阪大理系数学
分野別完成演習

阪大理系数学は、$2019$ 年度から $2026$ 年度までの $8$ 年で確率を $5$ 回出している。しかも、数え上げて終わる問題は $1$ 題もない。

• 確率漸化式が中心である（$2023$ 年度大問5、$2025$ 年度大問5）。 (1) で $n=1,2$ を手で数え、(2) で漸化式を立て、一般項か極限まで運ぶ
• 整数の条件との融合が目立つ（$2023$ 年度は $7$ の倍数、 $2026$ 年度は「$X$ が整数となる」条件）。 確率の問題の中身が、余りによる分類になっている
• $2026$ 年度大問5は条件つき確率であった。新課程で期待値と条件つき確率が数学A に入ったことに、阪大は素直に反応している

なお $2027$ 年度の出題範囲は数学A（図形の性質、場合の数と確率）であり、旧課程の「整数の性質」は含まれない。本章の $4$ 題も数学A の範囲だけで解ける。ただし最後の小問は必ず評価か証明である。

阪大理系数学には「図示せよ」で終わる大問が定期的に現れる。 $2019$ 年度大問3、$2022$ 年度大問3、$2023$ 年度大問3、$2024$ 年度大問2 がそれで、 $8$ 年で $4$ 回である。

• $2022$ 年度大問3は小問がなく、「図示せよ」の $2$ 行だけであった。阪大の図示問題は、誘導なしで出ることがある
• 中身は「条件をみたす実数が存在する」の言いかえである。 $2023$ 年度大問3は「接線が点 $\mathrm{P}$ を通るような $t$ が $4$ 個」、 $2024$ 年度大問2は「$2$ つの不等式をみたす $\alpha$、$\beta$ が存在する」
• 境界を含むか含まないかを書かないと減点される。阪大の図示問題は、$1$ 本の境界線ごとに実線と破線を描き分けることを要求している

本章は数学II の範囲だけで解ける $4$ 題である。どの問題も最後は図をかき、境界を明示して終わる形にしてある。

阪大は平面のベクトルを単独の大問として出す。 $2023$ 年度大問2、$2025$ 年度大問1 がそれで、どちらも図形の名前は出てこない。出てくるのは内積の条件式だけである。

• $2023$ 年度大問2は、$\left|2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1$ という条件から出発して、$2$ つの不等式をみたす点 $\mathrm{P}$ の $\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$ の最大最小を問うた。 条件を図形に翻訳できるかどうかがすべてであった
• $2025$ 年度大問1は、垂線の足と内分点をたどって、最後に「点がある線分上にある」ための範囲を求めさせた。 手を動かす量が多いが、一手ごとは平易である
• $2020$ 年度大問3は $\angle \mathrm{ACB}=n\angle \mathrm{ABC}$ から $c<nb$ を導く不等式の証明で、小問はなかった。阪大の平面図形は「示せ」で来ることがある

本章の $3$ 題は数学III を使わない。 内積を $1$ つ計算したら、その先は長さ・角・面積すべてがその式で書ける——この一点を体に入れるのが目的である。

阪大理系数学でもっとも出題が安定しているのが空間である。 $2019$ 年度から $2026$ 年度までの $8$ 年で $6$ 回、 $2023$ 年度以降は $4$ 年連続で出ている。

• 同一平面上にある条件（$2021$ 年度大問2、$2026$ 年度大問2）——係数の和が $1$、という $1$ 行から始まる
• 垂線・正射影（$2023$ 年度大問4、$2019$ 年度大問5）——「点から平面へ」「点から直線へ」の $2$ 通りを両方使えるようにしておく
• 最大最小（$2025$ 年度大問3、$2026$ 年度大問2）—— $2$ 乗して $1$ 文字の $2$ 次式に落とす。空間だからといって特別なことはしない
• $2024$ 年度大問3は「ねじれの位置にある $2$ 直線の共通垂線がただ $1$ つ」という 小問なしの存在証明であった

本章は数学C（ベクトル）の範囲だけで解ける $4$ 題である。座標を入れる問題と、入れずに内積だけで進む問題を混ぜてある。 どちらで解くかを自分で決められるようになるのが目標である。

阪大は複素数平面を $8$ 年で $5$ 回出している（$2019$、$2020$、$2022$、$2024$、$2026$ 年度）。出題の顔ぶれははっきりしている。

• 軌跡・像（$2022$ 年度大問1）—— $z+w=zw$ をみたす $w$ の描く図形を求めよ、という 小問なしの $3$ 行であった
• とりうる値の範囲を図示（$2024$ 年度大問2）—— $2$ つの不等式をみたす $\alpha$、$\beta$ が動くときの $f(1+i)$ の範囲
• 解の個数（$2026$ 年度大問3）—— $\overline{z}$ を含む式について「実数であることを示せ」、続いて「条件をみたす $z$ の個数 $N(a)$ を求めよ」

共通するのは、$\overline{z}$ を消して実数の話に落とすという一手である。 ${\left|z\right|}^2=z\overline{z}$、$z+\overline{z}=2\times (z\text{ の実部})$——この $2$ 本が阪大の複素数のほとんどを支えている。本章の $3$ 題も、どれかの段階で必ず $\overline{z}$ が出てくる。

これが阪大理系数学のいちばんの特徴である。「不等式で評価して極限に持ち込む」——この型が $2019$ 年度大問1、$2021$ 年度大問3、$2022$ 年度大問4、$2023$ 年度大問1、$2025$ 年度大問4 と、 $8$ 年で $5$ 回出ている。

• 形はいつも同じである。(1) で不等式を証明させ、(2)(3) でそれを使って極限を出す。 (1) は誘導ではなく、(2) で使う道具そのものである
• 求めるべき量の値そのものは分からなくてよい。 $2023$ 年度大問1 は $\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}$ が $\log 2$ に近づく速さを問うた
• 評価の作り方は大きく $2$ 通りある。 約分や打ち消しで縮む形と比べるか、粗い評価を代入して精密にするか

本章では、はさみうちの原理を $4$ 通りの場面で使う。 $4$ 題とも積分をほとんど使わない。 積分を使わずに評価を作る力が、第 $8$ 章の積分の評価を支えることになる。

阪大の微分法は、$8$ 年で $6$ 回出ている（$2020$、$2021$ 年度は $2$ 題ずつ、$2024$、$2025$、$2026$ 年度に $1$ 題ずつ）。どれも増減表を書いて終わりにはならない。

• 解の個数（$2021$ 年度大問5、$2024$ 年度大問1）——「ただ $1$ つ存在することを示せ」のあと、その解の極限を問う
• 接線と図形量の最大最小（$2021$ 年度大問1、$2026$ 年度大問1）—— $2$ 本または $3$ 本の接線を引き、交点で作る図形の面積を最大にする
• 軌跡（$2025$ 年度大問2）——条件をみたしながら係数が動くときの変曲点の軌跡
• $2020$ 年度大問1は、$f(x)=(x+1{)}^{\frac{1}{x+1}}$ のグラフの概形をかかせるだけの問題であった。 $\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)$ まで問うのが阪大である

本章は、増減を調べる力よりそのあとに何を言うかを鍛える $4$ 題である。どの問題も最後は極限か不等式に着地する。

積分は阪大がもっとも長く時間を使わせる分野である。 $8$ 年で $10$ 題、つまり毎年 $1$ 題以上が積分そのものか、積分を含む融合問題であった。出方は $2$ 通りに分かれる。

• 面積・体積（$2019$ 年度大問3、$2020$ 年度大問5、$2022$ 年度大問5、$2024$ 年度大問4）—— $y$ 軸のまわりの回転や、媒介変数表示の曲線が囲む面積など、 立式でひと手間かかるものが選ばれる
• 評価と極限（$2019$ 年度大問1、$2021$ 年度大問3、$2025$ 年度大問4）——積分を上下からはさんで極限を出す。$2025$ 年度大問4は ${\int }_t^{2t}\frac{\sin x}{x^2}dx$ を $\pm \frac{1}{t}$ ではさむところから始まった

本章は $4$ 題で両方を扱う。前半 $2$ 題が面積・体積、後半 $2$ 題が評価と極限である。とくに後半では、積分の値を求めきらないまま、不等式ではさんで極限を決めるという阪大の中心的な経験をしてもらう。