第6問 整式・整数の解答・解説

右辺を展開すると

である。左辺 $x^4+bx+c$ と係数を比べて

を得る。$p\ne 0$ より $r-q=\frac{b}{p}$ なので、$q+r=p^2$ とあわせて

となる。

残る条件 $qr=c$ に代入すると $\frac{p^6-b^2}{4p^2}=c$、すなわち $p^6-4c{p}^2-b^2=0$ となる。これが $p$ の決定条件で、(2)(3) の出発点になる。

(1) より $p$ は $p^6-4c{p}^2-b^2=0$ をみたす。$P=p^2$、$A=a^2+1$ とおくと

なので、方程式は

となる。$P=A$ を代入すると

となるので、$P-A$ で割り切れる。$P^3+(4a+3)AP-A^2(a+2{)}^2=(P-A)\left(P^2+fP+g\right)$ とおいて展開すると

なので、係数を比べて $f=A$、$g-Af=(4a+3)A$、すなわち

を得る（定数項も $-Ag=-A^2(a+2{)}^2$ となって合う）。よって $f(t)=t^2+1$、$g(t)=\left(t^2+1\right)(t+2{)}^2$ とすればよい。

4次式が有理数係数の2次式2つの積になるとき、両方を最高次の係数 $1$ にそろえてよい。$x^3$ の項がないので2つの1次の係数は和が $0$、すなわち $p$ と $-p$ である。つまり因数分解できることは、有理数 $p,q,r$ で問題文の恒等式が成り立つことと同じである。

$p=0$ の場合。 このとき $b=p(r-q)=0$ だから $(a^2+1)(a+2)=0$、すなわち $a=-2$ である。さらに $q+r=0$、$qr=c$ から $-q^2=c$ だが

で $-q^2>0$ は起こらない。よって $p=0$ の場合は因数分解できない。

$p\ne 0$ の場合。 (2) より $P=p^2$ は

をみたす。後ろの2次式について、2解の和は $-\left(a^2+1\right)<0$、積は $\left(a^2+1\right)(a+2{)}^2\ge 0$ である。よって実数解があってもすべて $0$ 以下で、$P=p^2>0$ にはなりえない。

したがって $P=p^2=a^2+1$ でなければならない。$p$ は有理数なので $a^2+1$ は有理数の平方であり、$a$ が整数なので $a^2+1$ は平方数である。$a^2+1=k^2$（$k\ge 0$ の整数）とすると

で、左辺の2つはともに正の整数だから $k-|a|=k+|a|=1$、すなわち $a=0$、$k=1$ である。

逆に $a=0$ のときは $b=2$、$c=-\frac{3}{4}$、$p=1$ として (1) より $q=-\frac{1}{2}$、$r=\frac{3}{2}$ となり

と因数分解できる。よって求める $a$ は $a=0$ だけである。