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東京大学　2021年度　前期日程　理科

第1問図形と方程式の解答・解説

2次方程式の解の配置・領域の図示・通過範囲・1次式の値域当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1)点 $(a, b)$ のとりうる範囲を図示する

答3点 $(- 2, 0)$ 、 $(2, 0)$ 、 $(0, - 2)$ を頂点とする三角形の内部（周は含まない）

共有点の $x$ 座標は $x^{2} + a x + b = - x^{2}$ 、すなわち2次方程式 $2 x^{2} + a x + b = 0$ の解である。「一方の解が $- 1 < x < 0$ 、他方が $0 < x < 1$ 」は、2次関数の値の符号だけで言いかえられる。下に凸なので、 $- 1, 0, 1$ での値が「正・負・正」であればよい。

共有点の $x$ 座標は $x^{2} + a x + b = - x^{2}$ の解、すなわち

h (x) = 2 x^{2} + a x + b = 0

の解である。条件は「 $h (x) = 0$ が $- 1 < x < 0$ と $0 < x < 1$ にそれぞれ解を1つずつもつ」ことである。 $h$ は下に凸の2次関数なので、これは

h (- 1) > 0, h (0) < 0, h (1) > 0

と同値である。それぞれ書き下すと

2 - a + b > 0, b < 0, 2 + a + b > 0

すなわち $b > a - 2$ かつ $b > - a - 2$ かつ $b < 0$ である。3直線 $b = a - 2$ 、 $b = - a - 2$ 、 $b = 0$ の交点は $(0, - 2)$ 、 $(2, 0)$ 、 $(- 2, 0)$ なので、求める範囲はこの3点を頂点とする三角形の内部（周を含まない）である。

点

(a, b)

のとりうる範囲（網かけ）。3直線

b = 0

、

b = a - 2

、

b = - a - 2

が境界で、境界は含まない。横軸が

a

、縦軸が

b

。

$(a, b) = (0, - 1)$ は三角形の内部にある。このとき $2 x^{2} - 1 = 0$ の解は $x = \pm \frac{1}{2} = \pm 0.707$ で、確かに $- 1 < x < 0$ と $0 < x < 1$ に1つずつある。 $(a, b) = (0, - 3)$ （三角形の外）では解が $\pm 1.5 = \pm 1.22$ となり範囲から外れる。

判別式を使う必要はない。 $h (- 1) > 0$ 、 $h (0) < 0$ 、 $h (1) > 0$ が言えれば、中間値の定理から2つの区間に解が1つずつあり、2次方程式なのでそれで全部である。

「2つの共有点をもつ」はこの3条件に含まれている。 $h (0) < 0$ だけで相異なる2実解があることが従う。

(2)放物線 $C$ の通りうる範囲を図示する

答 $x^{2} + min {- 2∣ x ∣, - 2} < y < x^{2} + 2∣ x ∣$ 、すなわち $∣ x ∣ \geq 1$ では $(∣ x ∣ - 1)^{2} - 1 < y < (∣ x ∣ + 1)^{2} - 1$ 、 $∣ x ∣ < 1$ では $x^{2} - 2 < y < x^{2} + 2∣ x ∣$ （境界は含まない）

点 $(X, Y)$ が $C$ 上にあるのは $Y = X^{2} + a X + b$ のときで、 $X$ を固定すると $a X + b$ は $(a, b)$ の1次式である。1次式が三角形の内部を動くときにとる値の範囲は、3頂点での値の最小と最大のあいだの開区間になる。頂点が3つしかないので、各 $X$ について3つの値を比べるだけで済む。

点 $(X, Y)$ が条件をみたすある $C$ の上にあることは、(1) の三角形の内部にある $(a, b)$ で $Y = X^{2} + a X + b$ となるものが存在すること、すなわち

Y - X^{2} \in {a X + b ∣ (a, b) は三角形の内部}

である。 $X$ を固定すると $a X + b$ は $(a, b)$ の1次式である。三角形は凸で、1次式はその上で頂点のどこかで最大・最小になるから、内部を動かしたときにとる値の全体は、3頂点での値の最小と最大のあいだの開区間になる。3頂点での値は

(- 2, 0) \mapsto - 2 X, (2, 0) \mapsto 2 X, (0, - 2) \mapsto - 2

である。最大は $max {- 2 X, 2 X, - 2} = 2∣ X ∣$ （ $2∣ X ∣ \geq 0 > - 2$ ）、最小は

min {- 2 X, 2 X, - 2} = min {- 2∣ X ∣, - 2} = {- 2∣ X ∣ - 2 (∣ X ∣ \geq 1) (∣ X ∣ < 1)

である。よって求める範囲は

x^{2} + min {- 2∣ x ∣, - 2} < y < x^{2} + 2∣ x ∣

すなわち

{(∣ x ∣ - 1)^{2} - 1 < y < (∣ x ∣ + 1)^{2} - 1 x^{2} - 2 < y < (∣ x ∣ + 1)^{2} - 1 (∣ x ∣ \geq 1) (∣ x ∣ < 1)

で、境界は含まない。 $∣ x ∣ = 1$ では下側の2つの式がどちらも $- 1$ を与え、つながっている。

放物線

C

の通りうる範囲（網かけ）。上の境界は

y = x^{2} + 2∣ x ∣

、下の境界は

∣ x ∣ \geq 1

で

y = x^{2} - 2∣ x ∣

、

∣ x ∣ < 1

で

y = x^{2} - 2

。境界は含まない。縦方向は縮めて描いてある。

$x = 0$ では $y = b$ で、 $b$ は $- 2 < b < 0$ を動く。式でも下側 $0 - 2 = - 2$ 、上側 $0 + 0 = 0$ で一致する。 $x = 2$ では下側 $4 - 4 = 0$ 、上側 $4 + 4 = 8$ 。実際 $(a, b) = (2, 0)$ の極限で $y = x^{2} + 2 x$ が上の境界、 $(- 2, 0)$ の極限で $y = x^{2} - 2 x$ が下の境界になる。 $(X, Y)$ を格子で動かして $a$ を細かく振る総当たりの判定とも、境界の近傍を除いて1点も食い違わなかった。