第4問整数の解答・解説

ユークリッドの互除法・平方数・4で割った余り・背理法当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $n^{2} + 1$ と $5 n^{2} + 9$ の最大公約数 $d_{n}$ を求める

答 $n$ が偶数のとき $d_{n} = 1$ 、 $n$ が奇数のとき $d_{n} = 2$

互除法の要領で、 $5 (n^{2} + 1)$ を引いて差を小さくする。残るのは定数 $4$ なので、 $d_{n}$ は $4$ の約数に限られる。あとは $n^{2} + 1$ が $2$ や $4$ で割り切れるかを $n$ の偶奇で見る。

$(5 n^{2} + 9) - 5 (n^{2} + 1) = 4$ である。 $d_{n}$ は $n^{2} + 1$ と $5 n^{2} + 9$ の公約数だから、この差 $4$ の約数でもある。よって $d_{n}$ は $1, 2, 4$ のいずれかである。

$n$ が偶数のとき： $n^{2} + 1$ は奇数なので、 $d_{n}$ は奇数。よって $d_{n} = 1$ 。
$n$ が奇数のとき： $n^{2}$ を $8$ で割った余りは $1$ なので $n^{2} + 1$ を $4$ で割った余りは $2$ 。したがって $n^{2} + 1$ は $2$ で割り切れるが $4$ では割り切れない。 $5 n^{2} + 9$ も $5 + 9 = 14$ より偶数なので、 $d_{n} = 2$ 。

以上より、 $d_{n}$ は $n$ が偶数のとき $1$ 、奇数のとき $2$ である。

$n = 1$ ： $2$ と $14$ の最大公約数は $2$ 。 $n = 2$ ： $5$ と $29$ で $1$ 。 $n = 3$ ： $10$ と $54$ で $2$ 。 $n = 4$ ： $17$ と $89$ で $1$ 。たしかに偶奇で分かれる。

(2) $(n^{2} + 1) (5 n^{2} + 9)$ が整数の2乗にならないことを示す

答 $n$ が偶数なら $n^{2} + 1$ が平方数でないことから、奇数なら $\frac{5 n ^{2} + 9}{2}$ を $4$ で割った余りが $3$ であることから従う

互いに素な2数の積が平方数なら、それぞれが平方数になる。(1) で最大公約数が分かっているので、偶数のときはそのまま使える。奇数のときは共通因数 $2$ をくくり出してから同じ理屈を使い、残った因子が $4$ で割って $3$ 余ることを示す。平方数を $4$ で割った余りは $0$ か $1$ しかない。

$n$ が偶数のとき。 (1) より $n^{2} + 1$ と $5 n^{2} + 9$ は互いに素である。互いに素な正の整数の積が平方数なら、それぞれが平方数でなければならない。ところが $n \geq 1$ のとき

n^{2} < n^{2} + 1 < (n + 1)^{2}

なので $n^{2} + 1$ は連続する2つの平方数の間にあり、平方数ではない。よって積も平方数ではない。

$n$ が奇数のとき。 $A = \frac{n ^{2} + 1}{2}$ 、 $B = \frac{5 n ^{2} + 9}{2}$ とおく。(1) の議論から $n^{2} + 1$ も $5 n^{2} + 9$ も $2$ で割り切れるので $A, B$ は整数で、最大公約数が $2$ だったから $A$ と $B$ は互いに素である。積は

(n^{2} + 1) (5 n^{2} + 9) = 4 A B

なので、これが平方数であることと $A B$ が平方数であることは同じである。 $A, B$ は互いに素だから、 $A B$ が平方数なら $B$ も平方数になる。

ところが $n$ は奇数なので $n^{2}$ を $8$ で割った余りは $1$ で、 $5 n^{2} + 9$ を $8$ で割った余りは $5 + 9 = 14$ すなわち $6$ である。したがって

B = \frac{5 n ^{2} + 9}{2} を 4 で割った余りは 3

である。整数の2乗を $4$ で割った余りは $0$ か $1$ しかないので、 $B$ は平方数ではない。よって $A B$ も平方数でなく、もとの積も平方数ではない。

以上より、どの $n$ についても $(n^{2} + 1) (5 n^{2} + 9)$ は整数の2乗にならない。

$n = 1$ なら $2 \cdot 14 = 28$ で、 $5^{2} = 25 < 28 < 36 = 6^{2}$ 。 $n = 7$ なら $50 \cdot 254 = 12700$ で、 $11 2^{2} = 12544 < 12700 < 12769 = 11 3^{2}$ 。 $1 \leq n \leq 200000$ を多倍長整数で全部調べても、平方数になるものは1つもなかった。