京大理系数学の出題傾向と対策
京都大学・理系・2019〜2026年度の分析
形式は8年間不変
試験時間150分，大問6題，200点満点，完全記述式。 配点は各大問の右肩に明示され，点・点・点のいずれかである。 6題の配点の組合せは年により変わるが，合計はつねに 点で， 点の題と 点の題が大半を占める。 解答用紙は大問ごとに1枚。 名古屋大学などと違い数学公式集は配布されないが， 常用対数を使う問題が出た年（2019年度）には常用対数表が問題冊子に綴じ込まれた。
| 年度 | 大問1 | 大問2 | 大問3 | 大問4 | 大問5 | 大問6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2019 | 40 | 30 | 35 | 30 | 30 | 35 |
| 2020 | 30 | 30 | 35 | 35 | 35 | 35 |
| 2021 | 40 | 30 | 30 | 30 | 30 | 40 |
| 2022 | 30 | 35 | 35 | 30 | 35 | 35 |
| 2023 | 35 | 30 | 30 | 35 | 35 | 35 |
| 2024 | 30 | 30 | 30 | 30 | 40 | 40 |
| 2025 | 35 | 35 | 30 | 35 | 30 | 35 |
| 2026 | 30 | 30 | 35 | 35 | 35 | 35 |
最大の特徴 ── 誘導が「ない」
京大理系数学を過去問で初めて解いた受験生が必ず驚くのは， 問題文の短さと，小問による誘導の少なさである。 2019--2026年度の48題を数えると，
すなわち7割の大問には手がかりが一切ない。 名大・阪大のように「(1)で を計算させ，(2)で漸化式，(3)で極限」という階段はない。 京大が測っているのは方針を自分で立てる力であり， 「何を文字でおくか」「何を固定して何を動かすか」を決めた瞬間に勝負がついている。 小問が付く場合も 2 つまでで， 小問以上に分けられたのは 年間で 年度の大問 ただ 題である。
なお「次の各問に答えよ」型は2019・2021（2題）・2023・2025年度に現れており， 奇数年度に置かれる傾向がある。この型は大問1に置かれることが多く， 問1が小問集合的な計算，問2が定積分という組合せが目立つ。 全6題のうちここが最も点を取りやすい。
| 設問の形 | 48題中 | 内容 |
|---|---|---|
| 小問なし（一文で問い，一気に解かせる） | 33 | 「を求めよ」「を示せ」だけ |
| 小問 (1)(2) が付く | 10 | (1)が(2)の道具になる型 |
| 「次の各問に答えよ」＋問1・問2 | 5 | 独立な2問を1つの大問に同居させる |
分野は「微積分・整数・確率・空間図形」の4本柱
48題を分野別に数え直すと，京大の設計がはっきり見える。
注目すべきは整数と確率が1題ずつ「必ず」入ることである。 2019--2026年度の8年間で，整数が出なかった年も，確率・場合の数が出なかった年も一度もない。 この2題は捨てられない。
| 分野 | 8年中 | 特徴 |
|---|---|---|
| 微分積分（極限・面積・体積・曲線の長さ） | 16 | 毎年2題前後。体積（回転体・通過領域）が頻出 |
| 整数（合同式・素数・最大公約数・約数） | 9 | 毎年1題以上。「すべて求めよ」「示せ」型 |
| 確率・場合の数 | 8 | 毎年ちょうど1題。期待値の年が増えている |
| 空間図形・空間ベクトル | 9 | ほぼ毎年1〜2題。座標を入れるか否かの判断が要 |
| 複素数平面 | 3 | 2019, 2020, 2024（2025は大問1の問1） |
| 平面図形（初等幾何寄り） | 2 | 2021, 2026。座標を入れにくい題 |
| 数列 | 1 | 2022 |
京大特有の「型」
| 型 | 構造と対処 |
|---|---|
| A．最大最小を一撃で | 「の最小値を求めよ」だけ。誘導がないので変数の選び方がすべて。 変数を条件式で変数に落とすか，相加相乗・コーシーで一気に押さえるか。 |
| B．通過領域・体積 | 動く点や線分が掃く図形。「高さ で切る」と決めた瞬間に解けることが多い。 断面を求めてから積分するという順序を崩さない。 |
| C．すべて求めよ | 整数問題に多い。必要条件で候補を絞り，十分性の確認を書かないと大幅減点。 を何でとるかを 〜 通り試すのが定石。 |
| D．図示せよ | 領域・軌跡の図示。境界を含むか否かと端点の座標を必ず書き込む。 図だけで式による説明がない答案は半分も点が来ない。 |
| E．示せ | 存在・一意性・整除性の証明。京大は論証の穴に厳しい。 「明らかに」で飛ばした一行が，そのまま配点の一区画に当たっていることが多い。 |
難易度と目標
「6題のうち2題は必ず取れる，2題は誰にも解けない，残り2題で決まる」という設計である。 実際，各年度の6題を難易度で並べると， 易2・標準2・難2という配分がほぼ毎年保たれている。
目標は医学部医学科で3完+2半（130点前後），その他学部で2完+2半（100点前後）。 点満点であることに注意したい。 題〜点は大きく，完答できなくても方針と途中計算だけで〜点が入る。 6題すべてに手をつけ，白紙を作らないことが得点の最大化に直結する。
なお京大は部分点の与え方が細かいことで知られる。 「最小値を求めよ」の一行問題でも， 変数のおき方・条件式の立式・必要条件の絞り込み・十分性の確認と段階が分かれており， 結論が間違っていても過程は点になる。
この分析からつくった予想問題集
合格答案をつくる シリーズは、2019〜2026年度のこの出題分析をもとに書き下ろした京大理系数学のオリジナル予想問題集です。本番形式の問題に加え、どこで何点入るかを示した採点基準と別解を収録しています。