名古屋大学　2026年度　前期日程　理科系

第3問整数の解答・解説

互いに素・素因数分解の一意性・場合の数・重複を除く数え方当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は名古屋大学が公開しています。

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掲載ページ名「令和８年度一般選抜（前期日程）の試験問題および正解・解答例等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $ab c = 120$ かつ $a \leq b \leq c$ を満たす組をすべて求める

答 $(1, 1, 120), (1, 3, 40), (1, 5, 24), (1, 8, 15), (3, 5, 8)$ の5組

方針どの2つも互いに素という条件は、素因数の分かれ方を完全に縛る。同じ素数が2つに分かれて入ると、その2つの最大公約数がその素数以上になってしまうので、各素数のべきはまるごと1つに属する。

$120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$ なので、分けられない塊は $8, 3, 5$ の3つ。

この3つの塊を $a, b, c$ に振り分ければよい（どこにも塊が来なければその数は $1$ ）。塊の分け方で場合分けすると、 $a \leq b \leq c$ に並べ替えて次のようになる。

3つとも別々 … $(3, 5, 8)$
$8$ と $3$ を同じところへ … $(1, 5, 24)$
$8$ と $5$ を同じところへ … $(1, 3, 40)$
$3$ と $5$ を同じところへ … $(1, 8, 15)$
3つとも同じところへ … $(1, 1, 120)$

いずれも積は $120$ で、どの2つも共通の素因数をもたないから条件を満たす。

答案で省略しない方がよい点

$2^{3}$ を $2$ と $4$ に割って配ることはできない。 $2$ の指数をどう分けても両方に $2$ が入り、互いに素でなくなる。
$1$ はどの数とも互いに素なので、 $(1, 1, 120)$ も条件を満たす。「 $1$ を除く」とは書かれていないので落とさない。

(2) $ab c = N!$ を満たす組 $(a, b, c)$ の個数を $m$ で表す

答 $3^{m}$ 個

方針(1) と理由は同じ。 $N!$ の素因数は「 $N$ 以下の素数」がちょうど全部で、その個数が $m$ 。素数ごとに「 $a, b, c$ のどこへ入れるか」を独立に選べる。

$N! = p \leq N \prod p^{e_{p}}$ と書くと、現れる素数はちょうど $m$ 種類。どの2つも互いに素という条件から、各 $p^{e_{p}}$ はまるごと $a, b, c$ のどれか1つに属する。

逆に、 $m$ 個の塊をどう振り分けても積は $N!$ になり、2つの数が共通の素因数をもつことはないので条件を満たす。塊ごとに3通りで、選び方は独立だから

3^{m} 個

答案で省略しない方がよい点

ここで数えているのは順序つきの組。 $(1, 3, 40)$ と $(3, 1, 40)$ は別に数えている。(3) との違いを最初に宣言しておく。

(3) $ab c = N!$ かつ $a \leq b \leq c$ を満たす組の個数を $m$ で表す

答 $\frac{3 ^{m} + 3}{6}$ 個

方針(2) の $3^{m}$ 個を $6$ で割りたいが、同じ数が混ざる組だけは並べ替えの個数が $6$ にならない。互いに素という条件のおかげで、その例外が1種類しかないことが効く。

まず、2つが等しいとき。 $a = b$ なら $g cd (a, b) = a$ で、これが $1$ だから $a = b = 1$ 。このとき $c = N!$ 。

次に、3つとも等しいとき。同じ理由で $a = b = c = 1$ となるが、すると $ab c = 1$ 。 $N \geq 2$ より $N! \geq 2$ なので、これは起こらない。

よって例外は ${a, b, c} = {1, 1, N!}$ の形だけで、順序つきでは $N!$ を置く位置の $3$ 通り。残る $3^{m} - 3$ 個は $a, b, c$ が相異なるので、 $a \leq b \leq c$ の組1つにつき $3! = 6$ 個ずつ対応する。

1 + \frac{3 ^{m} - 3}{6} = \frac{3 ^{m} + 3}{6}

検算

$N = 5$ とすると $N! = 120$ 、 $5$ 以下の素数は $2, 3, 5$ で $m = 3$ 。 $\frac{3 ^{3} + 3}{6} = 5$ となり、(1) で書き出した5組と一致する。順序つきでも $3 + 6 + 6 + 6 + 6 = 27 = 3^{3}$ で (2) と合う。

答案で省略しない方がよい点

「どの2つも互いに素」だから、等しい2つがあればその値は $1$ 。この一歩を踏むと、重複する場合が1種類に絞れる。
$N \geq 2$ より $N! \geq 2$ であることを書いておかないと、 $a = b = c = 1$ の場合の処理が抜ける。
$\frac{3 ^{m}}{6}$ としてしまうと整数にならない。 $3^{m}$ は奇数なので、割り切れないこと自体が検算になる。

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問題文について

(1)abc=120 かつ a≤b≤c を満たす組をすべて求める

(2)abc=N! を満たす組 (a,b,c) の個数を m で表す

(3)abc=N! かつ a≤b≤c を満たす組の個数を m で表す

同じ形式の問題を、5回分

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