名古屋大学　2025年度　前期日程　理科系

第1問微分法の解答・解説

凸関数・導関数の単調性・中間値の定理・ルジャンドル変換当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $g (x) = c x - f (x)$ を最大にする $x_{0}$ がただ1つ存在することを示す

答 $f^{'}$ が狭義単調増加で、値域がちょうど開区間 $(a, b)$ になることから従う

方針 $g^{'} (x) = c - f^{'} (x)$ なので、 $f^{'} (x) = c$ の解がただ1つであることを言えばよい。 $f^{''} > 0$ から $f^{'}$ は狭義単調増加、両端の極限が $a, b$ なので、 $f^{'}$ の値域はちょうど $(a, b)$ になる。

$f^{''} (x) > 0$ がすべての $x$ で成り立つから、 $f^{'}$ は $R$ 上で狭義単調増加。狭義単調増加で連続な関数の値域は、両端の極限で決まる開区間なので

f^{'} (R) = (lim_{x \to - \infty} f^{'} (x), lim_{x \to \infty} f^{'} (x)) = (a, b)

$a < c < b$ だから、 $f^{'} (x_{0}) = c$ をみたす $x_{0}$ が存在し（中間値の定理）、 $f^{'}$ が狭義単調増加だからただ1つに定まる。

この $x_{0}$ の前後で $g^{'} (x) = c - f^{'} (x)$ の符号を見る。

$x < x_{0}$ では $f^{'} (x) < f^{'} (x_{0}) = c$ なので $g^{'} (x) > 0$
$x > x_{0}$ では $f^{'} (x) > c$ なので $g^{'} (x) < 0$

よって $g$ は $x_{0}$ まで狭義増加、そこから狭義減少。 $g$ は $x = x_{0}$ でただ1つの最大値をとる。

答案で省略しない方がよい点

「 $f^{'}$ は単調増加だから $f^{'} (x) = c$ の解は高々1つ」だけでは足りない。存在も言う必要があり、そこで極限の条件と中間値の定理を使う。
$g^{''} = - f^{''} < 0$ から「上に凸だから最大値をもつ」と書くだけでは、最大値をとる点の存在が示せていない。 $R$ 全体では上に凸でも最大値を持たない関数がある（ $g (x) = - e^{x}$ など）。

(2) $f (x) = lo g \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ が $f^{''} > 0$ をみたすことを示し、 $a, b$ を求める

答 $f^{''} (x) = \frac{4}{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}} > 0$ 、 $a = - 1, b = 1$

方針 $f^{'}$ を通分した形のまま微分する。分子が $(A + B)^{2} - (A - B)^{2} = 4 A B$ の形になり、 $A = e^{x}, B = e^{- x}$ で $A B = 1$ だから、きれいに $4$ になる。

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

商の微分で

f^{''} (x) = \frac{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2} - ( e ^{x} - e ^{- x} ) ^{2}}{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}} = \frac{4 e ^{x} e ^{- x}}{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}} = \frac{4}{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}} > 0

極限は、分母・分子を $e^{- x}$ または $e^{x}$ で割って求める。

f^{'} (x) = \frac{e ^{2 x} - 1}{e ^{2 x} + 1} x \to - \infty \frac{0 - 1}{0 + 1} = - 1, f^{'} (x) = \frac{1 - e ^{- 2 x}}{1 + e ^{- 2 x}} x \to \infty 1

よって $a = - 1, b = 1$ 。

検算

$f^{'} (0) = 0$ 、 $f^{''} (0) = \frac{4}{4} = 1$ 。また $∣ f^{'} (x) ∣ < 1$ がすべての $x$ で成り立ち、(1) の「値域がちょうど $(- 1, 1)$ 」と合う。

答案で省略しない方がよい点

$f^{''}$ を求めるのに $f^{'}$ を部分分数などに直す必要はない。通分したまま商の微分をすると、分子が $4 e^{x} e^{- x} = 4$ になって一息で終わる。
極限は「 $e^{x} \to 0$ だから」と言葉で済ませず、分母・分子を割って形を作ってから取る。

(3)(2) の $f$ について、 $x_{0}$ と $g (x_{0})$ を $c$ で表す

答 $x_{0} = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + c}{1 - c}, g (x_{0}) = \frac{1}{2} {(1 + c) lo g (1 + c) + (1 - c) lo g (1 - c)}$

方針 $x_{0}$ は $f^{'} (x_{0}) = c$ から出る。 $g (x_{0}) = c x_{0} - f (x_{0})$ の $f (x_{0})$ は、 $e^{x_{0}} + e^{- x_{0}}$ を通分して1つの分数にまとめると $1 - c^{2}$ が出てきて、対数が開ける。

$f^{'} (x_{0}) = c$ すなわち $\frac{e ^{2 x_{0}} - 1}{e ^{2 x_{0}} + 1} = c$ を $e^{2 x_{0}}$ について解くと

e^{2 x_{0}} = \frac{1 + c}{1 - c} ⟹ x_{0} = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + c}{1 - c}

（ $- 1 < c < 1$ なので $\frac{1 + c}{1 - c} > 0$ で、対数が取れる。）次に $e^{x_{0}} = \frac{1 + c}{1 - c}$ より

e^{x_{0}} + e^{- x_{0}} = \frac{1 + c}{1 - c} + \frac{1 - c}{1 + c} = \frac{( 1 + c ) + ( 1 - c )}{( 1 - c ) ( 1 + c )} = \frac{2}{1 - c ^{2}}

したがって $f (x_{0}) = lo g \frac{1}{1 - c ^{2}} = - \frac{1}{2} lo g (1 - c^{2})$ となり

g (x_{0}) = c x_{0} - f (x_{0}) = \frac{c}{2} lo g \frac{1 + c}{1 - c} + \frac{1}{2} lo g {(1 + c) (1 - c)}

$lo g$ を開いて $lo g (1 + c)$ と $lo g (1 - c)$ でまとめ直すと

g (x_{0}) = \frac{1}{2} {(1 + c) lo g (1 + c) + (1 - c) lo g (1 - c)}

検算

$c = 0$ とすると $x_{0} = 0$ 、 $g (x_{0}) = \frac{1}{2} (1 \cdot 0 + 1 \cdot 0) = 0$ 。実際 $g (0) = 0 - f (0) = - lo g 1 = 0$ で合う。 $c = \frac{1}{2}$ では $x_{0} = \frac{1}{2} lo g 3 = 0.5493 \dots$ 、 $g (x_{0}) = 0.13081 \dots$ となり、 $c x_{0} - lo g cosh x_{0}$ を直接計算した値と一致する。

答案で省略しない方がよい点

$e^{x_{0}} + e^{- x_{0}}$ を2つの根号のまま残さず、通分して1つにまとめる。ここを通ると $lo g$ が開けて、最後の対称な形まで届く。
最後の形は $c \leftrightarrow - c$ で対称。 $g (x_{0})$ は $c$ の偶関数になるはずなので、対称でなければどこかで符号を落としている。