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東京大学　2024年度　前期日程　文科

東大文系 2024年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　図形と方程式・積分法

円の接線・放物線と直線の接触・面積・相加相乗平均当サイトの体感難易度：標準

(1) $a, b, c$ を $s = sin θ$ で表す

答 $a = - \frac{1}{2 s}$ 、 $b = 0$ 、 $c = \frac{s ^{2} + 1}{2 s}$

「共通の接線を持つ」とは、その点で接線の傾きが一致することである。円 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上の点での接線は半径と垂直なので、傾きはすぐ書ける。 $P$ と $Q$ の2本を立てると、足して $b$ が、引いて $a$ が決まる。

$c = cos θ$ と書くと紛らわしいので、 $P (cos θ, sin θ)$ 、 $Q (- cos θ, sin θ)$ のまま進める。 $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ より $cos θ > 0$ 、 $sin θ > 0$ である。

円 $x^{2} + y^{2} = 1$ の点 $P$ における接線は半径 $OP$ に垂直である。 $OP$ の方向は $(cos θ, sin θ)$ だから、接線の傾きは $- \frac{cos θ}{sin θ}$ である。同様に $Q$ での接線の傾きは $\frac{cos θ}{sin θ}$ である。

放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ の接線の傾きは $2 a x + b$ だから、共通接線をもつ条件は

2 a cos θ + b = - \frac{cos θ}{sin θ}, - 2 a cos θ + b = \frac{cos θ}{sin θ}

である。辺々足すと $2 b = 0$ で $b = 0$ 。辺々引くと $4 a cos θ = - \frac{2 cos θ}{sin θ}$ で、 $cos θ \neq = 0$ より

a = - \frac{1}{2 sin θ} = - \frac{1}{2 s}

を得る。 $P$ を通ることから、 $cos^{2} θ = 1 - s^{2}$ を使って

s = a (1 - s^{2}) + c, c = s + \frac{1 - s ^{2}}{2 s} = \frac{2 s ^{2} + 1 - s ^{2}}{2 s} = \frac{s ^{2} + 1}{2 s}

となる。 $Q$ を通る条件は $b = 0$ のもとで同じ式になるので、新しい条件は出ない。

$θ = 4 5^{\circ}$ （ $s = \frac{1}{2}$ ）なら $a = - \frac{1}{2}$ 、 $c = \frac{3}{2 2}$ 。 $x = \frac{1}{2}$ を入れると $y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2 2} = \frac{1}{2}$ で $P$ を通る。傾きは $2 a \cdot \frac{1}{2} = - 1$ で、円の接線の傾き $- \frac{cos 4 5 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ}} = - 1$ と一致する。

「共通の接線を持つ」は「接線の傾きが等しい」だけでなく「同じ点を通る」ことも要るが、どちらも点 $P$ で接するので、通ることは「放物線が $P$ を通る」という条件に含まれている。

$b = 0$ は、 $P$ と $Q$ が $y$ 軸について対称であることから当然そうなる。先に $b = 0$ と見当をつけてもよいが、2式を足して出すほうが確実である。

(2)放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $A$ を $s$ で表す

答 $A = \frac{2 ( s ^{2} + 1 ) s ^{2} + 1}{3 s}$

$b = 0$ なので $C$ は $y$ 軸について対称な上に凸の放物線である。 $x$ 軸との交点がすぐ求まるので、 $\frac{1}{6}$ 公式を使えば積分を書かずに面積が出る。

(1) より

C : y = - \frac{1}{2 s} x^{2} + \frac{s ^{2} + 1}{2 s} = \frac{1}{2 s} {(s^{2} + 1) - x^{2}}

である。 $s > 0$ より上に凸で、 $x$ 軸との交点は $x = \pm β$ （ $β = s^{2} + 1$ ）である。 $\frac{1}{6}$ 公式より

A = \frac{- \frac{1}{2 s}}{6} (2 β)^{3} = \frac{8 β ^{3}}{12 s} = \frac{2 β ^{3}}{3 s} = \frac{2 ( s ^{2} + 1 ) s ^{2} + 1}{3 s}

となる。

$s = \frac{1}{2}$ なら $β = \frac{3}{2}$ で $A = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{2}} = 3 = 1.7320$ 。数値積分しても $1.73205081$ で一致する。 $s = 0.5$ では式が $1.86338998$ 、数値積分も $1.86338998$ だった。

(3) $A \geq 3$ を示す

答 $s = \frac{1}{2}$ （ $θ = 4 5^{\circ}$ ）で最小値 $3$ をとる

$A$ を $s$ の関数として微分するのが素直だが、根号つきなので $A^{2}$ を調べるほうが楽である。 $A^{2} = \frac{4 ( s ^{2} + 1 ) ^{3}}{9 s ^{2}}$ で、 $u = s^{2}$ とおけば $u$ の分数関数になり、相加相乗平均が使える形に整理できる。

$0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ より $0 < s < 1$ である。 $A > 0$ なので $A^{2}$ の最小を調べればよい。 $u = s^{2}$ （ $0 < u < 1$ ）とおくと

A^{2} = \frac{4 ( s ^{2} + 1 ) ^{3}}{9 s ^{2}} = \frac{4 ( u + 1 ) ^{3}}{9 u}

である。 $g (u) = \frac{( u + 1 ) ^{3}}{u}$ を微分すると

g^{'} (u) = \frac{3 ( u + 1 ) ^{2} \cdot u - ( u + 1 ) ^{3}}{u ^{2}} = \frac{( u + 1 ) ^{2} { 3 u - ( u + 1 ) }}{u ^{2}} = \frac{( u + 1 ) ^{2} ( 2 u - 1 )}{u ^{2}}

となる。 $u > 0$ では符号は $2 u - 1$ で決まり、 $u < \frac{1}{2}$ で負、 $u > \frac{1}{2}$ で正である。よって $g$ は $u = \frac{1}{2}$ で最小になり

g (\frac{1}{2}) = \frac{( \frac{3}{2} ) ^{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{27}{8} \cdot 2 = \frac{27}{4}

である。したがって

A^{2} \geq \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{4} = 3, A \geq 3

となる。等号は $u = \frac{1}{2}$ 、すなわち $s = \frac{1}{2}$ （ $θ = 4 5^{\circ}$ ）のときに成り立ち、この $θ$ は $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ の範囲にある。

等号が成り立つ

θ = 4 5^{\circ}

のとき。放物線

C

は円

x^{2} + y^{2} = 1

と

P, Q

で接し、網かけの面積が

3

になる。

$s = \frac{1}{2}$ で $A = 3 = 1.73205$ 。 $s = 0.2$ では $3.53532$ 、 $s = 0.9$ では $1.80378$ で、どちらも $3$ より大きい。 $s$ を $20$ 万等分した全探索でも最小は $1.732050808$ （ $s = 0.707105$ ）だった。

根号のまま微分すると式が重い。 $A^{2}$ （さらに $u = s^{2}$ ）に直すと、ただの分数関数の最小問題になる。

最小を与える $s = \frac{1}{2}$ が $0 < s < 1$ の内部にあることを確かめる。端での値と比べる必要はない。

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第2問　指数・対数

常用対数・桁数の評価・不等式のはさみ・指数の比較当サイトの体感難易度：やや難

(1) $5^{n} > 1 0^{19}$ となる最小の自然数 $n$ を求める

答 $n = 28$

両辺の常用対数をとると $n lo g_{10} 5 > 19$ になる。 $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ なので、与えられた $lo g_{10} 2$ の評価がそのまま使える。 $n = 27$ と $n = 28$ の2つを押さえれば終わる。

$lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ で、 $0.3 < lo g_{10} 2 < 0.31$ より

0.69 < lo g_{10} 5 < 0.7

である。 $5^{n} > 1 0^{19}$ は $n lo g_{10} 5 > 19$ と同値である。

$n = 27$ ： $27 lo g_{10} 5 < 27 \times 0.7 = 18.9 < 19$ なので $5^{27} < 1 0^{19}$ 。
$n = 28$ ： $28 lo g_{10} 5 > 28 \times 0.69 = 19.32 > 19$ なので $5^{28} > 1 0^{19}$ 。

$5^{n}$ は $n$ について増加するから、 $5^{n} > 1 0^{19}$ となる最小の自然数は $n = 28$ である。

実際に計算すると $5^{27} = 7450580596923828125$ （ $7.45 \times 1 0^{18}$ ）で $1 0^{19}$ より小さく、 $5^{28} = 37252902984619140625$ （ $3.73 \times 1 0^{19}$ ）で大きい。

(2) $5^{m} + 4^{m} > 1 0^{19}$ となる最小の自然数 $m$ を求める

答 $m = 28$

$5^{m} + 4^{m} > 5^{m}$ なので、(1) から $m \leq 28$ はすぐ分かる。残るのは「 $m = 27$ では足りない」ことで、 $4^{27}$ が $5^{27}$ に比べてどれくらい小さいかを押さえればよい。 $(\frac{4}{5})^{9} < \frac{1}{4}$ が使える。

$5^{28} + 4^{28} > 5^{28} > 1 0^{19}$ は (1) から従うので、 $m = 28$ は条件をみたす。あとは $m = 27$ では足りないことを示せばよい。

$(\frac{4}{5})^{9} = \frac{4 ^{9}}{5 ^{9}} = \frac{262144}{1953125}$ で、 $4 \times 262144 = 1048576 < 1953125$ だから

(\frac{4}{5})^{9} < \frac{1}{4}

である。 $0 < \frac{4}{5} < 1$ なので $27 > 9$ より $(\frac{4}{5})^{27} < (\frac{4}{5})^{9} < \frac{1}{4}$ 、すなわち

4^{27} < \frac{5 ^{27}}{4}

が成り立つ。したがって

5^{27} + 4^{27} < 5^{27} + \frac{5 ^{27}}{4} = \frac{5}{4} \cdot 5^{27} = \frac{5 ^{28}}{4}

である。右辺の常用対数は

lo g_{10} \frac{5 ^{28}}{4} = 28 lo g_{10} 5 - 2 lo g_{10} 2 = 28 - 30 lo g_{10} 2 < 28 - 30 \times 0.3 = 19

なので $\frac{5 ^{28}}{4} < 1 0^{19}$ 、よって $5^{27} + 4^{27} < 1 0^{19}$ である。 $5^{m} + 4^{m}$ は $m$ について増加するから、求める最小の自然数は $m = 28$ である。

$5^{27} + 4^{27} = 7468594995433310109$ で、 $1 0^{19}$ より小さい。 $\frac{5 ^{28}}{4} = 9313225746154785156.25$ もたしかに $1 0^{19}$ 未満である。

$5^{m} + 4^{m} < 2 \cdot 5^{m}$ という粗い評価では足りない。 $lo g_{10} (2 \cdot 5^{27}) = 27 - 26 lo g_{10} 2 < 19.2$ までしか言えず、 $19$ を切れない。 $4^{27}$ が $5^{27}$ の $\frac{1}{4}$ より小さいところまで詰める必要がある。

$(\frac{4}{5})^{3} = \frac{64}{125}$ は $\frac{1}{2}$ より大きいので、3乗で止めると足りない。9乗まで進めると $\frac{1}{4}$ を切る。

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第3問　図形と方程式

正接の加法定理・2倍角の公式・3次方程式・三角形の面積当サイトの体感難易度：やや難

(1) $q$ を $p$ で表す

答 $q = \frac{p ( 3 - p ^{2} )}{2 ( 1 - p ^{2} )}$

$M$ は $AP$ の中点なので、半直線 $MP$ は半直線 $AP$ と同じ向きである。だから $∠ PMQ$ は「直線 $AP$ と直線 $MQ$ のなす角」で、 $x$ 軸との傾きで測れる。 $tan$ で書き直すと、2倍角の公式がそのまま出てくる形になる。

$α = ∠ OAP$ とおく。 $A (0, 1)$ 、 $O (0, 0)$ 、 $P (p, 0)$ で $∠ AOP = 9 0^{\circ}$ だから

tan α = \frac{OP}{OA} = p

である。 $0 < p < 1$ より $0 < α < 4 5^{\circ}$ である。

$M (\frac{p}{2}, \frac{1}{2})$ は $AP$ の中点なので、半直線 $MP$ は半直線 $AP$ と同じ向きである。直線 $AP$ が $x$ 軸の正の向きとなす角は、傾きが $- \frac{1}{p}$ なので $18 0^{\circ} - β$ （ $tan β = \frac{1}{p}$ ）と書ける。いっぽう直線 $MQ$ は $M$ から $Q (q, 0)$ へ下る向きで、 $x$ 軸の正の向きとなす角は $- γ$ （ $tan γ = \frac{\frac{1}{2}}{q - \frac{p}{2}} = \frac{1}{2 q - p}$ ）である。

$M$ を頂点として測ると

∠ PMQ = β - γ

である（ $q > p$ より $2 q - p > p$ なので $tan γ < tan β$ 、すなわち $γ < β$ ）。また $tan β = \frac{1}{p} = \frac{1}{tan α}$ だから $β = 9 0^{\circ} - α$ である。条件 $∠ OAP = ∠ PMQ$ は

α = (9 0^{\circ} - α) - γ, γ = 9 0^{\circ} - 2 α

となる。よって

\frac{1}{2 q - p} = tan γ = tan (9 0^{\circ} - 2 α) = \frac{1}{tan 2 α}

すなわち $2 q - p = tan 2 α$ である。2倍角の公式から

tan 2 α = \frac{2 tan α}{1 - tan ^{2} α} = \frac{2 p}{1 - p ^{2}}

（ $0 < p < 1$ より分母は正）なので

q = \frac{1}{2} (p + \frac{2 p}{1 - p ^{2}}) = \frac{p ( 1 - p ^{2} ) + 2 p}{2 ( 1 - p ^{2} )} = \frac{p ( 3 - p ^{2} )}{2 ( 1 - p ^{2} )}

を得る。このとき $\frac{q}{p} = \frac{3 - p ^{2}}{2 ( 1 - p ^{2} )} > 1$ （ $3 - p^{2} > 2 - 2 p^{2}$ は $p^{2} > - 1$ と同値）なので、条件 $p < q$ も自動的にみたされる。

p = \frac{1}{2}

のときの配置。

M

は

AP

の中点で、

∠ OAP

と

∠ PMQ

（網かけ）が等しくなるように

Q

が決まる。このとき

q = \frac{11}{12}

。

$p = \frac{1}{2}$ なら $q = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{4}}{2 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{11}{12} = 0.9167$ 。 $M (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ として内積から角を計算すると、 $∠ OAP = ∠ PMQ = 0.46365$ ラジアンで一致する。 $p$ を $0.001$ 刻みで $999$ 点調べても例外はなかった。

$∠ PMQ$ の $MP$ 側は、 $M$ から $P$ へ向かう向きである。 $A$ から $P$ へ向かう向きと同じなので、直線 $AP$ の傾きがそのまま使える。

$β = 9 0^{\circ} - α$ に気づくと、条件が $γ = 9 0^{\circ} - 2 α$ という素直な形になり、2倍角の公式につながる。

(2) $q = \frac{1}{3}$ となる $p$ の値を求める

答 $p = \frac{7 - 2}{3}$

(1) の式を代入して分母を払うと $p$ の3次方程式になる。範囲外の整数解 $p = 2$ が見つかるので、そこで因数分解できる。

$\frac{p ( 3 - p ^{2} )}{2 ( 1 - p ^{2} )} = \frac{1}{3}$ の分母を払うと

3 p (3 - p^{2}) = 2 (1 - p^{2}) ⟺ 3 p^{3} - 2 p^{2} - 9 p + 2 = 0

となる。 $p = 2$ を代入すると $24 - 8 - 18 + 2 = 0$ なので $p - 2$ で割り切れて

(p - 2) (3 p^{2} + 4 p - 1) = 0

である。 $0 < p < 1$ より $p = 2$ は不適。 $3 p^{2} + 4 p - 1 = 0$ を解くと

p = \frac{- 2 \pm 7}{3}

で、 $7 = 2.64 \dots$ より正の解は $p = \frac{7 - 2}{3} = 0.215 \dots$ である。これは $0 < p < 1$ をみたすので、これが答えである。

$p = \frac{7 - 2}{3} = 0.2152504$ を (1) の式に入れると $q = 0.3333333$ となり、 $\frac{1}{3}$ と一致する。

(3) $△ OAP = S$ 、 $△ PMQ = T$ とするとき、 $S > T$ となる $p$ の範囲を求める

答 $0 < p < \frac{15}{5}$

どちらの三角形も底辺が $x$ 軸上にあるので、面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」ですぐ書ける。 $M$ の高さが $\frac{1}{2}$ で固定なのがポイントで、 $S > T$ は $q < 3 p$ という単純な条件になる。

$△ OAP$ は $O$ で直角なので $S = \frac{1}{2} \cdot OP \cdot OA = \frac{p}{2}$ である。 $△ PMQ$ は底辺 $PQ$ が $x$ 軸上にあり長さ $q - p$ 、高さは $M$ の $y$ 座標 $\frac{1}{2}$ だから

T = \frac{1}{2} (q - p) \cdot \frac{1}{2} = \frac{q - p}{4}

である。よって

S > T ⟺ \frac{p}{2} > \frac{q - p}{4} ⟺ 2 p > q - p ⟺ q < 3 p

となる。(1) の式を代入し、 $p > 0$ で割ると

\frac{3 - p ^{2}}{2 ( 1 - p ^{2} )} < 3

である。 $0 < p < 1$ より $1 - p^{2} > 0$ なので、分母を払って

3 - p^{2} < 6 - 6 p^{2} ⟺ 5 p^{2} < 3 ⟺ p < \frac{3}{5} = \frac{15}{5}

を得る。 $\frac{15}{5} = 0.774 \dots < 1$ なので、 $0 < p < 1$ とあわせて求める範囲は $0 < p < \frac{15}{5}$ である。

$p = 0.5$ なら $S = 0.25$ 、 $q = \frac{11}{12}$ より $T = \frac{11/12 - 1/2}{4} = \frac{5}{48} = 0.104$ で $S > T$ 。 $p = 0.8 > \frac{15}{5}$ では $q = \frac{0.8 \times 2.36}{2 \times 0.36} = 2.622$ 、 $T = \frac{1.822}{4} = 0.456 > S = 0.4$ となり逆転する。 $0.001$ 刻みの全探索でも境目は $0.774$ と $0.775$ のあいだだった。

$△ PMQ$ の高さは $M$ の $y$ 座標 $\frac{1}{2}$ で、 $p$ によらない。 $M$ が $AP$ の中点で $A$ の高さが $1$ だからである。

$1 - p^{2} > 0$ を確かめてから分母を払う。 $p > 1$ なら不等号の向きが変わるが、ここでは $0 < p < 1$ なので心配ない。

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第4問　確率・場合の数

円に内接する多角形・余事象・組合せ・半円に収まる条件当サイトの体感難易度：やや難

選んだ4点を頂点とする四角形が $O$ を内部に含む確率 $p_{n}$ を求める

答 $p_{n} = \frac{n + 1}{2 ( n - 2 )}$

「中心を内部に含む」より「含まない」のほうが数えやすい。円に内接する多角形が中心を内部に含まないのは、4点が半円（中心を通る直線の片側）にまとめて乗っているときである。 $n$ が奇数なので対頂の点が存在せず、その数え方が重複なく進む。

正 $n$ 角形の頂点に、円周に沿って $0, 1, \dots, n - 1$ と番号をつける。 $n = 2 k + 1$ （ $k \geq 2$ ）とおく。

円周上の4点を頂点とする四角形が中心 $O$ を内部に含まないのは、4点が $O$ を通るある直線の片側（境界を含む半円）にすべて乗っているときである。言いかえると、4点を円周順に並べたときにできる4つの弧のうち、いちばん大きいものが半円以上になるときである。

$n$ は奇数なので、頂点どうしを結ぶ線分が中心を通ることはなく、半円にちょうど収まる4点の集まりは「連続する $k + 1$ 個の頂点の中に入っているもの」と一致する。実際、頂点どうしの間隔は $\frac{2 π}{n}$ で、長さ $π$ の弧は $k + \frac{1}{2}$ 間隔ぶんなので、半円に入る頂点は最大 $k + 1$ 個である。

そこで、半円に収まる4点の組を「いちばん反時計回り側の点」で分類する。その点を $v$ とすると、残りの3点は $v$ から時計回りに続く $k$ 個の頂点から選ぶことになるので $_{k} C_{3}$ 通り。 $v$ の選び方は $n$ 通りで、どの組も $v$ がただ1つに定まるため重複はない。よって $O$ を含まない選び方は

n \cdot_{k} C_{3} 通り

である。全体は $_{n} C_{4}$ 通りだから

1 - p_{n} = \frac{n \cdot _{k} C _{3}}{_{n} C _{4}} = \frac{n \cdot \frac{k ( k - 1 ) ( k - 2 )}{6}}{\frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 )}{24}} = \frac{4 k ( k - 1 ) ( k - 2 )}{( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 )}

となる。 $n = 2 k + 1$ より $n - 1 = 2 k$ 、 $n - 2 = 2 k - 1$ 、 $n - 3 = 2 (k - 1)$ なので

1 - p_{n} = \frac{4 k ( k - 1 ) ( k - 2 )}{2 k \cdot ( 2 k - 1 ) \cdot 2 ( k - 1 )} = \frac{k - 2}{2 k - 1}

であり

p_{n} = 1 - \frac{k - 2}{2 k - 1} = \frac{k + 1}{2 k - 1}

となる。 $k = \frac{n - 1}{2}$ を戻すと $k + 1 = \frac{n + 1}{2}$ 、 $2 k - 1 = n - 2$ なので

p_{n} = \frac{n + 1}{2 ( n - 2 )}

である。

n = 9

のとき、連続する4頂点を選んだ場合。4点がすべて半円に収まるので、四角形は中心

O

を内部に含まない。

_{9} C_{4} = 126

通りのうち、こうなるのは

9 \times_{4} C_{3} = 36

通り。

$n = 5$ では $p_{5} = \frac{6}{6} = 1$ 、 $n = 7$ では $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ 、 $n = 9$ では $\frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ 。 $_{n} C_{4}$ 通りをすべて列挙して「偏角の最大の隙間が $π$ 未満か」で判定すると、 $n = 5, 7, 9, 11, 13, 15, 21$ のすべてで分数として一致した。

$n$ が奇数であることが効いている。偶数だと向かい合う頂点が存在し、半円の境界に2点が乗る場合が出て、「いちばん反時計回り側の点」での分類に重複が生じる。

$k = 2$ （ $n = 5$ ）では $_{2} C_{3} = 0$ で、 $O$ を含まない選び方が1つもない。正五角形から4点選ぶとどう選んでも中心を含む、という事実と合う。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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問題文について

(1)a,b,c を s=sinθ で表す

(2)放物線 C と x 軸で囲まれた図形の面積 A を s で表す

(3)A≥3​ を示す

(1)5n>1019 となる最小の自然数 n を求める

(2)5m+4m>1019 となる最小の自然数 m を求める

(1)q を p で表す

(2)q=31​ となる p の値を求める

(3)△OAP=S、△PMQ=T とするとき、S>T となる p の範囲を求める

選んだ4点を頂点とする四角形が O を内部に含む確率 pn​ を求める