京大の数学で頻出の分野は何ですか？

本書が2019〜2026年度の出題を分析して選んだ8分野は、整数の性質、場合の数と確率、平面図形と図形と方程式、ベクトルと空間図形、複素数平面と平面上の曲線、数列と極限、微分法、積分法です。各分野で京大が何を要求するかは、このページの「分野ごとの出題傾向」で章ごとにまとめています。

京大理系数学の問題集は何題で、どれくらいで終わりますか？

全29題（小問は計116問）で、目標時間の合計は865分です。1日90分ならおよそ10日でひととおり終わる分量です。

数学IIIを学習中でも使えますか？

第1章〜第5章の18題は、数学IIIを使わずに解けるように作られています。数学IIIの学習中はこの範囲から取り組めます。

いつ京大の過去問に進めばよいですか？

各章の「本番接続」の問題が自力で完答できるようになったら、過去問演習に進んでかまいません。過去問演習へ移る順序は本書の付録にまとめています。本番形式の訓練は、そのあと過去問と『合格答案をつくる』で行います。

過去問がそのまま載っていますか？

収録問題はすべて本書のための書き下ろしです。京都大学の過去問は出題傾向の分析にのみ用い、問題文の転載や改題はしていません。

京都大学・2027年度対策

京大理系数学
分野別完成演習

標準問題は終えた。過去問はまだ早い。

京大の過去問を初めて開いたとき、多くの受験生が同じところで固まる。問題文が短すぎて、何をすればよいのか分からない。2026年度の6題は、すべてが小問なしの一行問題であった。道具は知っているのに手が止まるのは、能力の問題ではない。誘導のない問題を、自分で小問に切り分けた経験がないというだけのことである。

頻出分野: 8分野
収録: 29題
小問: 116問
目標時間の合計: 865分

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¥2,695・138ページ・2026年9月6日発売

京大数学の頻出8分野と、本書の章立て

2019〜2026年度の京都大学の出題を分析して、次の8分野を選んでいます。章は数学I・A から数学III へ進む順に並び、第1章〜第5章は数学III を学ぶ前でも解けます。

章	分野・範囲	題	標・や・本	目標
1	整数の性質数学A	4	1・2・1	120分
2	場合の数と確率数学A	4	1・2・1	120分
3	平面図形と図形と方程式数学I・II	3	1・1・1	90分
4	ベクトルと空間図形数学C	4	1・2・1	120分
5	複素数平面と平面上の曲線数学C	3	1・1・1	90分
6	数列と極限数学B・III	3	1・1・1	90分
7	微分法数学III	4	1・2・1	120分
8	積分法数学III	4	2・1・1	115分
	計	29	9・12・8	865分

「標・や・本」は標準・やや難・本番接続の題数。

目標時間の合計865分は、1日90分ならおよそ10日でひととおり終わる分量です。時間を計って解く本ではないので、目標時間を超えてもかまいません。

分野ごとの出題傾向と収録問題

各章の扉に置いた「その分野で京大が何を要求するか」と、収録した問題の題材・レベル・目標時間です（問題文は載せていません）。

第1章・数学A

整数の性質

「すべて求めよ」「存在しないことを示せ」に答える

京大理系数学は、 $2019$ 年度から $2026$ 年度までの $8$ 年で整数を $1$ 題も落としていない。しかも設問の言い方が決まっている。

「 $\dots$ をすべて求めよ」（ $2019$ 年度大問2、 $2025$ 年度大問2）——必要条件で候補を絞ったあと、十分性の確認を書かないと大幅減点になる
「 $\dots$ を示せ」（ $2021$ 年度大問6問1、 $2026$ 年度大問3）——素数・倍数・平方数という言いかえの効く言葉が主語になる
何を法にとるかが勝負である。 $2019$ 年度は $3$ 、 $2020$ 年度は $3$ の指数、 $2022$ 年度は連続する $3$ 数、 $2026$ 年度は $2$ の指数を使う

京大の整数には誘導がほとんど付かない。本章は $4$ 題とも、最後の小問だけを読めば京大の一行問題になるように作ってある。数学A の範囲だけで解けるので、数学III を学んでいなくても取り組める。

1-1標準 $k$ の整数部分の和25分
1-2やや難つねに素数を与える多項式はあるか30分
1-3やや難最大公約数と最小公倍数30分
1-4本番接続 $3^{m} + 5^{n}$ は平方数か35分

第2章・数学A

場合の数と確率

数え上げの設計と、期待値・条件つき確率

京大理系数学は、 $2019$ 年度から $2026$ 年度までの $8$ 年間、 確率または場合の数を毎年ちょうど $1$ 題出している。落とせない $1$ 題である。

数え方の設計がすべてである。 $2020$ 年度大問5（ $4 \times 4$ の数字の入れ方）は公式では一歩も進まず、何で場合分けするかを自分で決めるほかない
期待値が増えている（ $2026$ 年度大問6）。「ちょうど $k$ 」より「 $k$ 以上」で数えるほうが速い場面が多い
整数との融合が定番である（ $2023$ 年度大問3 の「積が $15$ で割り切れる」、 $2025$ 年度大問6 の「 $Y_{n}$ が奇数」）。確率の顔をした整数問題を疑う

本章は数学A の範囲だけで解ける $4$ 題である。 $2$ - $3$ だけは漸化式を立てるが、用いるのは等比数列の一般項のみで数学III は不要である。

2-1標準空になる箱の個数25分
2-2やや難同じ色が隣り合う箇所30分
2-3やや難目の和を $7$ で割った余り30分
2-4本番接続出た目の公約数35分

第3章・数学I・II

平面図形と図形と方程式

座標を入れるか、入れないかの判断

京大は座標を入れにくい平面図形を好んで出す。 $2019$ 年度大問3（内分点が描く曲線と面積）、 $2021$ 年度大問5（外心と垂心の軌跡）、 $2026$ 年度大問4（正方形を含む最小の正三角形）がそれである。

図形の自由度をどう $1$ つの変数に落とすかで勝負が決まる。 $2026$ 年度大問4 はここだけで $20$ 分かかる
座標を入れるかどうかは、自由度を数えてから決める。自由度が $1$ なら初等幾何のほうが速く、 $2$ 以上なら座標のほうが安全なことが多い
「図示せよ」が出たら、境界を含むか否かと端点の座標を必ず書き込む。 $2024$ 年度大問2、 $2025$ 年度大問5、 $2026$ 年度大問1 はいずれも図示問題である

本章の $3$ 題は数学I・II の範囲だけで解ける。 $3$ - $2$ は $4$ 次方程式の解と係数の関係を使う、京大好みの「代数で図形を押さえる」問題である。

3-1標準折り返して最短にする25分
3-2やや難放物線と円は $4$ 点で交わる30分
3-3本番接続面積を $2$ 等分する線分35分

第4章・数学C

ベクトルと空間図形

座標を入れる、内積で押さえる

京大は空間図形をほぼ毎年出す。 $2019$ 〜 $2026$ 年度の $48$ 題のうち $10$ 題（約 $21%$ ）が空間である。

内積だけで押し切る型（ $2020$ 年度大問3、 $2022$ 年度大問4、 $2025$ 年度大問4）。座標を入れずにベクトルの関係式のまま扱う
座標を入れる型（ $2021$ 年度大問1問1、 $2025$ 年度大問5、 $2026$ 年度大問2）。 どこを原点にどの向きに取るかで計算量が $3$ 倍変わる
「必要十分条件を求めよ」（ $2024$ 年度大問3）や 「ただ $1$ つ存在することを示せ」（ $2025$ 年度大問4）といった、論証そのものを問う出題が目立つ

本章は数学C「ベクトル」と空間図形の範囲で解ける $4$ 題である。 $4$ - $4$ は、直交する $3$ 辺をもつ四面体で 三平方の定理が「辺の長さ」から「面の面積」へ持ち上がることを見る、京大好みの題材である。

4-1標準球面上の点までの距離25分
4-2やや難正四面体の表面を通る最短経路30分
4-3やや難四面体の外接球と内接球30分
4-4本番接続 $4$ 辺上の点が同一平面上にある条件35分

第5章・数学C

複素数平面と平面上の曲線

写した先の図形を言い当てる

数学C は「ベクトル」と「平面上の曲線と複素数平面」の両方が出題範囲である（令和9年度入学者選抜要項）。京大の複素数平面は $2019$ 〜 $2026$ 年度に $4$ 回現れた。

像の図形を求めて図示せよ（ $2024$ 年度大問2）—— $z$ の動く範囲を与えて $w = f (z)$ の動く範囲を問う。 $2$ 変数を極形式で $1$ つずつ動かすのが基本
最大最小（ $2025$ 年度大問1問1、 $z - \frac{i}{z}$ の最大最小）
$2$ 次曲線は近年の京大では単独出題がないが、出題範囲には入っている。 接線の公式と焦点の性質は、出れば $1$ 題まるごとになる

本章の $3$ 題は数学C の範囲だけで解ける（数学III は不要である）。 $5$ - $3$ は $2$ 次曲線を正面から扱う、本書で唯一の題である。

5-1標準円を写すと楕円になる25分
5-2やや難 $w = z^{2}$ で写した先30分
5-3本番接続 $2$ 次曲線の接線35分

第6章・数学B・III

数列と極限

収束を「示す」ための道具

京大の極限は、値を求めさせるだけでは終わらない。 収束することを示させるか、誤差を評価させるかのどちらかが必ず入る。

$2020$ 年度大問2 は $α^{n} + β^{n}$ が整数であることを示させたうえで $lim (- α)^{n} sin (α^{n} π)$ を求めさせる。 整数と極限の融合である
$2022$ 年度大問6 は $cos$ を含む漸化式で、法 $3$ の周期を見抜けるかを問う
$2024$ 年度大問6 は $2^{k}$ の桁数の分布。 はさみうち以外に道具がない

本章は数列の基本（漸化式・帰納法）から極限の評価までを $3$ 題で通す。「 $lim$ を求めよ」ではなく「収束することを示せ」と言われたときに何を書くか——そこが本章の主題である。

6-1標準 $2$ に近づく数列25分
6-2やや難 $n$ 乗根の極限30分
6-3本番接続 $3$ 次方程式の実数解を追い込む35分

第7章・数学III

微分法

増減・不等式・解の個数

$2019$ 〜 $2026$ 年度の $48$ 題を主題で分けると、微分が主題の大問は $5$ 題である。題数では積分に譲るが、出題の型ははっきりしている。

増減と最大最小（ $2021$ 年度大問2、 $2023$ 年度大問4、 $2025$ 年度大問3）。増減表を書ききることがすべての出発点になる
解の個数と図示（ $2026$ 年度大問1）。「共有点がちょうど $2$ 個」を、増減表と中間値の定理で押さえる
不等式と評価（ $2022$ 年度大問1 の $5.4 < lo g_{4} 2022 < 5.5$ ）。 $1$ 本の不等式を作って、それを何度も使うのが定型

本章は $4$ 題。 $7$ - $4$ は微分と三角関数と方程式の理論の融合で、 京大がもっとも好む形である。

7-1標準 $lo g (1 + e^{x})$ の増減と漸近線25分
7-2やや難 $e^{x} ≧ e x$ から相加相乗へ30分
7-3やや難 $\frac{sin x}{x}$ は減少する30分
7-4本番接続 $3$ 倍角と $3$ 次方程式35分

第8章・数学III

積分法

面積・体積・評価

京大の数学III は、積分のほうが配点が重い。 $2019$ 〜 $2026$ 年度の $48$ 題を主題で分けると、面積・体積・定積分の計算が主題の大問は $9$ 題で、微分が主題の $5$ 題を上回る。

体積が最頻出（ $2020$ 年度大問6、 $2023$ 年度大問5、 $2026$ 年度大問5）。 「どの向きに切るか」を決めた瞬間に勝負がつく
定積分の計算が大問1の問2として出る年がある（ $2019$ 、 $2023$ 、 $2025$ 年度）。置換と対称性の $2$ 手で片づく水準だが、取りこぼせない
面積と極限（ $2024$ 年度大問5）。値が求まらないときは、はさむ

本章は $4$ 題。 $8$ - $4$ の結論は、京大が好む「意外な答」の典型である。

8-1標準曲線 $y = x 4 - x^{2}$ 25分
8-2標準置換と対称性で片づける定積分25分
8-3やや難曲線 $y = x^{2} e^{- x}$ と面積30分
8-4本番接続球を円錐で切り取る35分

本書の使い方

3段階で上げる: 標準9題・やや難12題・本番接続8題。「本番接続」は京大の実際の大問に近づけた問題で、ここまで解ければ過去問演習に入ってかまいません。
手が止まったら: 問題の下のヒント、解答冒頭の着眼の順に読んで問題に戻ります。解いたあとは、定石でその問題で使った手を整理します。
数学III の前から: 第1章〜第5章（18題）は数学III を使わずに解けます。
付録: 付録A　常用対数表
付録B　定石索引
付録C　過去問演習への移行プラン

本書を終えたら：本番形式の予想問題集へ

次に置くのは、同じ著者による本番と同じ形式の予想問題集「合格答案をつくる」シリーズです。加点・減点つきの採点表で、自分の答案のどこが減点されるかを照合できます。本書の問題とは題材が重複しないように作られています。

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