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東京大学　2019年度　前期日程　理科

第3問空間図形の解答・解説

平面の方程式・立体の切り口・錐の断面・領域の面積当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1)八面体 $PABCDE$ の平面 $y = 0$ による切り口と、平面 $α$ の平面 $y = 0$ による切り口を図示する

答八面体の切り口は4点 $P (p, 2)$ 、 $A (2, 0)$ 、 $E (0, - 2)$ 、 $C (- 2, 0)$ を頂点とする四角形（ $x z$ 平面で見たもの）、 $α$ の切り口は直線 $z = x - 1$

$α$ は $M, N$ を通り $AE$ に平行なので、法線は $MN$ と $AE$ の両方に垂直なベクトルとして求まる。八面体のほうは、正方形 $ABCD$ を底面として $P$ を頂点とする角錐と $E$ を頂点とする角錐の和だから、 $y = 0$ で切ると $AC$ を共通の底辺とする2つの三角形になる。

$M$ は $AB$ の中点で $(1, 1, 0)$ 、 $N$ は $AD$ の中点で $(1, - 1, 0)$ である。 $MN = (0, - 2, 0)$ 、 $AE = (- 2, 0, - 2)$ だから、両方に垂直なベクトルとして $(1, 0, - 1)$ がとれる。 $M (1, 1, 0)$ を通るので

α : (x - 1) - z = 0, すなわち x - z = 1

である。 $N$ も $1 - 0 = 1$ をみたす。 $y = 0$ で切ると直線 $z = x - 1$ になる。

八面体 $PABCDE$ は、正方形 $ABCD$ （ $z = 0$ 上の $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ ）を底面として、 $P$ を頂点とする角錐と $E$ を頂点とする角錐を貼り合わせたものである。 $y = 0$ で切ると、底面の切り口は線分 $AC$ （ $- 2 \leq x \leq 2$ 、 $z = 0$ ）で、 $P$ も $E$ も $y = 0$ 上にあるから、切り口は三角形 $PAC$ と三角形 $EAC$ を合わせた四角形になる。

p = 3.5

のときの平面

y = 0

による切り口。四角形が八面体の切り口（横軸

x

、縦軸

z

）、斜めの直線が平面

α

の切り口

z = x - 1

。

α

は辺

AE

と平行なので、この直線も

AE

と平行になる。

$α$ の法線 $(1, 0, - 1)$ は $AE = (- 2, 0, - 2)$ との内積が $- 2 + 2 = 0$ で、たしかに $AE$ と平行である。 $M (1, 1, 0)$ 、 $N (1, - 1, 0)$ はどちらも $x - z = 1$ をみたす。

$P$ は $z$ 軸の上にはない（ $x$ 座標が $p > 2$ ）。四角形が左右対称にならないので、図は $P$ を右に寄せて描く。

(2)八面体の平面 $α$ による切り口が八角形となる $p$ の範囲を求める

答 $3 < p < 4$

切り口が八角形になるのは、8つの面がすべて切られるときである。面が切られるかどうかは、その3頂点が $α$ の両側に分かれるかどうかで決まる。各頂点で $x - z - 1$ の符号を調べれば、 $P$ だけが $p$ によって符号を変えることが分かる。

$2 < p < 4$ では八面体は凸である（頂点 $P$ を含む4面について $E$ が内側、 $E$ を含む4面について $P$ が内側にあることが、それぞれの面の方程式に代入して確かめられる）。凸な立体を平面で切ると、切られた面1つにつき切り口の辺が1本できるので、八角形になることと8面すべてが切られることは同じである。

$g (x, y, z) = x - z - 1$ とおくと、 $α$ は $g = 0$ である。6頂点での値は

g (A) = 1, g (B) = - 1, g (C) = - 3, g (D) = - 1, g (E) = 1, g (P) = p - 3

である。 $A$ と $E$ は正、 $B, C, D$ は負で、 $P$ の符号だけが $p$ で変わる。

$p > 3$ のとき：正の頂点は $A, E, P$ 、負は $B, C, D$ 。8面 $PAB, PBC, PCD, PDA, EAB, EBC, ECD, EDA$ はどれも正と負の頂点をもつので、すべて切られる。
$p < 3$ のとき：正は $A, E$ だけ。面 $PBC$ と $PCD$ は3頂点とも負なので切られず、切り口は六角形にしかならない。
$p = 3$ のとき： $P$ が $α$ 上にあり、 $PBC$ 、 $PCD$ との交わりは点 $P$ だけになる。切り口は $P$ を頂点とする六角形で、八角形ではない。

よって求める範囲は $3 < p < 4$ である。

八面体を「上の角錐 $x - \frac{p z}{2} + ∣ y ∣ \leq 2 - z$ 」と「下の角錐 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2 + z$ 」として実装し、8面それぞれで $x - z - 1$ の符号を調べると、 $p = 2.2, 2.5, 2.9, 3.0$ では切られる面が $6$ 、 $p = 3.001, 3.2, 3.6, 3.9$ では $8$ になる。境目が $p = 3$ であることと合う。

「切り口の辺の本数＝切られる面の数」が使えるのは立体が凸なときである。 $2 < p < 4$ で凸であることを確かめておく（ $p \geq 4$ では $P$ が面 $EAB$ の外側に出てしまう）。

(3)切り口のうち $y \geq 0$ 、 $z \geq 0$ の部分を点 $(x, y, z)$ が動くとき、点 $(y, z)$ が動く範囲の面積を求める

答 $\frac{7 p - 18}{p ( p - 2 )}$

$α$ の上では $x = z + 1$ なので、 $(y, z)$ を決めれば点が1つに決まる。つまり $(y, z)$ 平面に写す対応は1対1で、面積はそのまま $(y, z)$ の条件から出る。 $z \geq 0$ の部分は上の角錐だけなので、角錐を不等式で書き下して $x = z + 1$ を代入すればよい。

上の角錐を不等式で書く。 頂点 $P (p, 0, 2)$ と底面の正方形 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ （ $z = 0$ ）を結ぶ角錐の点は、底面の点 $(s, w, 0)$ と $P$ を $t : (1 - t)$ に内分して

(x, y, z) = ((1 - t) s + tp, (1 - t) w, 2 t) (0 \leq t \leq 1)

と書ける。 $t = \frac{z}{2}$ で、 $s = \frac{x - tp}{1 - t}$ 、 $w = \frac{y}{1 - t}$ だから、 $∣ s ∣ + ∣ w ∣ \leq 2$ は

x - \frac{p z}{2} + ∣ y ∣ \leq 2 - z (0 \leq z \leq 2)

となる。 $z \geq 0$ の部分では下の角錐（ $- 2 \leq z \leq 0$ ）は面積に効かないので、これだけを考えればよい。

$α$ を代入する。 $x = z + 1$ を入れ、 $k = \frac{p}{2} - 1$ とおくと

x - \frac{p z}{2} = z + 1 - \frac{p z}{2} = 1 - k z

なので、求める範囲は $(y, z)$ 平面上で

∣ 1 - k z ∣ + y \leq 2 - z, y \geq 0, z \geq 0

である。 $3 < p < 4$ より $\frac{1}{2} < k < 1$ である。 $G (z) = 2 - z - ∣ 1 - k z ∣$ とおくと、面積は $\int G (z) d z$ （ $G > 0$ の範囲）になる。

$0 \leq z \leq \frac{1}{k}$ ： $G (z) = 2 - z - (1 - k z) = 1 + (k - 1) z$ 。 $k < 1$ なので減少し、 $z = \frac{1}{k}$ での値は $\frac{2 k - 1}{k} > 0$ 。
$\frac{1}{k} \leq z$ ： $G (z) = 2 - z - (k z - 1) = 3 - (1 + k) z$ 。 $z = \frac{3}{1 + k}$ で $0$ になる。 $\frac{1}{2} < k$ より $\frac{1}{k} < \frac{3}{1 + k}$ 。

よって面積は

\int_{0}^{\frac{1}{k}} {1 + (k - 1) z} d z + \int_{\frac{1}{k}}^{\frac{3}{1 + k}} {3 - (1 + k) z} d z

である。前半は

[z + \frac{( k - 1 ) z ^{2}}{2}]_{0}^{\frac{1}{k}} = \frac{1}{k} + \frac{k - 1}{2 k ^{2}} = \frac{3 k - 1}{2 k ^{2}}

で、後半は高さ $\frac{2 k - 1}{k}$ 、底辺 $\frac{3}{1 + k} - \frac{1}{k} = \frac{2 k - 1}{k ( 1 + k )}$ の三角形だから

\frac{1}{2} \cdot \frac{2 k - 1}{k ( 1 + k )} \cdot \frac{2 k - 1}{k} = \frac{( 2 k - 1 ) ^{2}}{2 k ^{2} ( 1 + k )}

である。足すと

\frac{( 3 k - 1 ) ( 1 + k ) + ( 2 k - 1 ) ^{2}}{2 k ^{2} ( 1 + k )} = \frac{( 3 k ^{2} + 2 k - 1 ) + ( 4 k ^{2} - 4 k + 1 )}{2 k ^{2} ( 1 + k )} = \frac{7 k ^{2} - 2 k}{2 k ^{2} ( 1 + k )} = \frac{7 k - 2}{2 k ( 1 + k )}

となる。 $k = \frac{p - 2}{2}$ を戻すと

7 k - 2 = \frac{7 p - 18}{2}, 2 k (1 + k) = (p - 2) \cdot \frac{p}{2} = \frac{p ( p - 2 )}{2}

なので、求める面積は

\frac{7 p - 18}{p ( p - 2 )}

である。

$p = 4$ の極限では $k = 1$ で $\frac{7 - 2}{2 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{5}{4}$ 、 $p = 3$ では $k = \frac{1}{2}$ で $\frac{3.5 - 2}{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}} = 1$ となる。 $(y, z)$ 平面を $3000 \times 3000$ の格子で数えると $p = 3.2$ で $1.14583$ 、 $p = 3.5$ で $1.23824$ 、 $p = 3.9$ で $1.25509$ となり、式の値 $1.14583$ 、 $1.23810$ 、 $1.25506$ と一致する。