名大理系数学
分野別完成演習

名大の確率は、$2018$ 年度から $2026$ 年度までの $9$ 年で $8$ 回出題された（出なかったのは2023年度のみ）。しかも構造がはっきりしている。

• ほとんどが誘導の型Aである。(1)で $n=1,2,3$ を手で数え、 (2)で漸化式か一般則を立て、(3)(4)で極限か不等式へ持っていく
• (1)の数え上げを落とすと、あとの誘導がすべて死ぬ。ここは「簡単だから」と飛ばしてよい場所ではない
• 他分野との融合が多い。整数（2022年度）、定積分（2024年度）、偶奇と場合分け（2025年度）、不等式評価（2018、2020、2026年度）

本章は数学A の範囲だけで解ける $4$ 題である。数学III を学んでいなくても取り組める。

名大の整数は $9$ 年で $7$ 回出ている。問い方は2通りしかない。

• 「すべて求めよ」（誘導の型C）——2020、2024、2025、2026年度。必要条件で候補を絞ったあと、十分性の確認を書かないと大幅減点になる
• 「示せ」——2018年度大問3（合同式）。ほかに2019年度大問3のように、条件をみたす数を小さい順に調べる型もある

使う道具は約数の個数と素因数分解、合同式、互いに素の扱い、そして大小による評価に限られる。特別な定理は要らない。要るのは 「候補を有限個に絞ってから調べる」という運びを、答案として書ききる力である。本章も数学A の範囲だけで解ける。

数列が単独の大問になった年は2021年度と2023年度の $2$ 回だけである。しかし数列は毎年出ている。確率漸化式（2018、2020、2025、2026年度）、定積分の漸化式（2018、2019年度）、ガウス記号の漸化式（2021年度）、二項係数の恒等式（2023年度）——どれも中身は数列である。つまり名大の数列は、他分野の中で使う道具として問われる。そこで身につけておくべきことは $3$ つ。

• 和を正確に計算しきる（群数列、和の分割、$S_n$ と $a_n$ の関係）
• 差の形に直して打ち消し合わせる
• 計算できない和をはさんで評価する

本章は数学B「数列」の範囲だけで解ける $4$ 題である（極限は第 $6$ 章で扱う）。

名大の空間図形は $9$ 年で $3$ 回（2019、2024、2026年度）。頻度は高くないが、出たときの得点差は大きい。理由ははっきりしていて、 立体を頭の中で「見よう」とすると必ず行き詰まるからである。名大の空間問題で必要なのは次の $3$ つだけである。

• 頂点をすべて座標かベクトルで書き出す。角度も距離も面積も、そこから機械的に出る
• 垂直は内積 $=0$。垂線の足も、平面の法線も、すべてこの $1$ 本の式から決まる
• 最大最小は条件式で変数を減らしてから

本章は数学C「ベクトル」の範囲だけで解ける $4$ 題である。

名大の複素数平面は $9$ 年で $3$ 回（2022、2023、2024年度）。そのすべてに共通するのは、$1$ の $n$ 乗根または方程式の解の構造が中心にあることである。 2022年度は正六角形、2023年度は円周上の $4$ 解と領域の図示、2024年度は $3$ 次方程式の共通解であった。身につけておくべきことは次の $3$ つ。

• $z^n=1$ の解の和が $0$であること、および $z^n-1$ の因数分解を、計算の道具として自在に使えること
• $|z|=1$ のとき $\overline{z}=\frac{1}{z}$ という書きかえ。これで共役の入った式がただの分数式になる
• 実部・虚部を取り出すこと。$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta$ は、 三角関数と多項式をつなぐ橋である

本章は数学C「平面上の曲線と複素数平面」と数学II の範囲だけで解ける。

ここからが数学III である。名大の極限は、単独で出るというより どの大問の最後にも顔を出す。 $2018$ 年度大問1（交代級数）、$2022$ 年度大問4（広義積分）、 $2023$ 年度大問2（回転体の体積の極限）、$2026$ 年度大問4（確率の評価）——いずれも最終小問が極限か不等式である。

• 極限値を当てにいってはいけない。上下からはさむ式を作るのが仕事である
• 一般項が求まらない数列は「増加して上に有界」で収束を言う
• 評価の道具は、等比数列・二項定理・定積分の $3$ つしかない

本章の $3$ 題は、この $3$ つをひととおり使う。

名大の微分は、増減表を書いて終わりにならない。 増減を調べたあと、必ずもう一段ある。その一段は次の $3$ つのどれかである。

• 方程式の実数解の個数に読みかえる（$y=f(x)$ と $y=k$ の共有点。2023年度大問3）
• 接線を引いて、接点の個数や整数条件を問う（2021年度大問1、2024年度大問1）
• 面積や長さの最大最小へつなぐ（2026年度大問1、2021年度大問1）
• 得られた解や極値の存在と一意性を示させる（2025年度大問1、2022年度大問4）

したがって「$f^{\prime }(x)$ の符号を調べる」で止まらず、 その増減表が次の問いのどこで使われるかを意識しながら進めること。

名大の積分は、面積や体積を求めたあとに必ず続きがある。続きは「最大最小」（2020年度大問1、2021年度大問1、2026年度大問1）か「極限」（2023年度大問2）か「不等式の証明」（2020年度大問3）である。求積そのものは標準的で、差がつくのは次の $3$ 点である。

• どの向きに切るかを選べるか（$x$ で切るか $y$ で切るか、$z$ で切るか）
• 積分計算の道具の選択（置換・部分積分・逆関数・区分求積）
• 求めた式を評価につなげられるか

本章は求積の基本から始めて、最後は空間図形との融合問題で締めくくる。