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東京大学　2024年度　前期日程　文科

第4問確率・場合の数の解答・解説

円に内接する多角形・余事象・組合せ・半円に収まる条件当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

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選んだ4点を頂点とする四角形が $O$ を内部に含む確率 $p_{n}$ を求める

答 $p_{n} = \frac{n + 1}{2 ( n - 2 )}$

「中心を内部に含む」より「含まない」のほうが数えやすい。円に内接する多角形が中心を内部に含まないのは、4点が半円（中心を通る直線の片側）にまとめて乗っているときである。 $n$ が奇数なので対頂の点が存在せず、その数え方が重複なく進む。

正 $n$ 角形の頂点に、円周に沿って $0, 1, \dots, n - 1$ と番号をつける。 $n = 2 k + 1$ （ $k \geq 2$ ）とおく。

円周上の4点を頂点とする四角形が中心 $O$ を内部に含まないのは、4点が $O$ を通るある直線の片側（境界を含む半円）にすべて乗っているときである。言いかえると、4点を円周順に並べたときにできる4つの弧のうち、いちばん大きいものが半円以上になるときである。

$n$ は奇数なので、頂点どうしを結ぶ線分が中心を通ることはなく、半円にちょうど収まる4点の集まりは「連続する $k + 1$ 個の頂点の中に入っているもの」と一致する。実際、頂点どうしの間隔は $\frac{2 π}{n}$ で、長さ $π$ の弧は $k + \frac{1}{2}$ 間隔ぶんなので、半円に入る頂点は最大 $k + 1$ 個である。

そこで、半円に収まる4点の組を「いちばん反時計回り側の点」で分類する。その点を $v$ とすると、残りの3点は $v$ から時計回りに続く $k$ 個の頂点から選ぶことになるので $_{k} C_{3}$ 通り。 $v$ の選び方は $n$ 通りで、どの組も $v$ がただ1つに定まるため重複はない。よって $O$ を含まない選び方は

n \cdot_{k} C_{3} 通り

である。全体は $_{n} C_{4}$ 通りだから

1 - p_{n} = \frac{n \cdot _{k} C _{3}}{_{n} C _{4}} = \frac{n \cdot \frac{k ( k - 1 ) ( k - 2 )}{6}}{\frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 )}{24}} = \frac{4 k ( k - 1 ) ( k - 2 )}{( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 )}

となる。 $n = 2 k + 1$ より $n - 1 = 2 k$ 、 $n - 2 = 2 k - 1$ 、 $n - 3 = 2 (k - 1)$ なので

1 - p_{n} = \frac{4 k ( k - 1 ) ( k - 2 )}{2 k \cdot ( 2 k - 1 ) \cdot 2 ( k - 1 )} = \frac{k - 2}{2 k - 1}

であり

p_{n} = 1 - \frac{k - 2}{2 k - 1} = \frac{k + 1}{2 k - 1}

となる。 $k = \frac{n - 1}{2}$ を戻すと $k + 1 = \frac{n + 1}{2}$ 、 $2 k - 1 = n - 2$ なので

p_{n} = \frac{n + 1}{2 ( n - 2 )}

である。

n = 9

のとき、連続する4頂点を選んだ場合。4点がすべて半円に収まるので、四角形は中心

O

を内部に含まない。

_{9} C_{4} = 126

通りのうち、こうなるのは

9 \times_{4} C_{3} = 36

通り。

$n = 5$ では $p_{5} = \frac{6}{6} = 1$ 、 $n = 7$ では $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ 、 $n = 9$ では $\frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ 。 $_{n} C_{4}$ 通りをすべて列挙して「偏角の最大の隙間が $π$ 未満か」で判定すると、 $n = 5, 7, 9, 11, 13, 15, 21$ のすべてで分数として一致した。

$n$ が奇数であることが効いている。偶数だと向かい合う頂点が存在し、半円の境界に2点が乗る場合が出て、「いちばん反時計回り側の点」での分類に重複が生じる。

$k = 2$ （ $n = 5$ ）では $_{2} C_{3} = 0$ で、 $O$ を含まない選び方が1つもない。正五角形から4点選ぶとどう選んでも中心を含む、という事実と合う。

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選んだ4点を頂点とする四角形が O を内部に含む確率 pn​ を求める

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