独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問3問・無料

名古屋大学　2024年度　前期日程　理科系

第1問微分法の解答・解説

極値・接線の本数・2次方程式の解の配置・整数解当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $f (x) = x + \frac{2}{x}$ （ $x > 0$ ）の極値を求める

答 $x = 2$ で極小値 $22$ （極大値はない）

$x^{1/2}$ 、 $x^{- 1/2}$ の形で微分する。 $x^{- 3/2}$ でくくると符号が一目で分かる。

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ なので

f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- \frac{3}{2}} = \frac{x ^{- \frac{3}{2}}}{2} (x - 2) = \frac{x - 2}{2 x ^{\frac{3}{2}}}

である。 $x > 0$ では $2 x^{\frac{3}{2}} > 0$ なので、 $f^{'}$ の符号は $x - 2$ の符号に等しい。

$0 < x < 2$ ： $f^{'} (x) < 0$ （減少）
$x = 2$ ： $f^{'} (x) = 0$
$x > 2$ ： $f^{'} (x) > 0$ （増加）

よって $x = 2$ で極小で

f (2) = 2 + \frac{2}{2} = 2 + 2 = 22

である。極大値はない。

y = x + \frac{2}{x}

（

x > 0

）。

x = 2

で極小値

22 = 2.83

をとり、

x \to + 0

でも

x \to \infty

でも

+ \infty

に発散する。下に凸の形をしていて、極大値はない。

$f^{'} (2) = 0$ 、 $f (2) = 2.8284271247$ で $22$ と一致した。

$\frac{2}{x} = 2 x^{- \frac{1}{2}}$ として微分する。 $(x^{- \frac{1}{2}})^{'} = - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$ なので $2$ 倍して $- x^{- \frac{3}{2}}$ 。

$f (2) = 22$ は $2 + 2$ である。相加相乗平均で $x \cdot \frac{2}{x} = 2$ から最小値 $22$ と見てもよい。

定義域が $x > 0$ なので端点はない。極大値は存在しない。

(2) $x$ 軸上の点 $P (t, 0)$ から $C$ にちょうど2本の接線を引くことができるような $t$ の範囲を求める

答 $t < - 18$

接点の $x$ 座標を $a$ として、接線が $(t, 0)$ を通る条件を書くと $t$ が $a$ の式になる。それを $a$ の2次方程式に直し、正の解がちょうど2個になる条件を調べる。

接点を $(a, f (a))$ （ $a > 0$ ）とする。接線は $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ で、 $(t, 0)$ を通る条件は

0 = f (a) + f^{'} (a) (t - a)

である。 $f (a) = \frac{a + 2}{a}$ 、 $f^{'} (a) = \frac{a - 2}{2 a ^{\frac{3}{2}}}$ を入れると

\frac{a + 2}{a} + \frac{a - 2}{2 a ^{\frac{3}{2}}} (t - a) = 0

で、両辺に $2 a^{\frac{3}{2}} > 0$ を掛けて

2 a (a + 2) + (a - 2) (t - a) = 0

となる。展開して整理すると

2 a^{2} + 4 a + a t - a^{2} - 2 t + 2 a = 0 ⟺ a^{2} + (6 + t) a - 2 t = 0 \dots ①

である。接線の本数は、① の正の解の個数に等しい。

$a = 2$ は解でない。 ① に $a = 2$ を入れると $4 + 2 (6 + t) - 2 t = 16 \neq = 0$ 。だから $f^{'} (a) = 0$ （水平な接線）になることはなく、① と接線が1対1に対応する。

正の解が2個になる条件。 ① の判別式は

Δ = (6 + t)^{2} + 8 t = t^{2} + 20 t + 36 = (t + 2) (t + 18)

である。2解の和は $- (6 + t)$ 、積は $- 2 t$ なので、異なる2つの正の解をもつ条件は

$Δ > 0$ ： $t < - 18$ または $t > - 2$
（和） $- (6 + t) > 0$ ： $t < - 6$
（積） $- 2 t > 0$ ： $t < 0$

をすべてみたすことである。 $t < - 6$ と合わせると

t < - 18

である。

接点

a

に対する

x

切片

t = g (a) = - \frac{a ( a + 6 )}{a - 2}

。

a = 2

が漸近線で、左側（

0 < a < 2

）では

t > 0

、右側では

a = 6

で極大

- 18

をとる。水平線

y = t

との交点の個数が接線の本数で、

t < - 18

のときだけ2個になる。

$t = - 18$ のときは $Δ = 0$ で重解 $a = 6$ 、接線は1本だけ。 $- 18 < t < - 2$ では実数解がなく $0$ 本、 $t > 0$ では正の解が1つで1本である。

① の正の解の個数を $t$ ごとに数えると、 $t = 5, 1$ で1個、 $t = 0, - 1, - 6, - 10$ で0個、 $t = - 18$ で1個（重解 $a = 6$ ）、 $t = - 18.0001, - 19, - 20, - 27, - 50$ で2個だった。

$2 a^{\frac{3}{2}}$ を掛けて分母を払う。 $a > 0$ なので符号は変わらない。

「接線の本数」は「接点の個数」である。別々の接点が同じ直線を与えないことは、①と接線が1対1に対応することから分かる。

解の配置は「判別式・和・積」の3つをそろえる。 $t < - 6$ が和と積をまとめた条件になる。

(3)(2) において2つの接点の $x$ 座標を $α, β$ （ $α < β$ ）とするとき、 $α, β$ がともに整数である組をすべて求める

答 $(α, β) = (3, 18), (4, 10)$

① の2解が $α, β$ である。解と係数の関係から $α β = - 2 t$ 、 $α + β = - (6 + t)$ 。 $t$ を消すと $α, β$ の関係式が出る。

$α, β$ は ① $a^{2} + (6 + t) a - 2 t = 0$ の2解だから

α + β = - (6 + t), α β = - 2 t

である。1本目から $t = - (α + β) - 6$ 、これを2本目に入れて

α β = 2 (α + β) + 12

すなわち

α β - 2 α - 2 β - 12 = 0 ⟺ (α - 2) (β - 2) = 16

である（ $(α - 2) (β - 2) = α β - 2 α - 2 β + 4 = 12 + 4 = 16$ ）。

範囲。 (2) の増減から、 $t < - 18$ のとき2つの解は $2 < α < 6 < β$ をみたす（ $a = 6$ が $t = - 18$ の重解だった）。よって $α - 2$ は $1$ 以上 $3$ 以下の整数、 $β - 2$ は $4$ より大きい整数である。

$(α - 2) (β - 2) = 16$ で $1 \leq α - 2 \leq 3$ となる約数は $1$ と $2$ である（ $3$ は $16$ を割らない）。

$α - 2 = 1$ ： $β - 2 = 16$ より $(α, β) = (3, 18)$ 。このとき $t = - 27$
$α - 2 = 2$ ： $β - 2 = 8$ より $(α, β) = (4, 10)$ 。このとき $t = - 20$

どちらも $t < - 18$ をみたす。よって

(α, β) = (3, 18), (4, 10)

である。

$α = 5$ だと $(α - 2) (β - 2) = 3 (β - 2) = 16$ となり $β = \frac{22}{3}$ で整数にならない。 $α = 6$ は重解の場合（ $t = - 18$ ）で、接線が1本しかないので除かれる。

$α = 3, 4, 5, 6$ について ① の解を求めると $(3, 18)$ 、 $(4, 10)$ 、 $(5, \frac{22}{3})$ 、 $(6)$ （重解）で、両方整数になるのは前の2つだけだった。

$t$ を消して $(α - 2) (β - 2) = 16$ という積の形に持ち込む。これで約数を調べるだけになる。

$2 < α < 6 < β$ という範囲を使う。これがないと $(α - 2) (β - 2) = 16$ の分解が $16$ 通りに増える。

$α < β$ なので $(α, β) = (18, 3)$ などは数えない。

2024年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる名大数学2027

名大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・124ページ・2026年7月23日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)f(x)=x​+x​2​（x>0）の極値を求める

(2)x 軸上の点 P(t,0) から C にちょうど2本の接線を引くことができるような t の範囲を求める

(3)(2) において2つの接点の x 座標を α,β（α<β）とするとき、α,β がともに整数である組をすべて求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1) $f (x) = x + \frac{2}{x}$ （ $x > 0$ ）の極値を求める

(2) $x$ 軸上の点 $P (t, 0)$ から $C$ にちょうど2本の接線を引くことができるような $t$ の範囲を求める

(3)(2) において2つの接点の $x$ 座標を $α, β$ （ $α < β$ ）とするとき、 $α, β$ がともに整数である組をすべて求める