第2問 複素数平面の解答・解説

$z=1$ を代入すると

なので $z-1$ で割り切れる。実際に割ると

である。$z^2-2z+c=0$ は

で、$c>1$ より $1-c<0$ だから

である。よって3つの解は

である。図示。 3点はいずれも実部が $1$ なので、直線 $\mathrm{Re}z=1$ の上に、実軸上の $1$ を中心として上下に $\sqrt{c-1}$ ずつ離れて並ぶ。

$\alpha =\frac{1-i}{\sqrt{2}}=\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$ なので、$\alpha$ は $1$ の原始8乗根（${\alpha }^8=1$）である。とくに

である（${\alpha }^3=\cos \left(-\frac{3\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{3\pi }{4}\right)=-\frac{1+i}{\sqrt{2}}$）。

$Q(z)=P(\alpha z)$ を見抜く。

である。${\alpha }^3=-{\alpha }^7$、$-3{\alpha }^2=-3(-i)=3i=3{\alpha }^6$ だから

である。

解。 したがって $Q(z)=0⟺P(\alpha z)=0$ で、(1) より $\alpha z\in \left\{1,1\pm \sqrt{c-1}i\right\}$、すなわち

である。$\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ を掛けるのは「偏角を $45^{\circ }$ 回す」ことである。$k=\sqrt{c-1}>0$ とおいて実部を計算すると

である。$k>0$ なので $\frac{1+k}{\sqrt{2}}$ が最大で、求める解は

である。

$k=\sqrt{c-1}>0$ とおく。(1) より $P(z)=0$ の解はすべて実部が $1$ である。一方 (2) より $Q(z)=0$ の解の実部は

である。共通解があるなら、このどれかが $1$ に等しい。

1. $\frac{1}{\sqrt{2}}=1$：$\sqrt{2}=1$ となり不可
2. $\frac{1-k}{\sqrt{2}}=1$：$k=1-\sqrt{2}<0$ となり $k>0$ に反する
3. $\frac{1+k}{\sqrt{2}}=1$：$k=\sqrt{2}-1>0$。◯

よって $k=\sqrt{2}-1$、すなわち

である（$1.172$ ほどで、確かに $c>1$）。

$\beta$。 このときの $Q$ の解は

である。これは $P$ の解 $1+ki=1+\left(\sqrt{2}-1\right)i$ と一致しているので、確かに共通解である。