第1問積分法の解答・解説

置換積分・部分積分・分数関数の積分・展開して分ける当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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$\int_{0}^{1} (x^{2} + \frac{x}{1 + x ^{2}}) (1 + \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{2}}) d x$ を求める

答 $\frac{5 2}{2} + \frac{π}{8} - \frac{35}{12}$

$t = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ とおくと $t^{'} = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}$ となり、2つめの括弧はちょうど $1 + x t^{'}$ と書ける。そこで展開して4つの積分に分ければ、どれも基本の形（多項式、 $\frac{x}{1 + x ^{2}}$ 型、 $\frac{x ^{3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}}$ 型、 $\frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}}$ 型）に落ちる。

$t = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ とおく。商の微分で

t^{'} = \frac{1 + x ^{2} - x \cdot \frac{x}{1 + x ^{2}}}{1 + x ^{2}} = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

となるので、被積分関数は $(x^{2} + t) (1 + x t^{'})$ である。展開して

(x^{2} + t) (1 + x t^{'}) = x^{2} + t + x^{3} t^{'} + x t t^{'}

の4つを順に積分する。

\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}

であり、

\int_{0}^{1} t d x = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = [1 + x^{2}]_{0}^{1} = 2 - 1

である。3つめは $s = 1 + x^{2}$ （ $d s = 2 x d x$ ）と置換して

\int_{0}^{1} \frac{x ^{3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{s - 1}{s ^{\frac{3}{2}}} d s = [s + \frac{1}{s}]_{1}^{2} = \frac{3 2}{2} - 2

となる（ $2 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{3 2}{2}$ ）。4つめは $t t^{'} = (\frac{t ^{2}}{2})^{'}$ を使って部分積分する。 $t^{2} = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}}$ だから

\int_{0}^{1} x (\frac{t ^{2}}{2})^{'} d x = [\frac{x t ^{2}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{2} d x = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x

である。 $\frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} = 1 - \frac{1}{1 + x ^{2}}$ と直すと、 $x = tan θ$ の置換で

\int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x = 1 - \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = 1 - \frac{π}{4}

なので、4つめは $\frac{1}{4} - \frac{1}{2} (1 - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{4} + \frac{π}{8}$ である。以上を足すと

\frac{1}{3} + (2 - 1) + (\frac{3 2}{2} - 2) + (- \frac{1}{4} + \frac{π}{8}) = (\frac{1}{3} - 1 - 2 - \frac{1}{4}) + (1 + \frac{3}{2}) 2 + \frac{π}{8} = - \frac{35}{12} + \frac{5 2}{2} + \frac{π}{8}

となる。

$\frac{5 2}{2} = 3.53553$ 、 $\frac{π}{8} = 0.39270$ 、 $\frac{35}{12} = 2.91667$ で、合わせて $1.01157$ 。被積分関数をそのままシンプソン法で $0$ から $1$ まで数値積分すると $1.0115663210$ となり、小数10桁まで一致する。

$\frac{x}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{2}} = \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}$ と書き直すところから始める。 $(\frac{x}{1 + x ^{2}})^{'} = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}$ に気づけば、2つめの括弧の正体が見える。