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東京大学　2019年度　前期日程　理科

第6問複素数・方程式の解答・解説

解と係数の関係・共役複素数・4次方程式・双曲線当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1) $α, β, γ, δ$ のうちちょうど2つが実数で、残りの2つが互いに共役であることを示す

答4つとも実数、または共役な2組、のどちらでも $α β + γ δ$ が実数になってしまう

係数が実数の方程式なので、解の集合は共役をとる操作で閉じている。4つの解の実数・非実数の内訳は「4つとも実数」「2つ実数＋共役な1組」「共役な2組」の3通りしかない。条件3は $α β + γ δ$ が実数でないことを言っているので、残り2つを潰せばよい。

$z^{4} - 2 z^{3} - 2 a z + b = 0$ の係数は実数なので、解の集合は共役をとっても変わらない。解は相異なる4つだから、内訳は次の3通りしかない。

4つとも実数：このとき $α β + γ δ$ は実数で、虚部が $0$ になり条件3に反する。
非実数が2つ（互いに共役）で実数が2つ：これが残る場合。
非実数が4つ（共役な2組 $u, \overset{u}{ˉ}, v, \overset{v}{ˉ}$ ）： ${α, β}$ の組み方は ${u, \overset{u}{ˉ}}$ 、 ${u, v}$ 、 ${u, \overset{v}{ˉ}}$ の3通り（残りが ${γ, δ}$ ）で、それぞれ $α β + γ δ$ は $∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2}$ 、 $uv + \overline{uv}$ 、 $u \overset{v}{ˉ} + \overline{u \overset{v}{ˉ}}$ となり、どれも実数。やはり条件3に反する。

よって、ちょうど2つが実数で、残りの2つは互いに共役な非実数である。

「非実数が4つ」の場合、 ${α, β}$ の選び方によって $α β + γ δ$ の形が変わるので、3通り全部を見る必要がある。どれも「ある複素数とその共役の和」の形になり実数になる。

(2) $b$ を $a$ で表す

答 $b = - a^{2}$

$z^{2}$ の係数が $0$ であることから、解と係数の関係で $α β + γ δ = - (α + β) (γ + δ)$ が出る。これと条件3を合わせると、実数の組と非実数の組の配り方が2通りに絞られ、どちらでも $b = - a^{2}$ になる。

解と係数の関係より

α + β + γ + δ = 2, 2 つの積 \sum = 0, 3 つの積 \sum = 2 a, α β γ δ = b

である。2つの積の和は

α β + γ δ + (α + β) (γ + δ) = 0

と分けられるので、 $α β + γ δ = - (α + β) (γ + δ)$ である。

(1) より実数解を $r_{1}, r_{2}$ 、非実数解を $u = x + y i$ 、 $\overset{u}{ˉ}$ （ $y \neq = 0$ ）とする。 ${α, β}$ が ${r_{1}, r_{2}}$ だと $α β + γ δ = r_{1} r_{2} + ∣ u ∣^{2}$ が実数で不適なので、 ${α, β}$ は実数1つと非実数1つの組である。 ${α, β} = {r_{1}, u}$ としてよく、このとき

α β + γ δ = r_{1} u + r_{2} \overset{u}{ˉ} = (r_{1} + r_{2}) x + (r_{1} - r_{2}) y i

である。条件3の「実部が $0$ 」は $(r_{1} + r_{2}) x = 0$ 、「虚部が $0$ でない」は $r_{1} \neq = r_{2}$ （これは条件1から成り立つ）である。よって $r_{1} + r_{2} = 0$ または $x = 0$ である。

$r_{1} + r_{2} = 0$ のとき。 4解の和が $2$ なので $2 x = 2$ 、 $x = 1$ 。2つの積の和から

r_{1} r_{2} + (r_{1} + r_{2}) \cdot 2 x + ∣ u ∣^{2} = r_{1} r_{2} + (1 + y^{2}) = 0

となり $r_{1} r_{2} = - (1 + y^{2})$ 。3つの積の和は

r_{1} r_{2} \cdot 2 x + (r_{1} + r_{2}) ∣ u ∣^{2} = - 2 (1 + y^{2}) = 2 a

より $a = - (1 + y^{2})$ 、4つの積は

b = r_{1} r_{2} ∣ u ∣^{2} = - (1 + y^{2})^{2} = - a^{2}

である。

$x = 0$ のとき。 $u = y i$ で、和から $r_{1} + r_{2} = 2$ 。2つの積の和は

r_{1} r_{2} + (r_{1} + r_{2}) \cdot 0 + y^{2} = 0

より $r_{1} r_{2} = - y^{2}$ 。3つの積の和は

r_{1} r_{2} \cdot 0 + (r_{1} + r_{2}) y^{2} = 2 y^{2} = 2 a

より $a = y^{2}$ 、4つの積は $b = r_{1} r_{2} \cdot y^{2} = - y^{4} = - a^{2}$ である。

どちらの場合も $b = - a^{2}$ である。

$r_{1} = 1 + 2$ 、 $r_{2} = 1 - 2$ 、 $u = i$ とすると、和は $2$ 、2つの積の和は $(1 - 2) + 1 = 0$ となり条件2の形に合う。 $a = 1$ 、 $b = - 1 = - a^{2}$ で、 $α β + γ δ = (1 + 2) i + (1 - 2) (- i) = 22 i$ となり条件3もみたす。

${α, β}$ の組み方は問題文の文字の付き方で決まっている。実数どうし・非実数どうしの組だと $α β + γ δ$ が実数になるので、実数と非実数を1つずつ組むしかない。

(3) $α + β$ のとりうる範囲を複素数平面上に図示する

答双曲線 $(x - 1)^{2} - y^{2} = 1$ から2点 $0$ 、 $2$ （頂点）を除いたもの

(2) の2つの場合それぞれで $α + β = r + u$ を書き下す。どちらも $r$ が $\pm 1 + y^{2}$ という形で出てくるので、実部と虚部のあいだに同じ関係式が現れる。

$α + β = r_{1} + u$ である。 $α + β = X + Y i$ とおく。

$r_{1} + r_{2} = 0$ のとき。 $x = 1$ 、 $r_{1} r_{2} = - r_{1}^{2} = - (1 + y^{2})$ より $r_{1} = \pm 1 + y^{2}$ である。よって

X = r_{1} + 1 = 1 \pm 1 + y^{2}, Y = y

となり、 $(X - 1)^{2} = 1 + y^{2} = 1 + Y^{2}$ 、すなわち

(X - 1)^{2} - Y^{2} = 1

が成り立つ。 $y \neq = 0$ だから $Y \neq = 0$ である。

$x = 0$ のとき。 $r_{1}, r_{2}$ は $r_{1} + r_{2} = 2$ 、 $r_{1} r_{2} = - y^{2}$ をみたすので $T^{2} - 2 T - y^{2} = 0$ の解、つまり $r_{1} = 1 \pm 1 + y^{2}$ である。 $u = y i$ なので

X = r_{1} = 1 \pm 1 + y^{2}, Y = y

となり、やはり $(X - 1)^{2} - Y^{2} = 1$ 、 $Y \neq = 0$ である。

逆に $(X - 1)^{2} - Y^{2} = 1$ 、 $Y \neq = 0$ をみたす任意の点に対して、 $y = Y$ 、 $r_{1} = 1 + 1 + y^{2}$ 、 $r_{2} = 1 - 1 + y^{2}$ 、 $u = y i$ （ $x = 0$ の場合）とすれば、4解は相異なり条件1〜3をすべてみたし、 $α + β = X + Y i$ となる。

したがって $α + β$ のとりうる範囲は、双曲線 $(x - 1)^{2} - y^{2} = 1$ から頂点 $(0, 0)$ と $(2, 0)$ （複素数でいえば $0$ と $2$ ）を除いたものである。

α + β

のとりうる範囲。双曲線

(x - 1)^{2} - y^{2} = 1

（中心

(1, 0)

、漸近線

y = \pm (x - 1)

）から2つの頂点

0

と

2

を除いたもの。

$r_{1} = 1 + 2$ 、 $u = i$ の例では $α + β = 1 + 2 + i$ で、 $(2)^{2} - 1^{2} = 1$ をみたす。条件をみたす根の組を2種類の形で $4000$ 通り作って確かめても、 $α + β$ はすべて $(x - 1)^{2} - y^{2} = 1$ の上にあった。