつけてもよいが、2式を足して出すほうが確実である。

(2)放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $A$ を $s$ で表す

答 $A = \frac{2 ( s ^{2} + 1 ) s ^{2} + 1}{3 s}$

$b = 0$ なので $C$ は $y$ 軸について対称な上に凸の放物線である。 $x$ 軸との交点がすぐ求まるので、 $\frac{1}{6}$ 公式を使えば積分を書かずに面積が出る。

(1) より

C : y = - \frac{1}{2 s} x^{2} + \frac{s ^{2} + 1}{2 s} = \frac{1}{2 s} {(s^{2} + 1) - x^{2}}

である。 $s > 0$ より上に凸で、 $x$ 軸との交点は $x = \pm β$ （ $β = s^{2} + 1$ ）である。 $\frac{1}{6}$ 公式より

A = \frac{- \frac{1}{2 s}}{6} (2 β)^{3} = \frac{8 β ^{3}}{12 s} = \frac{2 β ^{3}}{3 s} = \frac{2 ( s ^{2} + 1 ) s ^{2} + 1}{3 s}

となる。

$s = \frac{1}{2}$ なら $β = \frac{3}{2}$ で $A = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{2}} = 3 = 1.7320$ 。数値積分しても $1.73205081$ で一致する。 $s = 0.5$ では式が $1.86338998$ 、数値積分も $1.86338998$ だった。

(3) $A \geq 3$ を示す

答 $s = \frac{1}{2}$ （ $θ = 4 5^{\circ}$ ）で最小値 $3$ をとる

$A$ を $s$ の関数として微分するのが素直だが、根号つきなので $A^{2}$ を調べるほうが楽である。 $A^{2} = \frac{4 ( s ^{2} + 1 ) ^{3}}{9 s ^{2}}$ で、 $u = s^{2}$ とおけば $u$ の分数関数になり、相加相乗平均が使える形に整理できる。

$0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ より $0 < s < 1$ である。 $A > 0$ なので $A^{2}$ の最小を調べればよい。 $u = s^{2}$ （ $0 < u < 1$ ）とおくと

A^{2} = \frac{4 ( s ^{2} + 1 ) ^{3}}{9 s ^{2}} = \frac{4 ( u + 1 ) ^{3}}{9 u}

である。 $g (u) = \frac{( u + 1 ) ^{3}}{u}$ を微分すると

g^{'} (u) = \frac{3 ( u + 1 ) ^{2} \cdot u - ( u + 1 ) ^{3}}{u ^{2}} = \frac{( u + 1 ) ^{2} { 3 u - ( u + 1 ) }}{u ^{2}} = \frac{( u + 1 ) ^{2} ( 2 u - 1 )}{u ^{2}}

となる。 $u > 0$ では符号は $2 u - 1$ で決まり、 $u < \frac{1}{2}$ で負、 $u > \frac{1}{2}$ で正である。よって $g$ は $u = \frac{1}{2}$ で最小になり

g (\frac{1}{2}) = \frac{( \frac{3}{2} ) ^{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{27}{8} \cdot 2 = \frac{27}{4}

である。したがって

A^{2} \geq \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{4} = 3, A \geq 3

となる。等号は $u = \frac{1}{2}$ 、すなわち $s = \frac{1}{2}$ （ $θ = 4 5^{\circ}$ ）のときに成り立ち、この $θ$ は $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ の範囲にある。

等号が成り立つ

θ = 4 5^{\circ}

のとき。放物線

C

は円

x^{2} + y^{2} = 1

と

P, Q

で接し、網かけの面積が

3

になる。

$s = \frac{1}{2}$ で $A = 3 = 1.73205$ 。 $s = 0.2$ では $3.53532$ 、 $s = 0.9$ では $1.80378$ で、どちらも $3$ より大きい。 $s$ を $20$ 万等分した全探索でも最小は $1.732050808$ （ $s = 0.707105$ ）だった。

根号のまま微分すると式が重い。 $A^{2}$ （さらに $u = s^{2}$ ）に直すと、ただの分数関数の最小問題になる。

最小を与える $s = \frac{1}{2}$ が $0 < s < 1$ の内部にあることを確かめる。端での値と比べる必要はない。

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(1)a,b,c を s=sinθ で表す

(2)放物線 C と x 軸で囲まれた図形の面積 A を s で表す

(3)A≥3​ を示す

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