第5問極限・微分法の解答・解説

中間値の定理・単調性・数列の極限・微分係数の定義当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1) $x^{2 n - 1} = cos x$ がただ1つの実数解 $a_{n}$ をもつことを示す

答解は $0 < x < 1$ にあり、そこで $x^{2 n - 1} - cos x$ は狭義増加

まず解の居場所を絞る。 $∣ x ∣ > 1$ では左辺の絶対値が $1$ を超えるので右辺と釣り合わない。 $- 1 \leq x \leq 1$ では $cos x > 0$ なので左辺も正、つまり $x > 0$ である。残った $0 < x \leq 1$ では、差の導関数が明らかに正になる。

$h (x) = x^{2 n - 1} - cos x$ とおく。

$x > 1$ のとき： $x^{2 n - 1} > 1 \geq cos x$ なので $h (x) > 0$ 、解はない。
$x < - 1$ のとき： $x^{2 n - 1} < - 1 \leq cos x$ なので $h (x) < 0$ 、解はない。
$- 1 \leq x \leq 0$ のとき： $∣ x ∣ \leq 1 < \frac{π}{2}$ より $cos x > 0$ 、いっぽう $x^{2 n - 1} \leq 0$ なので $h (x) < 0$ 、解はない。

よって解は $0 < x \leq 1$ にしかない。この範囲で

h^{'} (x) = (2 n - 1) x^{2 n - 2} + sin x > 0

である（ $x > 0$ かつ $x \leq 1 < π$ なので $sin x > 0$ ）。したがって $h$ は $0 \leq x \leq 1$ で狭義増加である。 $h (0) = - 1 < 0$ 、 $h (1) = 1 - cos 1 > 0$ なので、中間値の定理と狭義増加性から、 $h (x) = 0$ をみたす $x$ は $0 < x < 1$ にただ1つである。

y = x^{2 n - 1}

（

n = 1, 2, 5

）と

y = cos x

。交点は

0 < x < 1

にそれぞれ1つで、

n

が大きいほど右へ寄っていく。

(2) $cos a_{n} > cos 1$ を示す

答 $0 < a_{n} < 1$ と $cos$ の単調減少から直ちに従う

(1) の議論で $a_{n}$ が $0$ と $1$ のあいだにあることがすでに出ている。 $cos$ は $0 \leq x \leq π$ で減少するので、それだけで終わる。

(1) より $h$ は狭義増加で $h (1) = 1 - cos 1 > 0$ 、 $h (a_{n}) = 0$ だから $a_{n} < 1$ である。また $a_{n} > 0$ であった。

$cos x$ は $0 \leq x \leq π$ で狭義減少なので、 $0 < a_{n} < 1 < π$ から $cos a_{n} > cos 1$ が従う。

(3) $a = n \to \infty lim a_{n}$ 、 $b = n \to \infty lim a_{n}^{n}$ 、 $c = n \to \infty lim \frac{a _{n}^{n} - b}{a _{n} - a}$ を求める

答 $a = 1$ 、 $b = cos 1$ 、 $c = \frac{cos 1 - sin 1}{2 cos 1}$

$a_{n}^{2 n - 1} = cos a_{n}$ の両辺に $a_{n}$ を掛けると $a_{n}^{2 n} = a_{n} cos a_{n}$ 、つまり $a_{n}^{n} = a_{n} cos a_{n}$ となる。これで $b$ も $c$ も、 $x$ の関数 $x cos x$ を $x = 1$ の近くで見るだけの話になる。 $c$ はそのまま微分係数の定義の形である。

$a = 1$ 。 (2) より $a_{n}^{2 n - 1} = cos a_{n} > cos 1 > 0$ で、 $0 < a_{n} < 1$ だから

(cos 1)^{\frac{1}{2 n - 1}} < a_{n} < 1

である。 $0 < cos 1 < 1$ なので $(cos 1)^{\frac{1}{2 n - 1}} \to 1$ （ $n \to \infty$ ）であり、はさみうちの原理から $a_{n} \to 1$ 、すなわち $a = 1$ である。

$a_{n}^{n}$ を書き直す。 $a_{n}^{2 n - 1} = cos a_{n}$ の両辺に $a_{n}$ を掛けて

a_{n}^{2 n} = a_{n} cos a_{n}, すなわち a_{n}^{n} = a_{n} cos a_{n}

となる（ $a_{n} > 0$ 、 $cos a_{n} > 0$ なので両辺とも正で、2乗の関係からこう書ける）。

$b$ 。 $a_{n} \to 1$ と連続性から

b = n \to \infty lim a_{n} cos a_{n} = 1 \cdot cos 1 = cos 1

である。

$c$ 。 $g (x) = x cos x$ とおくと $b = g (1)$ 、 $a_{n}^{n} = g (a_{n})$ 、 $a = 1$ なので

\frac{a _{n}^{n} - b}{a _{n} - a} = \frac{g ( a _{n} ) - g ( 1 )}{a _{n} - 1}

である。 $a_{n} \to 1$ かつ $a_{n} \neq = 1$ だから、これは $g$ の $x = 1$ における微分係数に収束する。 $g (x) = x cos x$ を微分すると

g^{'} (x) = \frac{( x cos x ) ^{'}}{2 x cos x} = \frac{cos x - x sin x}{2 x cos x}

なので

c = g^{'} (1) = \frac{cos 1 - sin 1}{2 cos 1}

である。

$n = 1$ では $a_{1} = 0.7390851332$ で $a_{1}^{1} = a_{1} cos a_{1} = 0.7390851332$ 、 $n = 100$ では $a_{100} = 0.9969350$ 、 $a_{100}^{100} = 0.7356731 = a_{100} cos a_{100}$ と、どの $n$ でも小数10桁まで一致する。 $cos 1 = 0.7350526$ へ近づき、 $\frac{a _{n}^{n} - b}{a _{n} - 1}$ は $n = 20000$ で $- 0.20485$ となって $\frac{cos 1 - sin 1}{2 cos 1} = - 0.2048620$ に近づく。