名古屋大学　2026年度　前期日程　理科系

第1問微分積分の解答・解説

1/x の積分・面積・正接の加法定理・増減表による最小値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は名古屋大学が公開しています。

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掲載ページ名「令和８年度一般選抜（前期日程）の試験問題および正解・解答例等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)面積 $S$ を $a, b$ で表す

答 $S = lo g \frac{b}{a}$

方針囲んでいる3本のうち2本は原点を通る線分なので、 $x$ で切って積分すると、直線の部分がきれいに打ち消し合う。 $x = a$ で2つに分けるのが素直。

$A (a, \frac{1}{a})$ を通り原点を通る直線は $y = \frac{x}{a ^{2}}$ 、 $B (b, \frac{1}{b})$ のほうは $y = \frac{x}{b ^{2}}$ 。 $0 < a < b$ より $\frac{1}{a ^{2}} > \frac{1}{b ^{2}}$ だから、 $OA$ のほうが傾きが大きい。

$0 \leq x \leq a$ では、上が $y = \frac{x}{a ^{2}}$ 、下が $y = \frac{x}{b ^{2}}$
$a \leq x \leq b$ では、上が $y = \frac{1}{x}$ 、下が $y = \frac{x}{b ^{2}}$

よって

S = \int_{0}^{a} (\frac{x}{a ^{2}} - \frac{x}{b ^{2}}) d x + \int_{a}^{b} (\frac{1}{x} - \frac{x}{b ^{2}}) d x

= \frac{a ^{2}}{2} (\frac{1}{a ^{2}} - \frac{1}{b ^{2}}) + [lo g x - \frac{x ^{2}}{2 b ^{2}}]_{a}^{b}

= \frac{1}{2} - \frac{a ^{2}}{2 b ^{2}} + (lo g b - \frac{1}{2}) - (lo g a - \frac{a ^{2}}{2 b ^{2}}) = lo g \frac{b}{a}

検算

$a = 1, b = e$ とすると $S = lo g e = 1$ 。実際に $\int_{0}^{1} (x - \frac{x}{e ^{2}}) d x + \int_{1}^{e} (\frac{1}{x} - \frac{x}{e ^{2}}) d x = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{e ^{2}}) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 e ^{2}} = 1$ で合う。

答案で省略しない方がよい点

$x = a$ で場合を分けずに $\int_{a}^{b} (\frac{1}{x} - （直線）) d x$ だけで済ませると、 $0 \leq x \leq a$ の三角形部分が抜ける。
$OA$ の式を $y = \frac{x}{a}$ と書き間違えやすい。 $A$ の $y$ 座標は $\frac{1}{a}$ なので傾きは $\frac{1/ a}{a} = \frac{1}{a ^{2}}$ 。

(2) $θ = \frac{π}{4}$ のとき $b$ を $a$ で表す

答 $b = \frac{1 + a ^{2}}{1 - a ^{2}}$

方針 $θ$ は2直線のなす角なので、傾きの差ではなく正接の加法定理で扱う。 $OA, OB$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $α, β$ とおけば $θ = α - β$ 。

$tan α = \frac{1}{a ^{2}}, tan β = \frac{1}{b ^{2}}$ で、どちらも正。 $0 < a < b$ より $tan α > tan β > 0$ だから $0 < β < α < \frac{π}{2}$ で、 $θ = α - β$ 。

tan θ = \frac{t a n α - t a n β}{1 + t a n α t a n β} = \frac{\frac{1}{a ^{2}} - \frac{1}{b ^{2}}}{1 + \frac{1}{a ^{2} b ^{2}}} = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{a ^{2} b ^{2} + 1}

これが $tan \frac{π}{4} = 1$ に等しいので

b^{2} - a^{2} = a^{2} b^{2} + 1 ⟺ b^{2} (1 - a^{2}) = 1 + a^{2}

$0 < a < 1$ だから $1 - a^{2} > 0$ で割れて $b^{2} = \frac{1 + a ^{2}}{1 - a ^{2}}$ 。 $b > 0$ より $b = \frac{1 + a ^{2}}{1 - a ^{2}}$ 。

答案で省略しない方がよい点

$0 < a < 1$ という条件がここで効く。 $a \geq 1$ だと $1 - a^{2} \leq 0$ となって $b$ が決まらない。問題が $a$ の範囲を切っている理由はこれ。
分母・分子に $a^{2} b^{2}$ を掛けて整理する一手を省くと、分数のまま扱って符号を間違えやすい。

(3) $θ = \frac{π}{4}$ を保ったまま動くとき、 $S$ を最小にする $a$ を求める

答 $a = 2 - 1$

方針 $S = lo g \frac{b}{a}$ は $\frac{b}{a}$ の増加関数なので、 $S$ を直接微分する必要はない。 $\frac{b ^{2}}{a ^{2}}$ を最小にすればよく、根号も対数も消える。

(2) より $\frac{b ^{2}}{a ^{2}} = \frac{1 + a ^{2}}{a ^{2} ( 1 - a ^{2} )}$ 。 $t = a^{2}$ とおくと $0 < t < 1$ で

f (t) = \frac{1 + t}{t - t ^{2}} (0 < t < 1)

を最小にすればよい。

f^{'} (t) = \frac{( t - t ^{2} ) - ( 1 + t ) ( 1 - 2 t )}{( t - t ^{2} ) ^{2}} = \frac{t ^{2} + 2 t - 1}{( t - t ^{2} ) ^{2}}

分母は正なので符号は $t^{2} + 2 t - 1$ で決まる。 $t^{2} + 2 t - 1 = 0$ の正の解は $t = 2 - 1$ で、これは $0 < t < 1$ を満たす。 $0 < t < 2 - 1$ で $f^{'} (t) < 0$ 、 $2 - 1 < t < 1$ で $f^{'} (t) > 0$ だから、 $t = 2 - 1$ で最小。

$t = a^{2}$ かつ $a > 0$ より $a = 2 - 1$ 。

検算

$t = 2 - 1$ を入れると $f (t) = \frac{2}{( 2 - 1 ) ( 2 - 2 )} = \frac{2}{3 2 - 4} = 3 + 22 = (1 + 2)^{2}$ 。つまり $\frac{b}{a} = 1 + 2$ 、最小値は $S = lo g (1 + 2)$ 。ここまで簡単な形になるので、計算が合っているかの目印になる。

答案で省略しない方がよい点

$t = a^{2}$ とおいたら $0 < t < 1$ を必ず書く。 $t \to 0$ でも $t \to 1$ でも $f (t) \to + \infty$ なので、最小値は内部でとる。
$S$ のまま $lo g$ を微分しても解けるが、計算量が増える。単調性で言い換える一言を書いておくと、以降の計算が軽くなる。
$a = 2 - 1$ を $2 - 1$ と書いてしまう取り違えが多い。問われているのは $a$ であって $a^{2}$ ではない。