第3問微分法・積分法の解答・解説

接線・分数関数・部分分数・三角関数による置換積分当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1) $C$ と $ℓ$ の共有点で $A$ と異なるものがただ1つ存在することを示し、その $x$ 座標を求める

答 $x = - 3$

共有点の方程式を作ると分母が払えて3次方程式になる。接点では重解になるはずなので、 $(x - 1)^{2}$ でくくれる。残る1次因子が答えを与える。

$f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 3 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{3 - x ^{2}}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ より $f (1) = \frac{1}{4}$ 、 $f^{'} (1) = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ なので

g (x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} (x - 1) = \frac{x + 1}{8}

である。共有点は $\frac{x}{x ^{2} + 3} = \frac{x + 1}{8}$ の解で、 $x^{2} + 3 > 0$ だから分母を払って

8 x = (x + 1) (x^{2} + 3) ⟺ x^{3} + x^{2} - 5 x + 3 = 0

となる。 $x = 1$ は接点だから重解のはずで、実際

x^{3} + x^{2} - 5 x + 3 = (x - 1)^{2} (x + 3)

と因数分解できる。よって解は $x = 1$ （2重）と $x = - 3$ だけで、 $A$ と異なる共有点はただ1つ、 $x = - 3$ の点である。

y = f (x)

のグラフ（曲線）と点

A (1, \frac{1}{4})

での接線

ℓ

（直線）。

x = - 3

でもう一度交わる。縦方向は拡大して描いてある。

$f (- 3) = \frac{- 3}{9 + 3} = - \frac{1}{4}$ 、 $g (- 3) = \frac{- 3 + 1}{8} = - \frac{1}{4}$ で一致する。また $(x - 1)^{2} (x + 3)$ を展開すると $(x^{2} - 2 x + 1) (x + 3) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ となり、元の式に戻る。

(2) $\int_{α}^{1} {f (x) - g (x)}^{2} d x$ を計算する

答 $\frac{5 3}{24} π + \frac{lo g 3}{8} - \frac{7}{6}$

$f - g$ は分母が $x^{2} + 3$ の分数式で、分子は (1) で求めた3次式である。2乗すると分母が $(x^{2} + 3)^{2}$ になって扱いにくいが、先に分子を分母で割っておくと「多項式」「 $\frac{1}{x ^{2} + 3}$ 型」「 $\frac{x}{x ^{2} + 3}$ 型」「 $\frac{1}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ 型」の4種類に分かれ、どれも計算できる形になる。

(1) より

f (x) - g (x) = \frac{8 x - ( x + 1 ) ( x ^{2} + 3 )}{8 ( x ^{2} + 3 )} = - \frac{x ^{3} + x ^{2} - 5 x + 3}{8 ( x ^{2} + 3 )}

である。ここで分子を分母で割ると

x^{3} + x^{2} - 5 x + 3 = (x^{2} + 3) (x + 1) - 8 x

だから

{f (x) - g (x)}^{2} = \frac{1}{64} {(x + 1) - \frac{8 x}{x ^{2} + 3}}^{2} = \frac{1}{64} {(x + 1)^{2} - \frac{16 x ( x + 1 )}{x ^{2} + 3} + \frac{64 x ^{2}}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}}

となる。 $α = - 3$ として3つの部分を順に計算する。まず

\int_{- 3}^{1} (x + 1)^{2} d x = [\frac{( x + 1 ) ^{3}}{3}]_{- 3}^{1} = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}

である。次に $\frac{x ^{2} + x}{x ^{2} + 3} = 1 + \frac{x - 3}{x ^{2} + 3}$ と直すと

\int_{- 3}^{1} \frac{x}{x ^{2} + 3} d x = [\frac{1}{2} lo g (x^{2} + 3)]_{- 3}^{1} = \frac{1}{2} lo g \frac{4}{12} = - \frac{1}{2} lo g 3

であり、 $x = 3 tan θ$ と置換すると $x = - 3$ で $θ = - \frac{π}{3}$ 、 $x = 1$ で $θ = \frac{π}{6}$ なので

\int_{- 3}^{1} \frac{d x}{x ^{2} + 3} = \frac{1}{3} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{6}} d θ = \frac{1}{3} \cdot \frac{π}{2} = \frac{3}{6} π

となる。よって

- 16 \int_{- 3}^{1} \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} + 3} d x = - 16 {4 - \frac{1}{2} lo g 3 - 3 \cdot \frac{3}{6} π} = - 64 + 8 lo g 3 + 83 π

である。最後に $\frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{1}{x ^{2} + 3} - \frac{3}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ と直す。 $\frac{1}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ の積分は、 $(\frac{x}{x ^{2} + 3})^{'} = \frac{3 - x ^{2}}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ と $3 - x^{2} = 6 - (x^{2} + 3)$ を使って

(\frac{x}{x ^{2} + 3})^{'} = \frac{6}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} - \frac{1}{x ^{2} + 3}

と書けることから

\int_{- 3}^{1} \frac{d x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{1}{6} {[\frac{x}{x ^{2} + 3}]_{- 3}^{1} + \int_{- 3}^{1} \frac{d x}{x ^{2} + 3}} = \frac{1}{6} (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{6} π) = \frac{1}{12} + \frac{3}{36} π

となる。したがって

64 \int_{- 3}^{1} \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} d x = 64 {\frac{3}{6} π - 3 (\frac{1}{12} + \frac{3}{36} π)} = \frac{16 3}{3} π - 16

である。3つを足して $\frac{1}{64}$ 倍すると

\int_{- 3}^{1} {f - g}^{2} d x = \frac{1}{64} {\frac{16}{3} - 64 + 8 lo g 3 + 83 π + \frac{16 3}{3} π - 16} = \frac{1}{64} {- \frac{224}{3} + 8 lo g 3 + \frac{40 3}{3} π} = \frac{5 3}{24} π + \frac{lo g 3}{8} - \frac{7}{6}

を得る。

$\frac{5 3}{24} π + \frac{lo g 3}{8} - \frac{7}{6} = 1.133685 + 0.137327 - 1.166667 = 0.104284$ 。被積分関数をそのままシンプソン法で $- 3$ から $1$ まで数値積分すると $0.1042844721$ となり、小数10桁まで一致する。被積分関数は2乗なので値が正であることとも合う。

$(f - g)^{2}$ をそのまま展開すると分母が4次になって手が止まる。先に分子を分母で割り、 $(x + 1) - \frac{8 x}{x ^{2} + 3}$ の形にしてから2乗する。

$\int \frac{d x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ は公式を覚えていなくても、 $\frac{x}{x ^{2} + 3}$ を微分すれば $\frac{1}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ と $\frac{1}{x ^{2} + 3}$ の関係が出るので、そこから求まる。