名古屋大学　2026年度　前期日程　理科系

第2問空間図形・ベクトルの解答・解説

平面の方程式・法線ベクトル・直線の媒介変数表示・符号による存在条件当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/05

問題文について

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掲載ページ名「令和８年度一般選抜（前期日程）の試験問題および正解・解答例等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)平面 $H$ が直線 $DE$ と共有点をもつ $a$ の条件

答 $a \neq = \frac{9}{2}$

方針平面を方程式で、直線を媒介変数で表して代入すると、 $t$ についての1次方程式になる。「共有点をもつ」はその方程式が解をもつこと。1次の係数が $0$ になるときだけ別に調べる。

$CA = (1, 1, 3), CB = (a + 1, 3, 4)$ 。法線ベクトルを $n = (p, q, r)$ とおくと

p + q + 3 r = 0, (a + 1) p + 3 q + 4 r = 0

第1式から $q = - p - 3 r$ 。第2式に入れて $(a - 2) p - 5 r = 0$ 、すなわち $r = \frac{( a - 2 ) p}{5}$ 。 $p = 5$ と選ぶと

n = (5, 1 - 3 a, a - 2)

$C (1, 0, 0)$ を通るので $H : 5 (x - 1) + (1 - 3 a) y + (a - 2) z = 0$ 。直線 $DE$ は $DE = (- 2, - 1, - 1)$ より

P (t) = (- 1 - 2 t, 2 - t, 1 - t) (t \in R)

これを $H$ の式に代入し、左辺を $g (t)$ とおくと

g (t) = (2 a - 9) t - 5 (a + 2)

$2 a - 9 \neq = 0$ 、つまり $a \neq = \frac{9}{2}$ のとき、 $t = \frac{5 ( a + 2 )}{2 a - 9}$ がただ1つ定まり、共有点をもつ
$a = \frac{9}{2}$ のとき $g (t) = - \frac{65}{2}$ （ $t$ によらない定数）で $0$ にならず、共有点をもたない

よって求める条件は $a \neq = \frac{9}{2}$ 。

答案で省略しない方がよい点

$1$ 次の係数が $0$ になる場合を飛ばすと、答えが「すべての実数」になってしまう。 $a = \frac{9}{2}$ は直線が $H$ と平行で、しかも $H$ 上にない場合。
$n$ は定数倍の自由度があるので、 $p = 5$ のように分母が払える値を選ぶと以降の計算が楽になる。

(2)平面 $H$ が線分 $DE$ （両端を含む）と共有点をもつ $a$ の条件

答 $- \frac{19}{3} \leq a \leq - 2$

方針 $g (t)$ は $t$ の1次式（または定数）なので、 $0 \leq t \leq 1$ に解をもつ条件は端点の値の符号だけで決まる。 $g (0), g (1)$ は $D, E$ を平面の式に入れた値そのもので、符号が逆なら線分は平面を横切る。

g (0) = - 5 (a + 2), g (1) = (2 a - 9) - 5 (a + 2) = - (3 a + 19)

求める条件は $g (0) g (1) \leq 0$ 、すなわち

5 (a + 2) (3 a + 19) \leq 0 ⟺ - \frac{19}{3} \leq a \leq - 2

別解

t

を求めてから範囲を考える

$a \neq = \frac{9}{2}$ のとき $t = \frac{5 ( a + 2 )}{2 a - 9}$ なので、 $0 \leq \frac{5 ( a + 2 )}{2 a - 9} \leq 1$ を解く。 $2 a - 9$ の符号で場合分けが要るぶん手間は増えるが、共有点の位置まで同時に分かる。

$a < \frac{9}{2}$ では $2 a - 9 < 0$ なので、両辺に掛けると不等号が反転して $2 a - 9 \leq 5 (a + 2) \leq 0$ 、つまり $- \frac{19}{3} \leq a \leq - 2$ 。 $a > \frac{9}{2}$ では $5 (a + 2) > 0$ かつ $2 a - 9 > 0$ から $t > 0$ だが $t \leq 1$ が $3 a + 19 \leq 0$ となり、 $a > \frac{9}{2}$ と両立しない。

検算

端点で確かめられる。 $a = - 2$ のとき $H : 5 (x - 1) + 7 y - 4 z = 0$ に $D (- 1, 2, 1)$ を入れると $- 10 + 14 - 4 = 0$ 。 $a = - \frac{19}{3}$ のとき $H : 5 (x - 1) + 20 y - \frac{25}{3} z = 0$ に $E (- 3, 1, 0)$ を入れると $- 20 + 20 = 0$ 。どちらも端点がちょうど $H$ 上に乗る。

答案で省略しない方がよい点

「両端を含む」ので等号を入れる。 $a = - 2$ は $D$ が、 $a = - \frac{19}{3}$ は $E$ が $H$ 上に来る場合で、どちらも共有点をもつ。
$- \frac{19}{3} < - 2$ なので、不等式の向きを書き間違えないこと。数直線に $- 6.33 \dots$ と $- 2$ を取って確かめるとよい。