東京科学大数学
分野別完成演習

科学大（旧東工大）の整数は、$2019$ 年度から $2026$ 年度までの $8$ 年で $8$ 回出題された。年ごとに見ると $2021$ 年度は $2$ 題、$2025$ 年度は $0$ 題だが、ならせば毎年 $1$ 題である。しかも要求されるものがはっきりしている。

• 答が具体的な数・組である。「$\cdots$ をみたす整数の組をすべて求めよ」（$2023$ 年度大問2）、「$\cdots$ をみたす最小の $k$ を求めよ」（$2026$ 年度大問5）。 一般論を述べて終わりにはさせない
• 誘導がないことが多い。$2023$ 年度大問2 は問題文が $2$ 行、小問なしである
• 他分野との融合が多い。多項式（$2026$ 年度大問1）、二項係数と数え上げ（$2021$ 年度大問3、$2026$ 年度大問2）、複素数（$2019$ 年度大問3、$2024$ 年度大問5）

本章は数学A（と座標平面）の範囲だけで解ける $4$ 題である。数学III を学んでいなくても取り組める。

科学大の確率は $8$ 年で $4$ 回と、出題数だけ見れば多くない。しかし出たときの形がはっきりしている。

• 確率漸化式より他分野との融合が主である。定積分（$2022$ 年度大問5）、複素数（$2023$ 年度大問3）、無限級数（$2025$ 年度大問3）、母関数的な積（$2024$ 年度大問4）
• 数え上げが終わってからもう一段ある。期待値を求める、級数の和を出す、極限を評価する
• $n$ 個の独立な試行を扱うことが多い。$1$ 回ごとの事象に分解できるかどうかが勝負

本章の $3$ 題は数学A と数学II の範囲だけで解ける。 $2$-$3$ で使う $1$ の $3$ 乗根は数学II「複素数と方程式」の範囲である。

科学大は平面図形を $8$ 年で $4$ 回出している（$2021$、$2022$、$2024$、$2026$ 年度）。どれも「うまい補助線」を要求しない代わりに、座標を入れてから最後まで計算しきることを求める。

• $2026$ 年度大問3 は、$2$ 点 $\mathrm{A}(a,0)$、$\mathrm{B}(0,b)$ から中点・外心・直角条件・相似条件へと進む純粋な計算問題である
• $2021$ 年度大問2 は楕円、$2024$ 年度大問1 は円の中心の軌跡。いずれも $2$ 次曲線と方程式の扱いが土台になる
• 文字が $2$ つ以上入る。条件式で $1$ つ減らすという一手間が必ずある

本章の $3$ 題は数学II と数学C（$2$ 次曲線）の範囲だけで解ける。計算がやや長いが、途中で方針が変わることはない。最後まで手を動かすこと。

科学大の複素数平面は $8$ 年で $5$ 回出題された。どれも「複素数を計算する」より、複素数で図形を動かす問題である。

• 図示が多い。$2022$ 年度大問1（解の存在範囲）、同年大問4（線分の通過領域）。いずれも最後は「複素数平面上に図示せよ」
• 写像として見る。$w=\frac{z-3}{1-2z}$（$2022$ 年度大問4）、直線に関する対称移動の反復（$2026$ 年度大問4）
• 整数と結びつける。実部・虚部が整数の複素数の個数（$2019$ 年度大問3）、 ${\alpha }^n=1$ となる $n$ の存在（$2024$ 年度大問5）

本章が $3$ 題なのは出題数がそれだけだからで、軽視してよいという意味ではない。本章の $3$ 題は数学C（複素数平面）の範囲で解ける。 $4$-$3$ では $3$ 次方程式の解と係数の関係（数学II）を使う。

科学大の空間図形は $8$ 年で $6$ 回出題された。微分積分に次いで多い分野である。

• ほとんどが座標で与えられる。$2025$ 年度大問2 は $2$ 直線を通る点と方向ベクトルで、 $2023$ 年度大問5 は $4$ 点の座標で与えられた。 図を描くより成分計算のほうが確実である
• 立体の体積は「$1$ 文字を固定して切る」。 $2023$ 年度大問4（円柱から角柱を除いた立体と、その回転像の共通部分）が典型
• 動くものが $2$ つ以上ある。$2025$ 年度大問2 では $2$ 直線上に $4$ 点が動いた。 どの文字を固定してどの文字で切るかを最初に決める

$5$-$3$ では立体の体積を求めるため数学III を使う。$5$-$1$、$5$-$2$ は数学C の範囲で解ける（$5$-$2$ の積分は多項式のみである）。

科学大の数列・極限は、単独の大問としては $8$ 年で $4$ 回だが、 他分野の大問の後半には毎年入っている。

• 一般項を出して終わりにならない。$2019$ 年度大問5 は数列の最大項を既約分数で答えさせ、 $2020$ 年度大問5 は極限のあとにその次の項まで求めさせた
• 漸化式が変わっている。$2024$ 年度大問3 は図形から出てくる数列、 $2025$ 年度大問4 はフィボナッチ数列と正接の加法定理の融合
• 最後は評価である。「$\cdots$ より小さいことを示せ」「$\cdots$ をみたす最小の $n$ を求めよ」。極限値だけでは答えにならない

本章の $4$ 題は、数え上げ・漸化式・方程式の解・図形と、出どころの異なる数列を集めてある。どれも最後は不等式で締める形にした。

過去 $8$ 年 $40$ 題のうち$14$ 題が微分積分である。毎年 $1$〜$2$ 題は必ず出る、科学大の主戦場である。

• 計算しただけでは終わらない。 $2020$ 年度大問5 は積分漸化式のあとに漸近展開、 $2023$ 年度大問1 は定積分の整数部分、 $2026$ 年度大問5 は極限を評価して最小の $k$ を答えさせる
• 立体の体積が繰り返し出る（$2020$、$2021$、$2023$ 年度）。どの文字で切るかを決めれば、あとは計算である
• 積分方程式・微分方程式的な条件から関数を決める型もある（$2019$ 年度大問2、$2024$ 年度大問2）

本章が $8$ 題と多いのは、出題数がそれだけ多いからである。前半 $4$ 題（$7$-$1$〜$7$-$4$）は関数の考察と面積・体積、後半 $4$ 題（$7$-$5$〜$7$-$8$）は評価・関数の決定・極限である。