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東京大学　2021年度　前期日程　理科

第5問微分法の解答・解説

半角の公式・関数の増減・中間値の定理・最大値の位置当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $0 < θ < π$ に $f^{'} (θ) = 0$ となる $θ$ がただ1つ存在することを示す

答 $f^{'} (θ) = 4 cos \frac{θ}{2} \cdot h (θ)$ と書け、 $h$ は狭義減少で $h (0) = α > 0$ 、 $h (π) = - 2 < 0$

$f^{'}$ をそのまま微分して増減を見ようとすると行き詰まる。 $1 + cos θ = 2 cos^{2} \frac{θ}{2}$ 、 $sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}$ を使って $cos \frac{θ}{2}$ でくくると、残りの因子 $h$ の導関数が驚くほど簡単になり、符号がすぐ分かる。

$f (θ) = (θ + sin θ + α)^{2} + (cos θ + 3)^{2}$ だから

f^{'} (θ) = 2 (θ + sin θ + α) (1 + cos θ) - 2 sin θ (cos θ + 3)

である。 $1 + cos θ = 2 cos^{2} \frac{θ}{2}$ 、 $sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}$ を代入すると $cos \frac{θ}{2}$ でくくれて

f^{'} (θ) = 4 cos \frac{θ}{2} {cos \frac{θ}{2} (θ + sin θ + α) - sin \frac{θ}{2} (cos θ + 3)}

となる。内側を

h (θ) = cos \frac{θ}{2} (θ + sin θ + α) - sin \frac{θ}{2} (cos θ + 3)

とおく。 $0 \leq θ < π$ では $cos \frac{θ}{2} > 0$ なので、この範囲で $f^{'} (θ) = 0$ となるのは $h (θ) = 0$ のときに限る。

$h$ を微分する。 積の微分を順に行い、半角の公式で整理すると

h^{'} (θ) = - \frac{1}{2} sin \frac{θ}{2} (θ + sin θ + α) + cos \frac{θ}{2} (1 + cos θ) - \frac{1}{2} cos \frac{θ}{2} (cos θ + 3) + sin \frac{θ}{2} sin θ

となる。 $1 + cos θ = 2 cos^{2} \frac{θ}{2}$ 、 $cos θ = 1 - 2 sin^{2} \frac{θ}{2}$ 、 $sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}$ を入れて、 $α$ と $θ$ を含まない3項をまとめると

2 cos^{3} \frac{θ}{2} - 2 cos \frac{θ}{2} + 3 sin^{2} \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} = cos \frac{θ}{2} sin^{2} \frac{θ}{2}

となるので

h^{'} (θ) = cos \frac{θ}{2} sin^{2} \frac{θ}{2} - \frac{1}{2} sin \frac{θ}{2} (θ + sin θ + α) = sin \frac{θ}{2} {\frac{1}{2} sin θ - \frac{1}{2} (θ + sin θ + α)}

すなわち

h^{'} (θ) = - \frac{1}{2} (θ + α) sin \frac{θ}{2}

を得る。 $0 < θ \leq π$ では $θ + α > 0$ 、 $sin \frac{θ}{2} > 0$ だから $h^{'} (θ) < 0$ で、 $h$ は $[0, π]$ で狭義減少である。

両端の値は

h (0) = α > 0, h (π) = 0 - 1 \cdot (- 1 + 3) = - 2 < 0

なので、中間値の定理と狭義減少性から $h (θ) = 0$ となる $θ$ は $0 < θ < π$ にただ1つである。よって $f^{'} (θ) = 0$ となる $θ$ もただ1つである。

y = h (θ)

のグラフ（上が

α = 0.3

、下が

α = 0.6

）。どちらも狭義減少で、

h (0) = α > 0

から

h (π) = - 2

まで下がるので、

0

を切る点はちょうど1つ。破線は

θ = \frac{π}{2}

。

$α = 0.3$ のとき $h (0) = 0.3$ 、 $h (1) = 0.26 \dots$ 、 $h (1.5) = - 0.07 \dots$ 、 $h (π) = - 2$ で、 $1.4$ 付近で1回だけ $0$ を切る。 $f$ の数値微分の符号変化を $θ$ の $200000$ 等分で数えても、 $α$ をいろいろ変えて零点はつねにちょうど1つだった。

$θ = π$ でも $f^{'} (π) = 0$ になる（ $cos \frac{π}{2} = 0$ のため）が、これは区間の端なので「 $0 < θ < π$ にただ1つ」には数えない。 $cos \frac{θ}{2}$ でくくることで、この端の零点と本質的な零点をはっきり分けられる。

$h^{'} (θ) = - \frac{1}{2} (θ + α) sin \frac{θ}{2}$ はきれいに消えてくれるが、途中の整理を飛ばすと符号が追えない。 $cos \frac{θ}{2}$ でくくった3項が $cos \frac{θ}{2} sin^{2} \frac{θ}{2}$ にまとまるところが山場である。

(2) $f (θ)$ が区間 $0 < θ < \frac{π}{2}$ のある点で最大になるような $α$ の範囲を求める

答 $0 < α < 2 - \frac{π}{2}$

(1) より $f^{'}$ の符号は $h$ の符号と同じで、 $h$ は減少しながら1回だけ $0$ を切る。だから $f$ は「上がって下がる」形で、最大は必ずその零点 $θ_{0}$ で起きる。あとは $θ_{0} < \frac{π}{2}$ を $h$ の単調性で言いかえれば、 $h (\frac{π}{2}) < 0$ という1つの不等式になる。

(1) の $θ_{0}$ （ $h (θ_{0}) = 0$ となる唯一の点）をとる。 $h$ は狭義減少だから $0 \leq θ < θ_{0}$ で $h > 0$ 、 $θ_{0} < θ \leq π$ で $h < 0$ である。 $0 \leq θ < π$ では $cos \frac{θ}{2} > 0$ なので

f^{'} (θ) = 4 cos \frac{θ}{2} h (θ) {> 0 < 0 (0 < θ < θ_{0}) (θ_{0} < θ < π)

となり、 $f$ は $[0, θ_{0}]$ で増加、 $[θ_{0}, π]$ で減少する。よって $f$ は $θ = θ_{0}$ でのみ最大になる。

求める条件は $0 < θ_{0} < \frac{π}{2}$ である。 $θ_{0} > 0$ はつねに成り立つ。 $h$ は狭義減少なので

θ_{0} < \frac{π}{2} ⟺ h (\frac{π}{2}) < 0

である。実際に計算すると、 $cos \frac{π}{4} = sin \frac{π}{4} = \frac{1}{2}$ 、 $sin \frac{π}{2} = 1$ 、 $cos \frac{π}{2} = 0$ より

h (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 1 + α) - \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{1}{2} (α + \frac{π}{2} - 2)

となる。これが負になる条件は $α < 2 - \frac{π}{2}$ である。 $2 - \frac{π}{2} = 0.429 \dots > 0$ なので、 $α > 0$ とあわせて

0 < α < 2 - \frac{π}{2}

が求める範囲である。

$2 - \frac{π}{2} = 0.42920$ 。 $α = 0.3$ のとき $f$ の最大の位置を数値で探すと $θ = 1.4213 < \frac{π}{2} = 1.5708$ 、 $α = 0.43$ のときは $θ = 1.5716 > \frac{π}{2}$ となり、境目がちょうど $0.4292$ 付近にあることが確かめられる。