第2問図形と方程式・微分法の解答・解説

三角形の面積・条件つきの最大最小・3次関数の増減・定義域の確認当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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$\frac{DR}{AQ}$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{64}{81}$ 、最小値 $\frac{2}{3}$

$A$ を原点にとって座標を入れると、 $P, Q, R$ は1つずつの変数で書ける。2つの面積条件から変数が1つに減り、 $\frac{DR}{AQ}$ は1変数の式になる。 $\frac{1}{AQ}$ を変数にとると3次式になって扱いやすい。定義域（各点が辺の上にあること）を落とさないことが要点。

$A (0, 0)$ 、 $B (1, 0)$ 、 $C (1, 1)$ 、 $D (0, 1)$ とおく。 $P (p, 0)$ 、 $Q (0, q)$ 、 $R (r, 1)$ （ $0 \leq p, q, r \leq 1$ ）と書くと $AQ = q$ 、 $DR = r$ である。

2つの面積条件。 $△ APQ = \frac{1}{2} pq = \frac{1}{3}$ より

pq = \frac{2}{3}

である。 $△ PQR$ は $PQ = (- p, q)$ 、 $PR = (r - p, 1)$ から

△ PQR = \frac{1}{2} ∣ (- p) \cdot 1 - q (r - p) ∣ = \frac{1}{2} ∣ p + q r - pq ∣

となる。 $q \leq 1$ より $p \geq pq = \frac{2}{3}$ で、 $p + q r - pq \geq q r \geq 0$ だから絶対値は外れる。 $pq = \frac{2}{3}$ とあわせて $\frac{1}{2} (p + q r - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3}$ 、すなわち

p + q r = \frac{4}{3}

である。

1変数にする。 $p = \frac{2}{3 q}$ を代入して

q r = \frac{4}{3} - \frac{2}{3 q}, r = \frac{4}{3 q} - \frac{2}{3 q ^{2}}

となる。 $u = \frac{1}{q}$ とおくと

\frac{DR}{AQ} = \frac{r}{q} = \frac{4}{3 q ^{2}} - \frac{2}{3 q ^{3}} = \frac{4}{3} u^{2} - \frac{2}{3} u^{3} = \frac{2}{3} u^{2} (2 - u)

である。

$u$ の範囲。 $0 \leq p \leq 1$ から $\frac{2}{3 q} \leq 1$ 、すなわち $q \geq \frac{2}{3}$ 。 $q \leq 1$ とあわせて $\frac{2}{3} \leq q \leq 1$ 、つまり $1 \leq u \leq \frac{3}{2}$ である。このとき $r = \frac{2}{3} u (2 - u)$ は $u = 1$ で $\frac{2}{3}$ 、 $u = \frac{3}{2}$ で $\frac{1}{2}$ となり、間でも $\frac{1}{2} \leq r \leq \frac{2}{3}$ なので $0 \leq r \leq 1$ は自動的にみたされる。

増減。 $g (u) = \frac{4}{3} u^{2} - \frac{2}{3} u^{3}$ とおくと

g^{'} (u) = \frac{8}{3} u - 2 u^{2} = 2 u (\frac{4}{3} - u)

で、 $1 \leq u \leq \frac{3}{2}$ では $u > 0$ だから符号は $\frac{4}{3} - u$ で決まり、 $u < \frac{4}{3}$ で正、 $u > \frac{4}{3}$ で負である。よって $g$ は $u = \frac{4}{3}$ で最大になり

g (\frac{4}{3}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9} \cdot (2 - \frac{4}{3}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{64}{81}

である。両端は

g (1) = \frac{2}{3}, g (\frac{3}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}

で、小さいほうは $g (1) = \frac{2}{3}$ である。したがって最大値 $\frac{64}{81}$ （ $q = \frac{3}{4}$ のとき）、最小値 $\frac{2}{3}$ （ $q = 1$ のとき）となる。

最大になるとき（

AQ = \frac{3}{4}

）の配置。

P (\frac{8}{9}, 0)

、

Q (0, \frac{3}{4})

、

R (\frac{16}{27}, 1)

で、

△ APQ

と

△ PQR

の面積はどちらも

\frac{1}{3}

。

$q = \frac{3}{4}$ のとき $p = \frac{2}{3 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{8}{9}$ 、 $r = \frac{16}{27}$ で、 $△ APQ = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{3}$ 、 $△ PQR = \frac{1}{2} (\frac{8}{9} + \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{27} - \frac{2}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ となる。 $\frac{r}{q} = \frac{16/27}{3/4} = \frac{64}{81}$ である。 $q$ を $40$ 万等分した全探索でも、最大 $0.7901235$ 、最小 $0.6666667$ が得られた。