東京科学大（旧東工大）数学の出題傾向と対策
東京科学大学・理系・2019〜2026年度の分析
形式は8年間不変
試験時間180分，大問5題，完全記述式。 配点は問題冊子に明記されており，各大問60点・合計300点である （配点非公表の大学が多いなかで，これは珍しい）。 解答用紙は5ページで，大問と大問のあいだには下書き用紙が1ページずつ挟まる。 数学公式集の配布はない。
| 年度 | 大問1 | 大問2 | 大問3 | 大問4 | 大問5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2019 | 三角形・四面体の不等式の証明 | 積分方程式（関数と定数の決定） | 複素数平面上の格子点の個数 | 枚の平面による空間の分割 | 数列の最大項（微分＋既約分数） |
| 2020 | 整数（合同式と素数の列） | 複素数平面（正三角形の条件） | 空間座標・共円条件の図示 | 斜軸のまわりの回転体の体積 | 積分漸化式と極限の精密化 |
| 2021 | 整数（を含まない数と級数評価） | 楕円と直線・内接正方形 | 二項係数が素数となる条件 | 球面上の4点と内積の最大 | 円を含む領域の回転体の体積 |
| 2022 | 複素数平面（解の存在範囲の図示） | 整数（3数の最大公約数） | 直角三角形の運動・道のり・領域 | 分数式で定まる点の軌跡と通過領域 | 定積分と確率の融合（区分求積） |
| 2023 | 定積分の整数部分 | 整数（） | 確率と複素数の融合 | 2つの立体の共通部分の体積 | 4直線に接する球面 |
| 2024 | 放物線に接する円の中心の軌跡 | 微分方程式型の関数・曲線の長さ | 平面上の反復作図と極限 | 確率（枚の硬貨と偶奇） | 整数と1のべき根 |
| 2025 | 逆関数の定積分 | 空間の2直線と四面体の体積 | 確率（コインゲームと無限級数） | 数列（の加法定理と級数） | 微分と対称な連立方程式 |
| 2026 | 無理数を解にもつ有理数係数方程式 | 二項係数と空間の格子点 | 平面幾何（外心・相似） | 複素数平面（対称移動と数列） | 積分と極限（最小の ） |
誘導が薄い ── これが名大などとの最大の違い
8年40題の小問の総数は87，1題あたり平均2.2問にすぎない。 名大理系（1題あたり4問）の約半分である。それどころか， 小問がまったくない「一問完結型」が40題中7題ある。
この事実がもつ意味は決定的である。 「(1)で誘導に乗り，(2)(3)で流れに従う」という解き方が通用しない。 2023年度の 1「 の整数部分を求めよ」は， 問題文がわずか1行で，そこから答案用紙1枚分の論証を自分で設計しなければならない。
| 小問数 | 0問 | 2問 | 3問 | 4問 | 合計 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 大問の数 | 7 | 17 | 12 | 4 | 40 |
分野の配分
融合問題を重複して数えると，8年40題の分野は次のように分かれる。
注目すべきは確率の少なさである。名大・阪大が毎年出すのに対し， 科学大は3年連続で出題しない年があった。 一方で体積の計算は8年で6回登場し，しかもそのすべてが 「回転させてから共通部分をとる」「斜めの軸のまわりに回す」といったひとひねりある設定である。
| 分野 | 40題中 | 特徴 |
|---|---|---|
| 微分積分（極限・面積・体積・評価） | 14 | 毎年2題前後。体積（とくに回転体・共通部分）が頻出 |
| 整数 | 8 | 毎年1題は必ず出る。「すべて求めよ」型が中心 |
| 複素数平面 | 6 | 2022--2026に集中。図示を求められる年が多い |
| 空間図形・ベクトル | 5 | 座標を設定して押し切る計算力を見る |
| 平面図形・2次曲線 | 5 | 軌跡・通過領域につながる |
| 確率 | 4 | 出ない年がある（2019--2021は0題）。出れば漸化式か極限との融合 |
| 数列・級数 | 3 | 単独より，他分野の仕上げとして現れる |
出題の型は3つ
| 型 | 構造と対処 |
|---|---|
| A．一問完結型 | 小問なし。または(1)(2)だけ。方針の設計そのものが問われている。 まず「何を求めれば答えになるか」を1行で書き出すところから始める。40題中7題。 |
| B．すべて求めよ型 | 整数・複素数に多い。必要条件で候補を絞り， 十分性の確認を書かないと大幅減点。40題中9題。 |
| C．最後に極限か評価がくる型 | (1)(2)で具体的な量を計算させ，最終小問で か不等式へ接続する。 はさみうちの道具を自分で作れるかどうかで決まる。40題中12題。 |
難易度と目標
科学大の数学は「計算量が重く，時間が足りない」という一点に尽きる。 1題あたり36分。しかも 1〜5 の並び順と難易度は無関係で， 2023年度のように 1 が最難問という年もある。
目標は2完+3半（150点前後）である。300点満点で半分が合格ラインの目安になる。 5題すべてに手をつけ，取れるところだけを確実に取るのが正解であり， 1題に40分以上かけた時点でその年の勝負は終わる。 試験開始後の最初の10分は5題すべてを読み，難易度の順位をつけるためだけに使うこと。
この分析からつくった予想問題集
合格答案をつくる シリーズは、2019〜2026年度のこの出題分析をもとに書き下ろした東京科学大（旧東工大）数学のオリジナル予想問題集です。本番形式の問題に加え、どこで何点入るかを示した採点基準と別解を収録しています。