独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問3問・無料

東京大学　2024年度　前期日程　文科

第3問図形と方程式の解答・解説

正接の加法定理・2倍角の公式・3次方程式・三角形の面積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $q$ を $p$ で表す

答 $q = \frac{p ( 3 - p ^{2} )}{2 ( 1 - p ^{2} )}$

$M$ は $AP$ の中点なので、半直線 $MP$ は半直線 $AP$ と同じ向きである。だから $∠ PMQ$ は「直線 $AP$ と直線 $MQ$ のなす角」で、 $x$ 軸との傾きで測れる。 $tan$ で書き直すと、2倍角の公式がそのまま出てくる形になる。

$α = ∠ OAP$ とおく。 $A (0, 1)$ 、 $O (0, 0)$ 、 $P (p, 0)$ で $∠ AOP = 9 0^{\circ}$ だから

tan α = \frac{OP}{OA} = p

である。 $0 < p < 1$ より $0 < α < 4 5^{\circ}$ である。

$M (\frac{p}{2}, \frac{1}{2})$ は $AP$ の中点なので、半直線 $MP$ は半直線 $AP$ と同じ向きである。直線 $AP$ が $x$ 軸の正の向きとなす角は、傾きが $- \frac{1}{p}$ なので $18 0^{\circ} - β$ （ $tan β = \frac{1}{p}$ ）と書ける。いっぽう直線 $MQ$ は $M$ から $Q (q, 0)$ へ下る向きで、 $x$ 軸の正の向きとなす角は $- γ$ （ $tan γ = \frac{\frac{1}{2}}{q - \frac{p}{2}} = \frac{1}{2 q - p}$ ）である。

$M$ を頂点として測ると

∠ PMQ = β - γ

である（ $q > p$ より $2 q - p > p$ なので $tan γ < tan β$ 、すなわち $γ < β$ ）。また $tan β = \frac{1}{p} = \frac{1}{tan α}$ だから $β = 9 0^{\circ} - α$ である。条件 $∠ OAP = ∠ PMQ$ は

α = (9 0^{\circ} - α) - γ, γ = 9 0^{\circ} - 2 α

となる。よって

\frac{1}{2 q - p} = tan γ = tan (9 0^{\circ} - 2 α) = \frac{1}{tan 2 α}

すなわち $2 q - p = tan 2 α$ である。2倍角の公式から

tan 2 α = \frac{2 tan α}{1 - tan ^{2} α} = \frac{2 p}{1 - p ^{2}}

（ $0 < p < 1$ より分母は正）なので

q = \frac{1}{2} (p + \frac{2 p}{1 - p ^{2}}) = \frac{p ( 1 - p ^{2} ) + 2 p}{2 ( 1 - p ^{2} )} = \frac{p ( 3 - p ^{2} )}{2 ( 1 - p ^{2} )}

を得る。このとき $\frac{q}{p} = \frac{3 - p ^{2}}{2 ( 1 - p ^{2} )} > 1$ （ $3 - p^{2} > 2 - 2 p^{2}$ は $p^{2} > - 1$ と同値）なので、条件 $p < q$ も自動的にみたされる。

p = \frac{1}{2}

のときの配置。

M

は

AP

の中点で、

∠ OAP

と

∠ PMQ

（網かけ）が等しくなるように

Q

が決まる。このとき

q = \frac{11}{12}

。

$p = \frac{1}{2}$ なら $q = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{4}}{2 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{11}{12} = 0.9167$ 。 $M (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ として内積から角を計算すると、 $∠ OAP = ∠ PMQ = 0.46365$ ラジアンで一致する。 $p$ を $0.001$ 刻みで $999$ 点調べても例外はなかった。

$∠ PMQ$ の $MP$ 側は、 $M$ から $P$ へ向かう向きである。 $A$ から $P$ へ向かう向きと同じなので、直線 $AP$ の傾きがそのまま使える。

$β = 9 0^{\circ} - α$ に気づくと、条件が $γ = 9 0^{\circ} - 2 α$ という素直な形になり、2倍角の公式につながる。

(2) $q = \frac{1}{3}$ となる $p$ の値を求める

答 $p = \frac{7 - 2}{3}$

(1) の式を代入して分母を払うと $p$ の3次方程式になる。範囲外の整数解 $p = 2$ が見つかるので、そこで因数分解できる。

$\frac{p ( 3 - p ^{2} )}{2 ( 1 - p ^{2} )} = \frac{1}{3}$ の分母を払うと

3 p (3 - p^{2}) = 2 (1 - p^{2}) ⟺ 3 p^{3} - 2 p^{2} - 9 p + 2 = 0

となる。 $p = 2$ を代入すると $24 - 8 - 18 + 2 = 0$ なので $p - 2$ で割り切れて

(p - 2) (3 p^{2} + 4 p - 1) = 0

である。 $0 < p < 1$ より $p = 2$ は不適。 $3 p^{2} + 4 p - 1 = 0$ を解くと

p = \frac{- 2 \pm 7}{3}

で、 $7 = 2.64 \dots$ より正の解は $p = \frac{7 - 2}{3} = 0.215 \dots$ である。これは $0 < p < 1$ をみたすので、これが答えである。

$p = \frac{7 - 2}{3} = 0.2152504$ を (1) の式に入れると $q = 0.3333333$ となり、 $\frac{1}{3}$ と一致する。

(3) $△ OAP = S$ 、 $△ PMQ = T$ とするとき、 $S > T$ となる $p$ の範囲を求める

答 $0 < p < \frac{15}{5}$

どちらの三角形も底辺が $x$ 軸上にあるので、面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」ですぐ書ける。 $M$ の高さが $\frac{1}{2}$ で固定なのがポイントで、 $S > T$ は $q < 3 p$ という単純な条件になる。

$△ OAP$ は $O$ で直角なので $S = \frac{1}{2} \cdot OP \cdot OA = \frac{p}{2}$ である。 $△ PMQ$ は底辺 $PQ$ が $x$ 軸上にあり長さ $q - p$ 、高さは $M$ の $y$ 座標 $\frac{1}{2}$ だから

T = \frac{1}{2} (q - p) \cdot \frac{1}{2} = \frac{q - p}{4}

である。よって

S > T ⟺ \frac{p}{2} > \frac{q - p}{4} ⟺ 2 p > q - p ⟺ q < 3 p

となる。(1) の式を代入し、 $p > 0$ で割ると

\frac{3 - p ^{2}}{2 ( 1 - p ^{2} )} < 3

である。 $0 < p < 1$ より $1 - p^{2} > 0$ なので、分母を払って

3 - p^{2} < 6 - 6 p^{2} ⟺ 5 p^{2} < 3 ⟺ p < \frac{3}{5} = \frac{15}{5}

を得る。 $\frac{15}{5} = 0.774 \dots < 1$ なので、 $0 < p < 1$ とあわせて求める範囲は $0 < p < \frac{15}{5}$ である。

$p = 0.5$ なら $S = 0.25$ 、 $q = \frac{11}{12}$ より $T = \frac{11/12 - 1/2}{4} = \frac{5}{48} = 0.104$ で $S > T$ 。 $p = 0.8 > \frac{15}{5}$ では $q = \frac{0.8 \times 2.36}{2 \times 0.36} = 2.622$ 、 $T = \frac{1.822}{4} = 0.456 > S = 0.4$ となり逆転する。 $0.001$ 刻みの全探索でも境目は $0.774$ と $0.775$ のあいだだった。

$△ PMQ$ の高さは $M$ の $y$ 座標 $\frac{1}{2}$ で、 $p$ によらない。 $M$ が $AP$ の中点で $A$ の高さが $1$ だからである。

$1 - p^{2} > 0$ を確かめてから分母を払う。 $p > 1$ なら不等号の向きが変わるが、ここでは $0 < p < 1$ なので心配ない。

2024年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる東大文系数学 2027

東大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全2巻を見る¥2,695・102ページ・2026年8月9日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)q を p で表す

(2)q=31​ となる p の値を求める

(3)△OAP=S、△PMQ=T とするとき、S>T となる p の範囲を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1) $q$ を $p$ で表す

(2) $q = \frac{1}{3}$ となる $p$ の値を求める

(3) $△ OAP = S$ 、 $△ PMQ = T$ とするとき、 $S > T$ となる $p$ の範囲を求める