独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全6問・無料

東京大学　2019年度　前期日程　理科

東大理系 2019年度数学の解答・解説

全6問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　積分法

置換積分・部分積分・分数関数の積分・展開して分ける当サイトの体感難易度：標準

$\int_{0}^{1} (x^{2} + \frac{x}{1 + x ^{2}}) (1 + \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{2}}) d x$ を求める

答 $\frac{5 2}{2} + \frac{π}{8} - \frac{35}{12}$

$t = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ とおくと $t^{'} = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}$ となり、2つめの括弧はちょうど $1 + x t^{'}$ と書ける。そこで展開して4つの積分に分ければ、どれも基本の形（多項式、 $\frac{x}{1 + x ^{2}}$ 型、 $\frac{x ^{3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}}$ 型、 $\frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}}$ 型）に落ちる。

$t = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ とおく。商の微分で

t^{'} = \frac{1 + x ^{2} - x \cdot \frac{x}{1 + x ^{2}}}{1 + x ^{2}} = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

となるので、被積分関数は $(x^{2} + t) (1 + x t^{'})$ である。展開して

(x^{2} + t) (1 + x t^{'}) = x^{2} + t + x^{3} t^{'} + x t t^{'}

の4つを順に積分する。

\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}

であり、

\int_{0}^{1} t d x = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = [1 + x^{2}]_{0}^{1} = 2 - 1

である。3つめは $s = 1 + x^{2}$ （ $d s = 2 x d x$ ）と置換して

\int_{0}^{1} \frac{x ^{3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{s - 1}{s ^{\frac{3}{2}}} d s = [s + \frac{1}{s}]_{1}^{2} = \frac{3 2}{2} - 2

となる（ $2 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{3 2}{2}$ ）。4つめは $t t^{'} = (\frac{t ^{2}}{2})^{'}$ を使って部分積分する。 $t^{2} = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}}$ だから

\int_{0}^{1} x (\frac{t ^{2}}{2})^{'} d x = [\frac{x t ^{2}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{2} d x = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x

である。 $\frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} = 1 - \frac{1}{1 + x ^{2}}$ と直すと、 $x = tan θ$ の置換で

\int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x = 1 - \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = 1 - \frac{π}{4}

なので、4つめは $\frac{1}{4} - \frac{1}{2} (1 - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{4} + \frac{π}{8}$ である。以上を足すと

\frac{1}{3} + (2 - 1) + (\frac{3 2}{2} - 2) + (- \frac{1}{4} + \frac{π}{8}) = (\frac{1}{3} - 1 - 2 - \frac{1}{4}) + (1 + \frac{3}{2}) 2 + \frac{π}{8} = - \frac{35}{12} + \frac{5 2}{2} + \frac{π}{8}

となる。

$\frac{5 2}{2} = 3.53553$ 、 $\frac{π}{8} = 0.39270$ 、 $\frac{35}{12} = 2.91667$ で、合わせて $1.01157$ 。被積分関数をそのままシンプソン法で $0$ から $1$ まで数値積分すると $1.0115663210$ となり、小数10桁まで一致する。

$\frac{x}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{2}} = \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}$ と書き直すところから始める。 $(\frac{x}{1 + x ^{2}})^{'} = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}$ に気づけば、2つめの括弧の正体が見える。

展開して4つに分けると、どれも定石どおりの積分になる。まとめたまま原始関数を探そうとすると行き詰まる。

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第2問　図形と方程式・微分法

三角形の面積・条件つきの最大最小・3次関数の増減・定義域の確認当サイトの体感難易度：標準

$\frac{DR}{AQ}$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{64}{81}$ 、最小値 $\frac{2}{3}$

$A$ を原点にとって座標を入れると、 $P, Q, R$ は1つずつの変数で書ける。2つの面積条件から変数が1つに減り、 $\frac{DR}{AQ}$ は1変数の式になる。 $\frac{1}{AQ}$ を変数にとると3次式になって扱いやすい。定義域（各点が辺の上にあること）を落とさないことが要点。

$A (0, 0)$ 、 $B (1, 0)$ 、 $C (1, 1)$ 、 $D (0, 1)$ とおく。 $P (p, 0)$ 、 $Q (0, q)$ 、 $R (r, 1)$ （ $0 \leq p, q, r \leq 1$ ）と書くと $AQ = q$ 、 $DR = r$ である。

2つの面積条件。 $△ APQ = \frac{1}{2} pq = \frac{1}{3}$ より

pq = \frac{2}{3}

である。 $△ PQR$ は $PQ = (- p, q)$ 、 $PR = (r - p, 1)$ から

△ PQR = \frac{1}{2} ∣ (- p) \cdot 1 - q (r - p) ∣ = \frac{1}{2} ∣ p + q r - pq ∣

となる。 $q \leq 1$ より $p \geq pq = \frac{2}{3}$ で、 $p + q r - pq \geq q r \geq 0$ だから絶対値は外れる。 $pq = \frac{2}{3}$ とあわせて $\frac{1}{2} (p + q r - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3}$ 、すなわち

p + q r = \frac{4}{3}

である。

1変数にする。 $p = \frac{2}{3 q}$ を代入して

q r = \frac{4}{3} - \frac{2}{3 q}, r = \frac{4}{3 q} - \frac{2}{3 q ^{2}}

となる。 $u = \frac{1}{q}$ とおくと

\frac{DR}{AQ} = \frac{r}{q} = \frac{4}{3 q ^{2}} - \frac{2}{3 q ^{3}} = \frac{4}{3} u^{2} - \frac{2}{3} u^{3} = \frac{2}{3} u^{2} (2 - u)

である。

$u$ の範囲。 $0 \leq p \leq 1$ から $\frac{2}{3 q} \leq 1$ 、すなわち $q \geq \frac{2}{3}$ 。 $q \leq 1$ とあわせて $\frac{2}{3} \leq q \leq 1$ 、つまり $1 \leq u \leq \frac{3}{2}$ である。このとき $r = \frac{2}{3} u (2 - u)$ は $u = 1$ で $\frac{2}{3}$ 、 $u = \frac{3}{2}$ で $\frac{1}{2}$ となり、間でも $\frac{1}{2} \leq r \leq \frac{2}{3}$ なので $0 \leq r \leq 1$ は自動的にみたされる。

増減。 $g (u) = \frac{4}{3} u^{2} - \frac{2}{3} u^{3}$ とおくと

g^{'} (u) = \frac{8}{3} u - 2 u^{2} = 2 u (\frac{4}{3} - u)

で、 $1 \leq u \leq \frac{3}{2}$ では $u > 0$ だから符号は $\frac{4}{3} - u$ で決まり、 $u < \frac{4}{3}$ で正、 $u > \frac{4}{3}$ で負である。よって $g$ は $u = \frac{4}{3}$ で最大になり

g (\frac{4}{3}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9} \cdot (2 - \frac{4}{3}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{64}{81}

である。両端は

g (1) = \frac{2}{3}, g (\frac{3}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}

で、小さいほうは $g (1) = \frac{2}{3}$ である。したがって最大値 $\frac{64}{81}$ （ $q = \frac{3}{4}$ のとき）、最小値 $\frac{2}{3}$ （ $q = 1$ のとき）となる。

最大になるとき（

AQ = \frac{3}{4}

）の配置。

P (\frac{8}{9}, 0)

、

Q (0, \frac{3}{4})

、

R (\frac{16}{27}, 1)

で、

△ APQ

と

△ PQR

の面積はどちらも

\frac{1}{3}

。

$q = \frac{3}{4}$ のとき $p = \frac{2}{3 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{8}{9}$ 、 $r = \frac{16}{27}$ で、 $△ APQ = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{3}$ 、 $△ PQR = \frac{1}{2} (\frac{8}{9} + \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{27} - \frac{2}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ となる。 $\frac{r}{q} = \frac{16/27}{3/4} = \frac{64}{81}$ である。 $q$ を $40$ 万等分した全探索でも、最大 $0.7901235$ 、最小 $0.6666667$ が得られた。

$△ PQR$ の絶対値を外すとき、 $p \geq pq = \frac{2}{3}$ から中身が正であることを確かめておく。符号を決めずに外すと式が変わる。

$u = \frac{1}{q}$ の範囲は $1 \leq u \leq \frac{3}{2}$ である。 $g$ の極大を与える $u = \frac{4}{3}$ がこの範囲に入っていることが効いている。

$r$ が $0$ から $1$ の中にあることも確かめる。この問題では自動的にみたされるが、確かめずに進むと定義域を見落としたことになる。

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第3問　空間図形

平面の方程式・立体の切り口・錐の断面・領域の面積当サイトの体感難易度：難

(1)八面体 $PABCDE$ の平面 $y = 0$ による切り口と、平面 $α$ の平面 $y = 0$ による切り口を図示する

答八面体の切り口は4点 $P (p, 2)$ 、 $A (2, 0)$ 、 $E (0, - 2)$ 、 $C (- 2, 0)$ を頂点とする四角形（ $x z$ 平面で見たもの）、 $α$ の切り口は直線 $z = x - 1$

$α$ は $M, N$ を通り $AE$ に平行なので、法線は $MN$ と $AE$ の両方に垂直なベクトルとして求まる。八面体のほうは、正方形 $ABCD$ を底面として $P$ を頂点とする角錐と $E$ を頂点とする角錐の和だから、 $y = 0$ で切ると $AC$ を共通の底辺とする2つの三角形になる。

$M$ は $AB$ の中点で $(1, 1, 0)$ 、 $N$ は $AD$ の中点で $(1, - 1, 0)$ である。 $MN = (0, - 2, 0)$ 、 $AE = (- 2, 0, - 2)$ だから、両方に垂直なベクトルとして $(1, 0, - 1)$ がとれる。 $M (1, 1, 0)$ を通るので

α : (x - 1) - z = 0, すなわち x - z = 1

である。 $N$ も $1 - 0 = 1$ をみたす。 $y = 0$ で切ると直線 $z = x - 1$ になる。

八面体 $PABCDE$ は、正方形 $ABCD$ （ $z = 0$ 上の $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ ）を底面として、 $P$ を頂点とする角錐と $E$ を頂点とする角錐を貼り合わせたものである。 $y = 0$ で切ると、底面の切り口は線分 $AC$ （ $- 2 \leq x \leq 2$ 、 $z = 0$ ）で、 $P$ も $E$ も $y = 0$ 上にあるから、切り口は三角形 $PAC$ と三角形 $EAC$ を合わせた四角形になる。

p = 3.5

のときの平面

y = 0

による切り口。四角形が八面体の切り口（横軸

x

、縦軸

z

）、斜めの直線が平面

α

の切り口

z = x - 1

。

α

は辺

AE

と平行なので、この直線も

AE

と平行になる。

$α$ の法線 $(1, 0, - 1)$ は $AE = (- 2, 0, - 2)$ との内積が $- 2 + 2 = 0$ で、たしかに $AE$ と平行である。 $M (1, 1, 0)$ 、 $N (1, - 1, 0)$ はどちらも $x - z = 1$ をみたす。

$P$ は $z$ 軸の上にはない（ $x$ 座標が $p > 2$ ）。四角形が左右対称にならないので、図は $P$ を右に寄せて描く。

(2)八面体の平面 $α$ による切り口が八角形となる $p$ の範囲を求める

答 $3 < p < 4$

切り口が八角形になるのは、8つの面がすべて切られるときである。面が切られるかどうかは、その3頂点が $α$ の両側に分かれるかどうかで決まる。各頂点で $x - z - 1$ の符号を調べれば、 $P$ だけが $p$ によって符号を変えることが分かる。

$2 < p < 4$ では八面体は凸である（頂点 $P$ を含む4面について $E$ が内側、 $E$ を含む4面について $P$ が内側にあることが、それぞれの面の方程式に代入して確かめられる）。凸な立体を平面で切ると、切られた面1つにつき切り口の辺が1本できるので、八角形になることと8面すべてが切られることは同じである。

$g (x, y, z) = x - z - 1$ とおくと、 $α$ は $g = 0$ である。6頂点での値は

g (A) = 1, g (B) = - 1, g (C) = - 3, g (D) = - 1, g (E) = 1, g (P) = p - 3

である。 $A$ と $E$ は正、 $B, C, D$ は負で、 $P$ の符号だけが $p$ で変わる。

$p > 3$ のとき：正の頂点は $A, E, P$ 、負は $B, C, D$ 。8面 $PAB, PBC, PCD, PDA, EAB, EBC, ECD, EDA$ はどれも正と負の頂点をもつので、すべて切られる。
$p < 3$ のとき：正は $A, E$ だけ。面 $PBC$ と $PCD$ は3頂点とも負なので切られず、切り口は六角形にしかならない。
$p = 3$ のとき： $P$ が $α$ 上にあり、 $PBC$ 、 $PCD$ との交わりは点 $P$ だけになる。切り口は $P$ を頂点とする六角形で、八角形ではない。

よって求める範囲は $3 < p < 4$ である。

八面体を「上の角錐 $x - \frac{p z}{2} + ∣ y ∣ \leq 2 - z$ 」と「下の角錐 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2 + z$ 」として実装し、8面それぞれで $x - z - 1$ の符号を調べると、 $p = 2.2, 2.5, 2.9, 3.0$ では切られる面が $6$ 、 $p = 3.001, 3.2, 3.6, 3.9$ では $8$ になる。境目が $p = 3$ であることと合う。

「切り口の辺の本数＝切られる面の数」が使えるのは立体が凸なときである。 $2 < p < 4$ で凸であることを確かめておく（ $p \geq 4$ では $P$ が面 $EAB$ の外側に出てしまう）。

(3)切り口のうち $y \geq 0$ 、 $z \geq 0$ の部分を点 $(x, y, z)$ が動くとき、点 $(y, z)$ が動く範囲の面積を求める

答 $\frac{7 p - 18}{p ( p - 2 )}$

$α$ の上では $x = z + 1$ なので、 $(y, z)$ を決めれば点が1つに決まる。つまり $(y, z)$ 平面に写す対応は1対1で、面積はそのまま $(y, z)$ の条件から出る。 $z \geq 0$ の部分は上の角錐だけなので、角錐を不等式で書き下して $x = z + 1$ を代入すればよい。

上の角錐を不等式で書く。 頂点 $P (p, 0, 2)$ と底面の正方形 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ （ $z = 0$ ）を結ぶ角錐の点は、底面の点 $(s, w, 0)$ と $P$ を $t : (1 - t)$ に内分して

(x, y, z) = ((1 - t) s + tp, (1 - t) w, 2 t) (0 \leq t \leq 1)

と書ける。 $t = \frac{z}{2}$ で、 $s = \frac{x - tp}{1 - t}$ 、 $w = \frac{y}{1 - t}$ だから、 $∣ s ∣ + ∣ w ∣ \leq 2$ は

x - \frac{p z}{2} + ∣ y ∣ \leq 2 - z (0 \leq z \leq 2)

となる。 $z \geq 0$ の部分では下の角錐（ $- 2 \leq z \leq 0$ ）は面積に効かないので、これだけを考えればよい。

$α$ を代入する。 $x = z + 1$ を入れ、 $k = \frac{p}{2} - 1$ とおくと

x - \frac{p z}{2} = z + 1 - \frac{p z}{2} = 1 - k z

なので、求める範囲は $(y, z)$ 平面上で

∣ 1 - k z ∣ + y \leq 2 - z, y \geq 0, z \geq 0

である。 $3 < p < 4$ より $\frac{1}{2} < k < 1$ である。 $G (z) = 2 - z - ∣ 1 - k z ∣$ とおくと、面積は $\int G (z) d z$ （ $G > 0$ の範囲）になる。

$0 \leq z \leq \frac{1}{k}$ ： $G (z) = 2 - z - (1 - k z) = 1 + (k - 1) z$ 。 $k < 1$ なので減少し、 $z = \frac{1}{k}$ での値は $\frac{2 k - 1}{k} > 0$ 。
$\frac{1}{k} \leq z$ ： $G (z) = 2 - z - (k z - 1) = 3 - (1 + k) z$ 。 $z = \frac{3}{1 + k}$ で $0$ になる。 $\frac{1}{2} < k$ より $\frac{1}{k} < \frac{3}{1 + k}$ 。

よって面積は

\int_{0}^{\frac{1}{k}} {1 + (k - 1) z} d z + \int_{\frac{1}{k}}^{\frac{3}{1 + k}} {3 - (1 + k) z} d z

である。前半は

[z + \frac{( k - 1 ) z ^{2}}{2}]_{0}^{\frac{1}{k}} = \frac{1}{k} + \frac{k - 1}{2 k ^{2}} = \frac{3 k - 1}{2 k ^{2}}

で、後半は高さ $\frac{2 k - 1}{k}$ 、底辺 $\frac{3}{1 + k} - \frac{1}{k} = \frac{2 k - 1}{k ( 1 + k )}$ の三角形だから

\frac{1}{2} \cdot \frac{2 k - 1}{k ( 1 + k )} \cdot \frac{2 k - 1}{k} = \frac{( 2 k - 1 ) ^{2}}{2 k ^{2} ( 1 + k )}

である。足すと

\frac{( 3 k - 1 ) ( 1 + k ) + ( 2 k - 1 ) ^{2}}{2 k ^{2} ( 1 + k )} = \frac{( 3 k ^{2} + 2 k - 1 ) + ( 4 k ^{2} - 4 k + 1 )}{2 k ^{2} ( 1 + k )} = \frac{7 k ^{2} - 2 k}{2 k ^{2} ( 1 + k )} = \frac{7 k - 2}{2 k ( 1 + k )}

となる。 $k = \frac{p - 2}{2}$ を戻すと

7 k - 2 = \frac{7 p - 18}{2}, 2 k (1 + k) = (p - 2) \cdot \frac{p}{2} = \frac{p ( p - 2 )}{2}

なので、求める面積は

\frac{7 p - 18}{p ( p - 2 )}

である。

$p = 4$ の極限では $k = 1$ で $\frac{7 - 2}{2 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{5}{4}$ 、 $p = 3$ では $k = \frac{1}{2}$ で $\frac{3.5 - 2}{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}} = 1$ となる。 $(y, z)$ 平面を $3000 \times 3000$ の格子で数えると $p = 3.2$ で $1.14583$ 、 $p = 3.5$ で $1.23824$ 、 $p = 3.9$ で $1.25509$ となり、式の値 $1.14583$ 、 $1.23810$ 、 $1.25506$ と一致する。

$α$ の上では $x$ が $z$ で決まるので、 $(y, z)$ への写像は面積を変えない1対1の対応である。射影で面積が縮むのでは、と悩む必要はない（ただし「 $(y, z)$ の動く範囲」を問われているので、そもそも $α$ 上の面積ではない）。

$z \geq 0$ の条件から上の角錐だけを考えればよい。下の角錐は $z \leq 0$ なので、 $(y, z)$ 平面では面積に寄与しない。

$∣ 1 - k z ∣$ の場合分けの境目 $z = \frac{1}{k}$ が、 $G$ が $0$ になる $z = \frac{3}{1 + k}$ より左にあることを確かめる。 $k > \frac{1}{2}$ 、つまり $p > 3$ が効いている。

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第4問　整数

ユークリッドの互除法・平方数・4で割った余り・背理法当サイトの体感難易度：やや難

(1) $n^{2} + 1$ と $5 n^{2} + 9$ の最大公約数 $d_{n}$ を求める

答 $n$ が偶数のとき $d_{n} = 1$ 、 $n$ が奇数のとき $d_{n} = 2$

互除法の要領で、 $5 (n^{2} + 1)$ を引いて差を小さくする。残るのは定数 $4$ なので、 $d_{n}$ は $4$ の約数に限られる。あとは $n^{2} + 1$ が $2$ や $4$ で割り切れるかを $n$ の偶奇で見る。

$(5 n^{2} + 9) - 5 (n^{2} + 1) = 4$ である。 $d_{n}$ は $n^{2} + 1$ と $5 n^{2} + 9$ の公約数だから、この差 $4$ の約数でもある。よって $d_{n}$ は $1, 2, 4$ のいずれかである。

$n$ が偶数のとき： $n^{2} + 1$ は奇数なので、 $d_{n}$ は奇数。よって $d_{n} = 1$ 。
$n$ が奇数のとき： $n^{2}$ を $8$ で割った余りは $1$ なので $n^{2} + 1$ を $4$ で割った余りは $2$ 。したがって $n^{2} + 1$ は $2$ で割り切れるが $4$ では割り切れない。 $5 n^{2} + 9$ も $5 + 9 = 14$ より偶数なので、 $d_{n} = 2$ 。

以上より、 $d_{n}$ は $n$ が偶数のとき $1$ 、奇数のとき $2$ である。

$n = 1$ ： $2$ と $14$ の最大公約数は $2$ 。 $n = 2$ ： $5$ と $29$ で $1$ 。 $n = 3$ ： $10$ と $54$ で $2$ 。 $n = 4$ ： $17$ と $89$ で $1$ 。たしかに偶奇で分かれる。

(2) $(n^{2} + 1) (5 n^{2} + 9)$ が整数の2乗にならないことを示す

答 $n$ が偶数なら $n^{2} + 1$ が平方数でないことから、奇数なら $\frac{5 n ^{2} + 9}{2}$ を $4$ で割った余りが $3$ であることから従う

互いに素な2数の積が平方数なら、それぞれが平方数になる。(1) で最大公約数が分かっているので、偶数のときはそのまま使える。奇数のときは共通因数 $2$ をくくり出してから同じ理屈を使い、残った因子が $4$ で割って $3$ 余ることを示す。平方数を $4$ で割った余りは $0$ か $1$ しかない。

$n$ が偶数のとき。 (1) より $n^{2} + 1$ と $5 n^{2} + 9$ は互いに素である。互いに素な正の整数の積が平方数なら、それぞれが平方数でなければならない。ところが $n \geq 1$ のとき

n^{2} < n^{2} + 1 < (n + 1)^{2}

なので $n^{2} + 1$ は連続する2つの平方数の間にあり、平方数ではない。よって積も平方数ではない。

$n$ が奇数のとき。 $A = \frac{n ^{2} + 1}{2}$ 、 $B = \frac{5 n ^{2} + 9}{2}$ とおく。(1) の議論から $n^{2} + 1$ も $5 n^{2} + 9$ も $2$ で割り切れるので $A, B$ は整数で、最大公約数が $2$ だったから $A$ と $B$ は互いに素である。積は

(n^{2} + 1) (5 n^{2} + 9) = 4 A B

なので、これが平方数であることと $A B$ が平方数であることは同じである。 $A, B$ は互いに素だから、 $A B$ が平方数なら $B$ も平方数になる。

ところが $n$ は奇数なので $n^{2}$ を $8$ で割った余りは $1$ で、 $5 n^{2} + 9$ を $8$ で割った余りは $5 + 9 = 14$ すなわち $6$ である。したがって

B = \frac{5 n ^{2} + 9}{2} を 4 で割った余りは 3

である。整数の2乗を $4$ で割った余りは $0$ か $1$ しかないので、 $B$ は平方数ではない。よって $A B$ も平方数でなく、もとの積も平方数ではない。

以上より、どの $n$ についても $(n^{2} + 1) (5 n^{2} + 9)$ は整数の2乗にならない。

$n = 1$ なら $2 \cdot 14 = 28$ で、 $5^{2} = 25 < 28 < 36 = 6^{2}$ 。 $n = 7$ なら $50 \cdot 254 = 12700$ で、 $11 2^{2} = 12544 < 12700 < 12769 = 11 3^{2}$ 。 $1 \leq n \leq 200000$ を多倍長整数で全部調べても、平方数になるものは1つもなかった。

$n$ が奇数のとき、 $A = \frac{n ^{2} + 1}{2}$ のほうは平方数になりうる（ $n = 1$ で $A = 1$ 、 $n = 7$ で $A = 25$ ）。 $A$ で矛盾を出そうとすると行き詰まるので、 $B$ を見る。

「互いに素な2数の積が平方数ならそれぞれ平方数」は、素因数分解を考えれば分かる。共通の素因数がないので、各素数の指数が片方に固まり、それが偶数でなければならない。

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第5問　極限・微分法

中間値の定理・単調性・数列の極限・微分係数の定義当サイトの体感難易度：やや難

(1) $x^{2 n - 1} = cos x$ がただ1つの実数解 $a_{n}$ をもつことを示す

答解は $0 < x < 1$ にあり、そこで $x^{2 n - 1} - cos x$ は狭義増加

まず解の居場所を絞る。 $∣ x ∣ > 1$ では左辺の絶対値が $1$ を超えるので右辺と釣り合わない。 $- 1 \leq x \leq 1$ では $cos x > 0$ なので左辺も正、つまり $x > 0$ である。残った $0 < x \leq 1$ では、差の導関数が明らかに正になる。

$h (x) = x^{2 n - 1} - cos x$ とおく。

$x > 1$ のとき： $x^{2 n - 1} > 1 \geq cos x$ なので $h (x) > 0$ 、解はない。
$x < - 1$ のとき： $x^{2 n - 1} < - 1 \leq cos x$ なので $h (x) < 0$ 、解はない。
$- 1 \leq x \leq 0$ のとき： $∣ x ∣ \leq 1 < \frac{π}{2}$ より $cos x > 0$ 、いっぽう $x^{2 n - 1} \leq 0$ なので $h (x) < 0$ 、解はない。

よって解は $0 < x \leq 1$ にしかない。この範囲で

h^{'} (x) = (2 n - 1) x^{2 n - 2} + sin x > 0

である（ $x > 0$ かつ $x \leq 1 < π$ なので $sin x > 0$ ）。したがって $h$ は $0 \leq x \leq 1$ で狭義増加である。 $h (0) = - 1 < 0$ 、 $h (1) = 1 - cos 1 > 0$ なので、中間値の定理と狭義増加性から、 $h (x) = 0$ をみたす $x$ は $0 < x < 1$ にただ1つである。

y = x^{2 n - 1}

（

n = 1, 2, 5

）と

y = cos x

。交点は

0 < x < 1

にそれぞれ1つで、

n

が大きいほど右へ寄っていく。

(2) $cos a_{n} > cos 1$ を示す

答 $0 < a_{n} < 1$ と $cos$ の単調減少から直ちに従う

(1) の議論で $a_{n}$ が $0$ と $1$ のあいだにあることがすでに出ている。 $cos$ は $0 \leq x \leq π$ で減少するので、それだけで終わる。

(1) より $h$ は狭義増加で $h (1) = 1 - cos 1 > 0$ 、 $h (a_{n}) = 0$ だから $a_{n} < 1$ である。また $a_{n} > 0$ であった。

$cos x$ は $0 \leq x \leq π$ で狭義減少なので、 $0 < a_{n} < 1 < π$ から $cos a_{n} > cos 1$ が従う。

(3) $a = n \to \infty lim a_{n}$ 、 $b = n \to \infty lim a_{n}^{n}$ 、 $c = n \to \infty lim \frac{a _{n}^{n} - b}{a _{n} - a}$ を求める

答 $a = 1$ 、 $b = cos 1$ 、 $c = \frac{cos 1 - sin 1}{2 cos 1}$

$a_{n}^{2 n - 1} = cos a_{n}$ の両辺に $a_{n}$ を掛けると $a_{n}^{2 n} = a_{n} cos a_{n}$ 、つまり $a_{n}^{n} = a_{n} cos a_{n}$ となる。これで $b$ も $c$ も、 $x$ の関数 $x cos x$ を $x = 1$ の近くで見るだけの話になる。 $c$ はそのまま微分係数の定義の形である。

$a = 1$ 。 (2) より $a_{n}^{2 n - 1} = cos a_{n} > cos 1 > 0$ で、 $0 < a_{n} < 1$ だから

(cos 1)^{\frac{1}{2 n - 1}} < a_{n} < 1

である。 $0 < cos 1 < 1$ なので $(cos 1)^{\frac{1}{2 n - 1}} \to 1$ （ $n \to \infty$ ）であり、はさみうちの原理から $a_{n} \to 1$ 、すなわち $a = 1$ である。

$a_{n}^{n}$ を書き直す。 $a_{n}^{2 n - 1} = cos a_{n}$ の両辺に $a_{n}$ を掛けて

a_{n}^{2 n} = a_{n} cos a_{n}, すなわち a_{n}^{n} = a_{n} cos a_{n}

となる（ $a_{n} > 0$ 、 $cos a_{n} > 0$ なので両辺とも正で、2乗の関係からこう書ける）。

$b$ 。 $a_{n} \to 1$ と連続性から

b = n \to \infty lim a_{n} cos a_{n} = 1 \cdot cos 1 = cos 1

である。

$c$ 。 $g (x) = x cos x$ とおくと $b = g (1)$ 、 $a_{n}^{n} = g (a_{n})$ 、 $a = 1$ なので

\frac{a _{n}^{n} - b}{a _{n} - a} = \frac{g ( a _{n} ) - g ( 1 )}{a _{n} - 1}

である。 $a_{n} \to 1$ かつ $a_{n} \neq = 1$ だから、これは $g$ の $x = 1$ における微分係数に収束する。 $g (x) = x cos x$ を微分すると

g^{'} (x) = \frac{( x cos x ) ^{'}}{2 x cos x} = \frac{cos x - x sin x}{2 x cos x}

なので

c = g^{'} (1) = \frac{cos 1 - sin 1}{2 cos 1}

である。

$n = 1$ では $a_{1} = 0.7390851332$ で $a_{1}^{1} = a_{1} cos a_{1} = 0.7390851332$ 、 $n = 100$ では $a_{100} = 0.9969350$ 、 $a_{100}^{100} = 0.7356731 = a_{100} cos a_{100}$ と、どの $n$ でも小数10桁まで一致する。 $cos 1 = 0.7350526$ へ近づき、 $\frac{a _{n}^{n} - b}{a _{n} - 1}$ は $n = 20000$ で $- 0.20485$ となって $\frac{cos 1 - sin 1}{2 cos 1} = - 0.2048620$ に近づく。

$a_{n}^{n} = a_{n} cos a_{n}$ に気づくかどうかがすべてである。指数が $2 n - 1$ なので、 $a_{n}$ を1つ掛けて $2 n$ にそろえる、という発想になる。

$c$ は微分係数の定義そのものだが、使うには $a_{n} \to 1$ （ $a = 1$ ）と $a_{n} \neq = 1$ の両方が要る。 $a_{n} < 1$ なのでどちらもみたされる。

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第6問　複素数・方程式

解と係数の関係・共役複素数・4次方程式・双曲線当サイトの体感難易度：難

(1) $α, β, γ, δ$ のうちちょうど2つが実数で、残りの2つが互いに共役であることを示す

答4つとも実数、または共役な2組、のどちらでも $α β + γ δ$ が実数になってしまう

係数が実数の方程式なので、解の集合は共役をとる操作で閉じている。4つの解の実数・非実数の内訳は「4つとも実数」「2つ実数＋共役な1組」「共役な2組」の3通りしかない。条件3は $α β + γ δ$ が実数でないことを言っているので、残り2つを潰せばよい。

$z^{4} - 2 z^{3} - 2 a z + b = 0$ の係数は実数なので、解の集合は共役をとっても変わらない。解は相異なる4つだから、内訳は次の3通りしかない。

4つとも実数：このとき $α β + γ δ$ は実数で、虚部が $0$ になり条件3に反する。
非実数が2つ（互いに共役）で実数が2つ：これが残る場合。
非実数が4つ（共役な2組 $u, \overset{u}{ˉ}, v, \overset{v}{ˉ}$ ）： ${α, β}$ の組み方は ${u, \overset{u}{ˉ}}$ 、 ${u, v}$ 、 ${u, \overset{v}{ˉ}}$ の3通り（残りが ${γ, δ}$ ）で、それぞれ $α β + γ δ$ は $∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2}$ 、 $uv + \overline{uv}$ 、 $u \overset{v}{ˉ} + \overline{u \overset{v}{ˉ}}$ となり、どれも実数。やはり条件3に反する。

よって、ちょうど2つが実数で、残りの2つは互いに共役な非実数である。

「非実数が4つ」の場合、 ${α, β}$ の選び方によって $α β + γ δ$ の形が変わるので、3通り全部を見る必要がある。どれも「ある複素数とその共役の和」の形になり実数になる。

(2) $b$ を $a$ で表す

答 $b = - a^{2}$

$z^{2}$ の係数が $0$ であることから、解と係数の関係で $α β + γ δ = - (α + β) (γ + δ)$ が出る。これと条件3を合わせると、実数の組と非実数の組の配り方が2通りに絞られ、どちらでも $b = - a^{2}$ になる。

解と係数の関係より

α + β + γ + δ = 2, 2 つの積 \sum = 0, 3 つの積 \sum = 2 a, α β γ δ = b

である。2つの積の和は

α β + γ δ + (α + β) (γ + δ) = 0

と分けられるので、 $α β + γ δ = - (α + β) (γ + δ)$ である。

(1) より実数解を $r_{1}, r_{2}$ 、非実数解を $u = x + y i$ 、 $\overset{u}{ˉ}$ （ $y \neq = 0$ ）とする。 ${α, β}$ が ${r_{1}, r_{2}}$ だと $α β + γ δ = r_{1} r_{2} + ∣ u ∣^{2}$ が実数で不適なので、 ${α, β}$ は実数1つと非実数1つの組である。 ${α, β} = {r_{1}, u}$ としてよく、このとき

α β + γ δ = r_{1} u + r_{2} \overset{u}{ˉ} = (r_{1} + r_{2}) x + (r_{1} - r_{2}) y i

である。条件3の「実部が $0$ 」は $(r_{1} + r_{2}) x = 0$ 、「虚部が $0$ でない」は $r_{1} \neq = r_{2}$ （これは条件1から成り立つ）である。よって $r_{1} + r_{2} = 0$ または $x = 0$ である。

$r_{1} + r_{2} = 0$ のとき。 4解の和が $2$ なので $2 x = 2$ 、 $x = 1$ 。2つの積の和から

r_{1} r_{2} + (r_{1} + r_{2}) \cdot 2 x + ∣ u ∣^{2} = r_{1} r_{2} + (1 + y^{2}) = 0

となり $r_{1} r_{2} = - (1 + y^{2})$ 。3つの積の和は

r_{1} r_{2} \cdot 2 x + (r_{1} + r_{2}) ∣ u ∣^{2} = - 2 (1 + y^{2}) = 2 a

より $a = - (1 + y^{2})$ 、4つの積は

b = r_{1} r_{2} ∣ u ∣^{2} = - (1 + y^{2})^{2} = - a^{2}

である。

$x = 0$ のとき。 $u = y i$ で、和から $r_{1} + r_{2} = 2$ 。2つの積の和は

r_{1} r_{2} + (r_{1} + r_{2}) \cdot 0 + y^{2} = 0

より $r_{1} r_{2} = - y^{2}$ 。3つの積の和は

r_{1} r_{2} \cdot 0 + (r_{1} + r_{2}) y^{2} = 2 y^{2} = 2 a

より $a = y^{2}$ 、4つの積は $b = r_{1} r_{2} \cdot y^{2} = - y^{4} = - a^{2}$ である。

どちらの場合も $b = - a^{2}$ である。

$r_{1} = 1 + 2$ 、 $r_{2} = 1 - 2$ 、 $u = i$ とすると、和は $2$ 、2つの積の和は $(1 - 2) + 1 = 0$ となり条件2の形に合う。 $a = 1$ 、 $b = - 1 = - a^{2}$ で、 $α β + γ δ = (1 + 2) i + (1 - 2) (- i) = 22 i$ となり条件3もみたす。

${α, β}$ の組み方は問題文の文字の付き方で決まっている。実数どうし・非実数どうしの組だと $α β + γ δ$ が実数になるので、実数と非実数を1つずつ組むしかない。

(3) $α + β$ のとりうる範囲を複素数平面上に図示する

答双曲線 $(x - 1)^{2} - y^{2} = 1$ から2点 $0$ 、 $2$ （頂点）を除いたもの

(2) の2つの場合それぞれで $α + β = r + u$ を書き下す。どちらも $r$ が $\pm 1 + y^{2}$ という形で出てくるので、実部と虚部のあいだに同じ関係式が現れる。

$α + β = r_{1} + u$ である。 $α + β = X + Y i$ とおく。

$r_{1} + r_{2} = 0$ のとき。 $x = 1$ 、 $r_{1} r_{2} = - r_{1}^{2} = - (1 + y^{2})$ より $r_{1} = \pm 1 + y^{2}$ である。よって

X = r_{1} + 1 = 1 \pm 1 + y^{2}, Y = y

となり、 $(X - 1)^{2} = 1 + y^{2} = 1 + Y^{2}$ 、すなわち

(X - 1)^{2} - Y^{2} = 1

が成り立つ。 $y \neq = 0$ だから $Y \neq = 0$ である。

$x = 0$ のとき。 $r_{1}, r_{2}$ は $r_{1} + r_{2} = 2$ 、 $r_{1} r_{2} = - y^{2}$ をみたすので $T^{2} - 2 T - y^{2} = 0$ の解、つまり $r_{1} = 1 \pm 1 + y^{2}$ である。 $u = y i$ なので

X = r_{1} = 1 \pm 1 + y^{2}, Y = y

となり、やはり $(X - 1)^{2} - Y^{2} = 1$ 、 $Y \neq = 0$ である。

逆に $(X - 1)^{2} - Y^{2} = 1$ 、 $Y \neq = 0$ をみたす任意の点に対して、 $y = Y$ 、 $r_{1} = 1 + 1 + y^{2}$ 、 $r_{2} = 1 - 1 + y^{2}$ 、 $u = y i$ （ $x = 0$ の場合）とすれば、4解は相異なり条件1〜3をすべてみたし、 $α + β = X + Y i$ となる。

したがって $α + β$ のとりうる範囲は、双曲線 $(x - 1)^{2} - y^{2} = 1$ から頂点 $(0, 0)$ と $(2, 0)$ （複素数でいえば $0$ と $2$ ）を除いたものである。

α + β

のとりうる範囲。双曲線

(x - 1)^{2} - y^{2} = 1

（中心

(1, 0)

、漸近線

y = \pm (x - 1)

）から2つの頂点

0

と

2

を除いたもの。

$r_{1} = 1 + 2$ 、 $u = i$ の例では $α + β = 1 + 2 + i$ で、 $(2)^{2} - 1^{2} = 1$ をみたす。条件をみたす根の組を2種類の形で $4000$ 通り作って確かめても、 $α + β$ はすべて $(x - 1)^{2} - y^{2} = 1$ の上にあった。

頂点 $0$ と $2$ は $Y = 0$ 、つまり $y = 0$ にあたるが、 $y = 0$ だと $u$ が実数になって (1) に反する。したがってこの2点は除く。

2つの場合（ $r_{1} + r_{2} = 0$ と $x = 0$ ）で $α + β$ が同じ双曲線に乗る。別々の曲線になると思って場合分けを残さない。

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問題文について

∫01​(x2+1+x2​x​)(1+(1+x2)1+x2​x​)dx を求める

AQDR​ の最大値と最小値を求める

(1)八面体 PABCDE の平面 y=0 による切り口と、平面 α の平面 y=0 による切り口を図示する

(2)八面体の平面 α による切り口が八角形となる p の範囲を求める

(3)切り口のうち y≥0、z≥0 の部分を点 (x,y,z) が動くとき、点 (y,z) が動く範囲の面積を求める

(1)n2+1 と 5n2+9 の最大公約数 dn​ を求める

(2)(n2+1)(5n2+9) が整数の2乗にならないことを示す

(1)x2n−1=cosx がただ1つの実数解 an​ をもつことを示す

(2)cosan​>cos1 を示す

(3)a=n→∞lim​an​、b=n→∞lim​ann​、c=n→∞lim​an​−aann​−b​ を求める

(1)α,β,γ,δ のうちちょうど2つが実数で、残りの2つが互いに共役であることを示す

(2)b を a で表す

(3)α+β のとりうる範囲を複素数平面上に図示する

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