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東京大学　2024年度　前期日程　文科

第2問指数・対数の解答・解説

常用対数・桁数の評価・不等式のはさみ・指数の比較当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1) $5^{n} > 1 0^{19}$ となる最小の自然数 $n$ を求める

答 $n = 28$

両辺の常用対数をとると $n lo g_{10} 5 > 19$ になる。 $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ なので、与えられた $lo g_{10} 2$ の評価がそのまま使える。 $n = 27$ と $n = 28$ の2つを押さえれば終わる。

$lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ で、 $0.3 < lo g_{10} 2 < 0.31$ より

0.69 < lo g_{10} 5 < 0.7

である。 $5^{n} > 1 0^{19}$ は $n lo g_{10} 5 > 19$ と同値である。

$n = 27$ ： $27 lo g_{10} 5 < 27 \times 0.7 = 18.9 < 19$ なので $5^{27} < 1 0^{19}$ 。
$n = 28$ ： $28 lo g_{10} 5 > 28 \times 0.69 = 19.32 > 19$ なので $5^{28} > 1 0^{19}$ 。

$5^{n}$ は $n$ について増加するから、 $5^{n} > 1 0^{19}$ となる最小の自然数は $n = 28$ である。

実際に計算すると $5^{27} = 7450580596923828125$ （ $7.45 \times 1 0^{18}$ ）で $1 0^{19}$ より小さく、 $5^{28} = 37252902984619140625$ （ $3.73 \times 1 0^{19}$ ）で大きい。

(2) $5^{m} + 4^{m} > 1 0^{19}$ となる最小の自然数 $m$ を求める

答 $m = 28$

$5^{m} + 4^{m} > 5^{m}$ なので、(1) から $m \leq 28$ はすぐ分かる。残るのは「 $m = 27$ では足りない」ことで、 $4^{27}$ が $5^{27}$ に比べてどれくらい小さいかを押さえればよい。 $(\frac{4}{5})^{9} < \frac{1}{4}$ が使える。

$5^{28} + 4^{28} > 5^{28} > 1 0^{19}$ は (1) から従うので、 $m = 28$ は条件をみたす。あとは $m = 27$ では足りないことを示せばよい。

$(\frac{4}{5})^{9} = \frac{4 ^{9}}{5 ^{9}} = \frac{262144}{1953125}$ で、 $4 \times 262144 = 1048576 < 1953125$ だから

(\frac{4}{5})^{9} < \frac{1}{4}

である。 $0 < \frac{4}{5} < 1$ なので $27 > 9$ より $(\frac{4}{5})^{27} < (\frac{4}{5})^{9} < \frac{1}{4}$ 、すなわち

4^{27} < \frac{5 ^{27}}{4}

が成り立つ。したがって

5^{27} + 4^{27} < 5^{27} + \frac{5 ^{27}}{4} = \frac{5}{4} \cdot 5^{27} = \frac{5 ^{28}}{4}

である。右辺の常用対数は

lo g_{10} \frac{5 ^{28}}{4} = 28 lo g_{10} 5 - 2 lo g_{10} 2 = 28 - 30 lo g_{10} 2 < 28 - 30 \times 0.3 = 19

なので $\frac{5 ^{28}}{4} < 1 0^{19}$ 、よって $5^{27} + 4^{27} < 1 0^{19}$ である。 $5^{m} + 4^{m}$ は $m$ について増加するから、求める最小の自然数は $m = 28$ である。

$5^{27} + 4^{27} = 7468594995433310109$ で、 $1 0^{19}$ より小さい。 $\frac{5 ^{28}}{4} = 9313225746154785156.25$ もたしかに $1 0^{19}$ 未満である。

$5^{m} + 4^{m} < 2 \cdot 5^{m}$ という粗い評価では足りない。 $lo g_{10} (2 \cdot 5^{27}) = 27 - 26 lo g_{10} 2 < 19.2$ までしか言えず、 $19$ を切れない。 $4^{27}$ が $5^{27}$ の $\frac{1}{4}$ より小さいところまで詰める必要がある。

$(\frac{4}{5})^{3} = \frac{64}{125}$ は $\frac{1}{2}$ より大きいので、3乗で止めると足りない。9乗まで進めると $\frac{1}{4}$ を切る。

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