東大理系数学
分野別完成演習

東大の確率は、$2019$ 年度から $2026$ 年度までの $8$ 年で $5$ 回出題された（$2022$ 年度以降は毎年出ている）。ただし、出方には強いくせがある。

• 「確率だけ」の問題がほとんどない。中身は整数（$2026$ 年度第2問の格子点、$2022$ 年度第6問の $3$ で割った余りによる周期）、 対称性（$2024$ 年度第3問）、漸化式（$2025$ 年度第5問）である
• 小問が2 問しかない年が多い。$1$ 小問に「数え上げ・立式・結論」がまとめて入る
• 「確率を求めよ」で終わらず、最大となる $r$ を求めよ・等しいことを示せ のように、$1$ 段先まで要求される

本章は数学A の範囲だけで解ける $4$ 題である。数学III を学んでいなくても取り組める。 $1$-$2$ は確率ではなく論証だが、東大の「場合の数」はこの顔で出る。

整数は東大の最頻出分野である。$2019$ 年度から $2026$ 年度までの $8$ 年で $7$ 回、ほぼ毎年出ている（出なかったのは $2023$ 年度のみ）。しかも設問の型がはっきりしている。

• 「示せ」と「すべて求めよ」がほとんどを占める。 $2019$ 年度第4問「$2$ 乗にならないことを示せ」、 $2024$ 年度第6問「素数となる $n$ をすべて求めよ・$3$ 個以下であることを示せ」、 $2025$ 年度第4問「$2$ 条件が同値であることを示せ」、 $2026$ 年度第6問「$f(n)\geqq g(n)$ を示せ・とりうる値を求めよ」
• 道具は合同式・素因数分解・二項定理の $3$ つでほぼ足りる。特別な定理は要らない
• 「すべて求めよ」では十分性（逆の確認）を書かないと大きく減点される。必要条件で候補を絞ったところで答案は半分である

本章は数学A の範囲だけで解ける $4$ 題である。 $2$-$4$ だけは整式を扱うが、微分も極限も使わない。

「$\cdots$の範囲を図示せよ」——これが東大理系数学でもっとも多い設問の形である。 $2019$ 年度から $2026$ 年度までの $8$ 年 $48$ 題のうち、図示を要求する大問は$9$ 題（$19\%$）にのぼる。

• $2021$ 年度第1問（$2$ 放物線の共有点の条件を $(a,b)$ 平面に）、 $2021$ 年度第2問（$f(2)$ のとりうる範囲）、 $2022$ 年度第4問、$2024$ 年度第1問、$2025$ 年度第6問、 $2026$ 年度第3問（線分の通過範囲）など
• 曲線の形を描いただけでは半分以下しか点が来ない。 境界を含むか・除外点・軸との交点などの特徴的な座標 の $3$ 点が書かれて満点になる
• 「条件をみたす点が存在する」を、 方程式が実数解をもつ条件に翻訳するのが共通の技術である

本章は数学II の範囲だけで解ける $4$ 題である。$3$-$2$ で面積を求めるが、放物線と直線が囲む面積だから数学II の積分で足りる。

空間図形は東大がほぼ毎年出す分野である。 $2019$ 年度から $2026$ 年度までの $8$ 年 $48$ 題のうち$8$ 題を占め、出題されなかった年は $2021$ 年度と $2025$ 年度だけである。

• $2019$ 年度第3問（八面体の切り口）、$2020$ 年度第5問（線分の通過体積）、 $2022$ 年度第5問（中点の通過範囲）、$2023$ 年度第4問（球面とベクトル）、 $2023$ 年度第6問（立方体と線分）、$2024$ 年度第1問（角の条件を図示）、 $2024$ 年度第5問（回転体）、$2026$ 年度第3問（球面上の $3$ 点）
• 解法はほぼ $1$ つで、$1$ 枚の平面で切ること。回転体なら回転軸に垂直な平面、通過範囲なら助変数を固定する平面である
• ベクトルは内積 $=0$と$1$ 次結合の $2$ つだけで足りる。外積は必要ない

本章は数学C（ベクトル）の範囲で解ける $4$ 題である。体積を求める $4$-$2$ も、球の体積の公式の引き算だけで済み、数学III の積分は使わない。

複素数平面は $2019$ 年度から $2026$ 年度までの $8$ 年で $4$ 回出題された（$2019$、$2021$、$2025$、$2026$ の各年度）。頻度は高くないが、出たときの顔つきは一定している。

• $4$ 題のうち$3$ 題が「図示せよ」である（$2019$ 年度第6問、$2021$ 年度第2問、$2025$ 年度第6問。残る $2026$ 年度第5問も、図示こそ求めないが範囲の面積を問うている）。 複素数平面は東大にとって図示の舞台である
• 中身は方程式の解であることが多い。 $2019$ 年度は $4$ 次方程式、$2021$ 年度は $2$ 次式の値、$2026$ 年度は $3$ 乗の軌跡
• 使う道具は $|z{|}^2=z\overline{z}$、$|z|=1\Rightarrow \overline{z}=\frac{1}{z}$、ド・モアブルの $3$ つでほぼ足りる

本章は数学C の範囲で解ける $3$ 題である。 $5$-$3$ は東大が好む「純粋な論証」の顔をしており、計算は $\omega$ の性質だけで進む。

微分積分は東大の主戦場である。$2019$ 年度から $2026$ 年度までの $8$ 年 $48$ 題のうち $16$ 題を占め、毎年 $2$ 題前後が出る。そのうち微分・極限が中心の問題には強い特徴がある。

• 解が具体的に求まらない方程式を扱う。 $2019$ 年度第5問（$x^{2n-1}=\cos x$ の解 $a_n$ の極限）、 $2021$ 年度第5問（$f^{\prime }(\theta )=0$ の解がただ $1$ つ）、 $2026$ 年度第1問（$\sin \theta -\theta +\frac{{\theta }^3}{6}$ の最大最小）
• 「$\underline{\text{ただ}1\text{つ存在することを示せ}}$」が頻出。 単調性 $+$ 中間値の定理で書ききる練習が要る
• 最後は必ず極限か不等式に接続する。値そのものより、どれくらいの速さで近づくかが問われる

本章は数学III の微分と極限の $4$ 題である。積分は使わない。

積分は東大でもっとも出題数の多い分野である。 $2019$ 年度から $2026$ 年度までの $8$ 年で、面積・体積・定積分の評価を主題とする大問は毎年 $1$〜$2$ 題ある。

• $2019$ 年度第1問（定積分の計算）、$2022$ 年度第1問（積分を含む関数の最小）、 $2023$ 年度第1問（定積分の評価と極限）、$2024$ 年度第2問（絶対値つき積分の最大最小）、 $2025$ 年度第1問（面積と曲線の長さ）、$2026$ 年度第1問（積分の評価）
• 体積は回転体とはかぎらない。 $2020$ 年度第5問、$2022$ 年度第5問、$2023$ 年度第6問はいずれも 切り口の面積を求めてから積む型である
• 「値を求めよ」で終わらず、和をとる・極限をとる・不等式ではさむまで要求される

本章は数学III の積分の $4$ 題である。 $7$-$1$ は面積と回転体、$7$-$2$ は絶対値つき積分の場合分け、$7$-$3$ は切り口を積む体積、 $7$-$4$ は区分求積で和をはさむ——東大の $4$ つの顔をひととおり並べてある。