名古屋大学　2026年度　前期日程　理科系

第4問確率・漸化式の解答・解説

確率漸化式・対称性・3項間漸化式・数学的帰納法・特性方程式当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/05

問題文について

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掲載ページ名「令和８年度一般選抜（前期日程）の試験問題および正解・解答例等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ を求める

答 $P_{1} = 1, P_{2} = \frac{7}{9}, P_{3} = \frac{17}{27}$

方針座標を2つとも追うと場合が増えるが、条件に出てくるのは $y - x$ だけ。 $d = y - x$ の1次元の動きに読み替えると、3通りの移動がそのまま $d$ の $- 1, 0, + 1$ に対応する。

時刻 $n$ での点 $A$ の座標を $(x_{n}, y_{n})$ 、 $d_{n} = y_{n} - x_{n}$ とおく。3つの移動はそれぞれ

$(x + 1, y)$ へ … $d$ は $1$ 減る
$(x + 1, y + 1)$ へ … $d$ は変わらない
$(x, y + 1)$ へ … $d$ は $1$ 増える

どれも確率 $\frac{1}{3}$ で、 $d_{0} = 0$ 。条件 $(*)$ は「 $d_{0}, d_{1}, \dots, d_{n}$ がすべて $- 1, 0, 1$ のいずれか」と言い換えられる。

$d_{1}$ は $- 1, 0, 1$ のいずれかなので $P_{1} = 1$ 。 $P_{2}$ は $d_{1}$ で分けて

P_{2} = d_{1} = 0 \frac{1}{3} \cdot 1 + d_{1} = 1 \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + d_{1} = - 1 \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{7}{9}

$P_{3}$ は (2) の $a_{n}, b_{n}$ を使うのが速い。 $a_{1} = \frac{1}{3}, b_{1} = \frac{2}{3}$ から $a_{2} = \frac{1}{3}, b_{2} = \frac{4}{9}$ 、さらに $a_{3} = \frac{7}{27}, b_{3} = \frac{10}{27}$ となり

P_{3} = a_{3} + b_{3} = \frac{7}{27} + \frac{10}{27} = \frac{17}{27}

答案で省略しない方がよい点

$d_{1} = 1$ から次に $d = 2$ へ出てしまう確率が $\frac{1}{3}$ ある。この「はみ出す枝」を落とすと $P_{2} = 1$ になってしまう。
$P_{n}$ は「時刻 $n$ までずっと条件内」であって「時刻 $n$ で条件内」ではない。途中で一度でも出たらその先は数えない。

(2) $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ で表す

答 $a_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n} + \frac{1}{3} b_{n}, b_{n + 1} = \frac{2}{3} a_{n} + \frac{1}{3} b_{n}$

方針 $d_{n} = 1$ と $d_{n} = - 1$ をひとまとめに $b_{n}$ としてよいのは、移動のルールが $d$ の符号について左右対称だから。この一言を書いておくと、 $2$ 状態で話が閉じる。

$d_{n} = 0$ （寄与 $a_{n}$ ）からは、次の $3$ 通りがすべて条件内。 $d_{n + 1} = 0$ になるのは $1$ 通りで $\frac{1}{3} a_{n}$ 、 $d_{n + 1} = \pm 1$ になるのは $2$ 通りで $\frac{2}{3} a_{n}$ 。

$d_{n} = 1$ からは次が $0, 1, 2$ で、 $2$ は条件外。 $d_{n + 1} = 0$ が $\frac{1}{3}$ 、 $d_{n + 1} = 1$ が $\frac{1}{3}$ 。 $d_{n} = - 1$ も対称に同じなので、まとめて $b_{n}$ から $d_{n + 1} = 0$ へ $\frac{1}{3} b_{n}$ 、 $d_{n + 1} = \pm 1$ へ $\frac{1}{3} b_{n}$ 。

a_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n} + \frac{1}{3} b_{n}, b_{n + 1} = \frac{2}{3} a_{n} + \frac{1}{3} b_{n}

検算

$a_{1} = \frac{1}{3}, b_{1} = \frac{2}{3}$ から順に計算すると $a_{2} = \frac{1}{3}, b_{2} = \frac{4}{9}$ 、 $a_{3} = \frac{7}{27}, b_{3} = \frac{10}{27}$ 。和はそれぞれ $\frac{7}{9}, \frac{17}{27}$ で (1) と合う。

答案で省略しない方がよい点

$b_{n}$ は $d_{n} = 1$ と $d_{n} = - 1$ の確率の和なので、 $b_{n}$ から $d_{n + 1} = 1$ へ移る確率は $\frac{2}{3} b_{n}$ ではなく $\frac{1}{3} b_{n}$ 。 $d_{n} = 1$ からしか $d_{n + 1} = 1$ へは行けない。

(3) $P_{n + 2}$ を $P_{n + 1}, P_{n}$ で表す

答 $P_{n + 2} = \frac{2}{3} P_{n + 1} + \frac{1}{9} P_{n}$

方針 $P_{n} = a_{n} + b_{n}$ なので、(2) の2式を足して $P$ だけの関係に直す。 $a_{n}, b_{n}$ を $P_{n}, P_{n + 1}$ で書き戻すのが要領。

(2) の2式を足すと

P_{n + 1} = a_{n + 1} + b_{n + 1} = a_{n} + \frac{2}{3} b_{n} \dots (i)

$a_{n} + b_{n} = P_{n}$ と合わせて $b_{n} = 3 (P_{n} - P_{n + 1}), a_{n} = 3 P_{n + 1} - 2 P_{n}$ 。これを (2) に入れると

a_{n + 1} = \frac{1}{3} (a_{n} + b_{n}) = \frac{1}{3} P_{n}, b_{n + 1} = \frac{2}{3} a_{n} + \frac{1}{3} b_{n} = P_{n + 1} - \frac{1}{3} P_{n}

$(i)$ を $n + 1$ で使って

P_{n + 2} = a_{n + 1} + \frac{2}{3} b_{n + 1} = \frac{1}{3} P_{n} + \frac{2}{3} (P_{n + 1} - \frac{1}{3} P_{n}) = \frac{2}{3} P_{n + 1} + \frac{1}{9} P_{n}

検算

$n = 1$ とすると $P_{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{9} + \frac{1}{9} \cdot 1 = \frac{14}{27} + \frac{3}{27} = \frac{17}{27}$ で (1) と合う。さらに $P_{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{17}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{7}{9} = \frac{41}{81}$ となり、 $a_{4} = \frac{17}{81}, b_{4} = \frac{24}{81}$ からの直接計算とも一致する。

答案で省略しない方がよい点

$(i)$ は $P_{n + 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ で表した式で、 $P_{n} = a_{n} + b_{n}$ とは係数が違う。この $\frac{2}{3}$ の違いが $b_{n}$ を取り出す鍵になる。

(4) $α = \frac{1 + 2}{3}$ のとき $P_{n} \leq α^{n - 1}$ をすべての $n \geq 1$ で示す

答 $n = 1, 2$ を出発点に、(3) の漸化式と $α^{2} = \frac{2}{3} α + \frac{1}{9}$ を使った数学的帰納法で示せる

方針 $α$ は (3) の漸化式の特性方程式 $9 x^{2} - 6 x - 1 = 0$ の解。これに気づくと、帰納法の1歩が一行で終わる。

まず $9 α^{2} = (1 + 2)^{2} = 3 + 22$ と $6 α + 1 = 2 (1 + 2) + 1 = 3 + 22$ が等しいので

α^{2} = \frac{2}{3} α + \frac{1}{9} \dots (ii)

出発点。 $n = 1$ は $P_{1} = 1 = α^{0}$ で成立。 $n = 2$ は

P_{2} = \frac{7}{9} \leq α = \frac{1 + 2}{3} ⟺ \frac{4}{3} \leq 2 ⟺ \frac{16}{9} \leq 2

より成立。

帰納の1歩。 $P_{n} \leq α^{n - 1}$ と $P_{n + 1} \leq α^{n}$ を仮定する。(3) の係数 $\frac{2}{3}, \frac{1}{9}$ はともに正なので不等号の向きが保たれ

P_{n + 2} = \frac{2}{3} P_{n + 1} + \frac{1}{9} P_{n} \leq \frac{2}{3} α^{n} + \frac{1}{9} α^{n - 1} = α^{n - 1} (\frac{2}{3} α + \frac{1}{9})

$(ii)$ よりこれは $α^{n - 1} \cdot α^{2} = α^{n + 1}$ に等しい。よって $P_{n + 2} \leq α^{(n + 2) - 1}$ 。

以上より、すべての $n \geq 1$ で $P_{n} \leq α^{n - 1}$ が成り立つ。

検算

$α = 0.8047 \dots$ なので $α^{3} = 0.5211 \dots$ 。一方 $P_{4} = \frac{41}{81} = 0.5061 \dots$ で、確かに $P_{4} \leq α^{3}$ 。 $n$ が大きいほど両者の比は一定に近づく（ $α$ が特性方程式の大きいほうの解だから）。

答案で省略しない方がよい点

2つ前まで使う漸化式なので、出発点は $n = 1$ と $n = 2$ の両方が要る。 $n = 1$ だけだと回らない。
$P_{2} \leq α$ は数値で「だいたい $0.78 < 0.80$ 」と書くのではなく、 $\frac{16}{9} \leq 2$ まで有理数に落として示す。
$α$ がどこから来た数かに触れずに計算だけ進めると、 $(ii)$ が天下りに見える。特性方程式の解であることを一言添える。