独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全4問・無料

名古屋大学　2024年度　前期日程　理科系

名大理系 2024年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分法

極値・接線の本数・2次方程式の解の配置・整数解当サイトの体感難易度：やや難

(1) $f (x) = x + \frac{2}{x}$ （ $x > 0$ ）の極値を求める

答 $x = 2$ で極小値 $22$ （極大値はない）

$x^{1/2}$ 、 $x^{- 1/2}$ の形で微分する。 $x^{- 3/2}$ でくくると符号が一目で分かる。

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ なので

f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- \frac{3}{2}} = \frac{x ^{- \frac{3}{2}}}{2} (x - 2) = \frac{x - 2}{2 x ^{\frac{3}{2}}}

である。 $x > 0$ では $2 x^{\frac{3}{2}} > 0$ なので、 $f^{'}$ の符号は $x - 2$ の符号に等しい。

$0 < x < 2$ ： $f^{'} (x) < 0$ （減少）
$x = 2$ ： $f^{'} (x) = 0$
$x > 2$ ： $f^{'} (x) > 0$ （増加）

よって $x = 2$ で極小で

f (2) = 2 + \frac{2}{2} = 2 + 2 = 22

である。極大値はない。

y = x + \frac{2}{x}

（

x > 0

）。

x = 2

で極小値

22 = 2.83

をとり、

x \to + 0

でも

x \to \infty

でも

+ \infty

に発散する。下に凸の形をしていて、極大値はない。

$f^{'} (2) = 0$ 、 $f (2) = 2.8284271247$ で $22$ と一致した。

$\frac{2}{x} = 2 x^{- \frac{1}{2}}$ として微分する。 $(x^{- \frac{1}{2}})^{'} = - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$ なので $2$ 倍して $- x^{- \frac{3}{2}}$ 。

$f (2) = 22$ は $2 + 2$ である。相加相乗平均で $x \cdot \frac{2}{x} = 2$ から最小値 $22$ と見てもよい。

定義域が $x > 0$ なので端点はない。極大値は存在しない。

(2) $x$ 軸上の点 $P (t, 0)$ から $C$ にちょうど2本の接線を引くことができるような $t$ の範囲を求める

答 $t < - 18$

接点の $x$ 座標を $a$ として、接線が $(t, 0)$ を通る条件を書くと $t$ が $a$ の式になる。それを $a$ の2次方程式に直し、正の解がちょうど2個になる条件を調べる。

接点を $(a, f (a))$ （ $a > 0$ ）とする。接線は $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ で、 $(t, 0)$ を通る条件は

0 = f (a) + f^{'} (a) (t - a)

である。 $f (a) = \frac{a + 2}{a}$ 、 $f^{'} (a) = \frac{a - 2}{2 a ^{\frac{3}{2}}}$ を入れると

\frac{a + 2}{a} + \frac{a - 2}{2 a ^{\frac{3}{2}}} (t - a) = 0

で、両辺に $2 a^{\frac{3}{2}} > 0$ を掛けて

2 a (a + 2) + (a - 2) (t - a) = 0

となる。展開して整理すると

2 a^{2} + 4 a + a t - a^{2} - 2 t + 2 a = 0 ⟺ a^{2} + (6 + t) a - 2 t = 0 \dots ①

である。接線の本数は、① の正の解の個数に等しい。

$a = 2$ は解でない。 ① に $a = 2$ を入れると $4 + 2 (6 + t) - 2 t = 16 \neq = 0$ 。だから $f^{'} (a) = 0$ （水平な接線）になることはなく、① と接線が1対1に対応する。

正の解が2個になる条件。 ① の判別式は

Δ = (6 + t)^{2} + 8 t = t^{2} + 20 t + 36 = (t + 2) (t + 18)

である。2解の和は $- (6 + t)$ 、積は $- 2 t$ なので、異なる2つの正の解をもつ条件は

$Δ > 0$ ： $t < - 18$ または $t > - 2$
（和） $- (6 + t) > 0$ ： $t < - 6$
（積） $- 2 t > 0$ ： $t < 0$

をすべてみたすことである。 $t < - 6$ と合わせると

t < - 18

である。

接点

a

に対する

x

切片

t = g (a) = - \frac{a ( a + 6 )}{a - 2}

。

a = 2

が漸近線で、左側（

0 < a < 2

）では

t > 0

、右側では

a = 6

で極大

- 18

をとる。水平線

y = t

との交点の個数が接線の本数で、

t < - 18

のときだけ2個になる。

$t = - 18$ のときは $Δ = 0$ で重解 $a = 6$ 、接線は1本だけ。 $- 18 < t < - 2$ では実数解がなく $0$ 本、 $t > 0$ では正の解が1つで1本である。

① の正の解の個数を $t$ ごとに数えると、 $t = 5, 1$ で1個、 $t = 0, - 1, - 6, - 10$ で0個、 $t = - 18$ で1個（重解 $a = 6$ ）、 $t = - 18.0001, - 19, - 20, - 27, - 50$ で2個だった。

$2 a^{\frac{3}{2}}$ を掛けて分母を払う。 $a > 0$ なので符号は変わらない。

「接線の本数」は「接点の個数」である。別々の接点が同じ直線を与えないことは、①と接線が1対1に対応することから分かる。

解の配置は「判別式・和・積」の3つをそろえる。 $t < - 6$ が和と積をまとめた条件になる。

(3)(2) において2つの接点の $x$ 座標を $α, β$ （ $α < β$ ）とするとき、 $α, β$ がともに整数である組をすべて求める

答 $(α, β) = (3, 18), (4, 10)$

① の2解が $α, β$ である。解と係数の関係から $α β = - 2 t$ 、 $α + β = - (6 + t)$ 。 $t$ を消すと $α, β$ の関係式が出る。

$α, β$ は ① $a^{2} + (6 + t) a - 2 t = 0$ の2解だから

α + β = - (6 + t), α β = - 2 t

である。1本目から $t = - (α + β) - 6$ 、これを2本目に入れて

α β = 2 (α + β) + 12

すなわち

α β - 2 α - 2 β - 12 = 0 ⟺ (α - 2) (β - 2) = 16

である（ $(α - 2) (β - 2) = α β - 2 α - 2 β + 4 = 12 + 4 = 16$ ）。

範囲。 (2) の増減から、 $t < - 18$ のとき2つの解は $2 < α < 6 < β$ をみたす（ $a = 6$ が $t = - 18$ の重解だった）。よって $α - 2$ は $1$ 以上 $3$ 以下の整数、 $β - 2$ は $4$ より大きい整数である。

$(α - 2) (β - 2) = 16$ で $1 \leq α - 2 \leq 3$ となる約数は $1$ と $2$ である（ $3$ は $16$ を割らない）。

$α - 2 = 1$ ： $β - 2 = 16$ より $(α, β) = (3, 18)$ 。このとき $t = - 27$
$α - 2 = 2$ ： $β - 2 = 8$ より $(α, β) = (4, 10)$ 。このとき $t = - 20$

どちらも $t < - 18$ をみたす。よって

(α, β) = (3, 18), (4, 10)

である。

$α = 5$ だと $(α - 2) (β - 2) = 3 (β - 2) = 16$ となり $β = \frac{22}{3}$ で整数にならない。 $α = 6$ は重解の場合（ $t = - 18$ ）で、接線が1本しかないので除かれる。

$α = 3, 4, 5, 6$ について ① の解を求めると $(3, 18)$ 、 $(4, 10)$ 、 $(5, \frac{22}{3})$ 、 $(6)$ （重解）で、両方整数になるのは前の2つだけだった。

$t$ を消して $(α - 2) (β - 2) = 16$ という積の形に持ち込む。これで約数を調べるだけになる。

$2 < α < 6 < β$ という範囲を使う。これがないと $(α - 2) (β - 2) = 16$ の分解が $16$ 通りに増える。

$α < β$ なので $(α, β) = (18, 3)$ などは数えない。

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第2問　複素数平面

3次方程式の因数分解・1 の8乗根・変数の置き換え・共通解当サイトの体感難易度：難

(1)方程式 $P (z) = 0$ をみたす複素数 $z$ をすべて求め、複素数平面上に図示する

答 $z = 1, 1 \pm c - 1 i$ （実部がすべて $1$ の3点）

$z = 1$ を代入すると $0$ になるので、 $z - 1$ で割れる。残りは2次方程式で、 $c > 1$ だから虚数解になる。

$z = 1$ を代入すると

P (1) = 1 - 3 + (c + 2) - c = 0

なので $z - 1$ で割り切れる。実際に割ると

P (z) = (z - 1) (z^{2} - 2 z + c)

である。 $z^{2} - 2 z + c = 0$ は

z = 1 \pm 1 - c

で、 $c > 1$ より $1 - c < 0$ だから

z = 1 \pm c - 1 i

である。よって3つの解は

z = 1, z = 1 + c - 1 i, z = 1 - c - 1 i

である。図示。 3点はいずれも実部が $1$ なので、直線 $Re z = 1$ の上に、実軸上の $1$ を中心として上下に $c - 1$ ずつ離れて並ぶ。

P (z) = 0

の3解（

c = 3

のとき、

c - 1 = 2 = 1.414

）。どれも実部が

1

で、直線

Re z = 1

（点線）の上に等間隔で並ぶ。

c

を大きくすると上下の2点が遠ざかる。

$c = 2, 3.5, 4 - 22$ で3つの解を代入すると、いずれも $P$ の値が $0$ になった。

$z = 1$ が解であることは係数の和 $1 - 3 + (c + 2) - c = 0$ から分かる。 $c$ が消えるのが仕掛けである。

$c > 1$ という条件があるので、2次方程式の解は必ず虚数である。実数解になる場合を考えなくてよい。

(2)方程式 $Q (z) = 0$ をみたす複素数 $z$ のうち実部が最大のものを求める

答 $z = \frac{( 1 + c - 1 ) + ( 1 - c - 1 ) i}{2}$

$α = \frac{1 - i}{2}$ は $1$ の原始8乗根である。係数を見比べると $Q (z) = P (α z)$ になっていることに気づく。そうすれば (1) の解を $α$ で割るだけ。

$α = \frac{1 - i}{2} = cos (- \frac{π}{4}) + i sin (- \frac{π}{4})$ なので、 $α$ は $1$ の原始8乗根（ $α^{8} = 1$ ）である。とくに

α^{2} = - i, α^{6} = i, α^{7} = \frac{1}{α} = \frac{1 + i}{2}, α^{3} = - α^{7}

である（ $α^{3} = cos (- \frac{3 π}{4}) + i sin (- \frac{3 π}{4}) = - \frac{1 + i}{2}$ ）。

$Q (z) = P (α z)$ を見抜く。

P (α z) = α^{3} z^{3} - 3 α^{2} z^{2} + (c + 2) α z - c

である。 $α^{3} = - α^{7}$ 、 $- 3 α^{2} = - 3 (- i) = 3 i = 3 α^{6}$ だから

P (α z) = - α^{7} z^{3} + 3 α^{6} z^{2} + (c + 2) α z - c = Q (z)

である。

解。したがって $Q (z) = 0 ⟺ P (α z) = 0$ で、(1) より $α z \in {1, 1 \pm c - 1 i}$ 、すなわち

z = \frac{w}{α} = α^{7} w = \frac{1 + i}{2} w (w = 1, 1 \pm c - 1 i)

である。 $\frac{1 + i}{2}$ を掛けるのは「偏角を $4 5^{\circ}$ 回す」ことである。 $k = c - 1 > 0$ とおいて実部を計算すると

w = 1 w = 1 + k i w = 1 - k i : z = \frac{1 + i}{2}, : z = \frac{( 1 - k ) + ( 1 + k ) i}{2}, : z = \frac{( 1 + k ) + ( 1 - k ) i}{2}, Re z = \frac{1}{2} Re z = \frac{1 - k}{2} Re z = \frac{1 + k}{2}

である。 $k > 0$ なので $\frac{1 + k}{2}$ が最大で、求める解は

z = \frac{( 1 + c - 1 ) + ( 1 - c - 1 ) i}{2}

である。

$c = 4 - 22$ のとき $Q$ の3解の実部は $0.707107, 0.414214, 1$ で、最大 $1$ は $\frac{1 + c - 1}{2} = 1.000000$ と一致した。

$Q (z) = P (α z)$ に気づけるかがすべてである。 $α^{8} = 1$ を使って $α^{3} = - α^{7}$ 、 $α^{2} = - α^{6}$ と書き換えると見える。

$\frac{1}{α} = α^{7} = \frac{1 + i}{2}$ である。 $α$ の共役でもある（ $∣ α ∣ = 1$ だから）。

実部の比較では $k = c - 1 > 0$ を使う。 $1 - k$ と $1 + k$ のどちらが大きいかは $k$ の符号で決まる。

(3) $P (z) = 0$ と $Q (z) = 0$ が共通解 $β$ をもつとき、 $c$ の値と $β$ を求める

答 $c = 4 - 22$ 、 $β = 1 + (2 - 1) i$

$P$ の3解はすべて実部が $1$ である。 $Q$ の3解の実部は $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1 \mp k}{2}$ なので、どれが $1$ になりうるかを見る。

$k = c - 1 > 0$ とおく。(1) より $P (z) = 0$ の解はすべて実部が $1$ である。一方 (2) より $Q (z) = 0$ の解の実部は

\frac{1}{2}, \frac{1 - k}{2}, \frac{1 + k}{2}

である。共通解があるなら、このどれかが $1$ に等しい。

$\frac{1}{2} = 1$ ： $2 = 1$ となり不可
$\frac{1 - k}{2} = 1$ ： $k = 1 - 2 < 0$ となり $k > 0$ に反する
$\frac{1 + k}{2} = 1$ ： $k = 2 - 1 > 0$ 。◯

よって $k = 2 - 1$ 、すなわち

c = k^{2} + 1 = (2 - 1)^{2} + 1 = 3 - 22 + 1 = 4 - 22

である（ $1.172$ ほどで、確かに $c > 1$ ）。

$β$ 。 このときの $Q$ の解は

β = \frac{( 1 + k ) + ( 1 - k ) i}{2} = \frac{2 + ( 2 - 2 ) i}{2} = 1 + (2 - 1) i

である。これは $P$ の解 $1 + k i = 1 + (2 - 1) i$ と一致しているので、確かに共通解である。

c = 4 - 22, β = 1 + (2 - 1) i

$c = 4 - 22 = 1.171572875$ 、 $β = 1 + 0.414213562 i$ で $∣ P (β) ∣ = 0$ 、 $∣ Q (β) ∣ < 1 0^{- 15}$ になった。

「 $P$ の解はすべて実部が $1$ 」という (1) の形を使うと、比べるのが実部だけで済む。3×3 の組み合わせを総当たりしなくてよい。

$\frac{2 - 2}{2} = \frac{2}{2} - 1 = 2 - 1$ である。有理化を丁寧に。

得られた $β$ が本当に $P$ の解でもあることを最後に確かめる。

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第3問　空間ベクトル

内積・垂線の足・領域の最短距離・境界での最小当サイトの体感難易度：難

(1)内積 $AB \cdot AB$ 、 $AC \cdot AC$ 、 $AB \cdot AC$ を求める

答 $3$ 、 $6$ 、 $2$

成分を出して計算するだけ。以降ずっと使う値なので、ここで押さえておく。

AB = (1, 1, - 1), AC = (1, - 1, - 2)

なので

AB \cdot AB AC \cdot AC AB \cdot AC = 1 + 1 + 1 = 3 = 1 + 1 + 4 = 6 = 1 - 1 + 2 = 2

である。

$AB \cdot AC = 2 \neq = 0$ なので2つは垂直でない。また $3 \cdot 6 - 2^{2} = 14 \neq = 0$ なので平行でもなく、平面 $H$ がきちんと定まる。

成分から直接計算して $3, 6, 2$ を確かめた。

$AB$ は $B - A$ である。原点からのベクトルと取り違えない。

(2)原点 $O$ から平面 $H$ に下ろした垂線の足を $Q$ とするとき、 $AQ$ を $AB$ と $AC$ で表す

答 $AQ = - AB + AC$

$AQ = x AB + y AC$ とおく。 $OQ$ が $H$ に垂直、つまり $AB$ とも $AC$ とも直交する、という2本の式を立てる。

$AQ = x AB + y AC$ とおくと $OQ = OA + x AB + y AC$ である。

$OA = (3, 1, 3)$ なので $OA \cdot AB = 3 + 1 - 3 = 1$ 、 $OA \cdot AC = 3 - 1 - 6 = - 4$ である。

$OQ ⊥ H$ の条件は $OQ \cdot AB = 0$ かつ $OQ \cdot AC = 0$ で、(1) の値を使うと

{1 + 3 x + 2 y = 0 - 4 + 2 x + 6 y = 0

である。2本目を $2$ で割って $x + 3 y = 2$ 、 $x = 2 - 3 y$ を1本目に入れると

1 + 3 (2 - 3 y) + 2 y = 0 ⟺ 7 - 7 y = 0 ⟺ y = 1

で、 $x = 2 - 3 = - 1$ 。よって

AQ = - AB + AC

である（座標では $Q (3, - 1, 2)$ ）。

$x = - 1 < 0$ なので、 $Q$ は領域 $K$ （ $s, t \geq 0$ ）には入っていない。(4) で $K$ 上の最短を別に考える必要があるのはこのためである。

$Q (3, - 1, 2)$ について $OQ \cdot AB = 0$ 、 $OQ \cdot AC = 0$ を確かめた。

「 $OQ$ が平面に垂直」であって「 $AQ$ が垂直」ではない。基準点 $A$ を足し忘れない。

(1) で求めた3つの内積をそのまま使うと連立方程式が立つ。成分に戻さなくてよい。

(3)領域 $K$ 上の点 $P$ に対して、線分 $QP$ 上に $AR = r AC$ （ $r$ は非負の実数）をみたす点 $R$ が存在することを示す

答 $u = \frac{1}{1 + s}$ とすると $R = (1 - u) Q + u P$ が $AR = \frac{s + t}{1 + s} AC$ をみたす

線分 $QP$ 上の点を $AX = (1 - u) AQ + u AP$ （ $0 \leq u \leq 1$ ）と書き、 $AB$ の係数を $0$ にする $u$ を探す。

$AP = s AB + t AC$ （ $s, t \geq 0$ ）とする。線分 $QP$ 上の点 $X$ は $0 \leq u \leq 1$ を使って

AX = (1 - u) AQ + u AP = (1 - u) (- AB + AC) + u (s AB + t AC) = {- (1 - u) + u s} AB + {(1 - u) + u t} AC

と書ける。

$AB$ の係数を $0$ に。 $- (1 - u) + u s = 0$ を解くと $u (1 + s) = 1$ 、すなわち

u = \frac{1}{1 + s}

である。 $s \geq 0$ より $0 < u \leq 1$ で、確かに線分上にある。この $u$ に対して

r = (1 - u) + u t = 1 - \frac{1 - t}{1 + s} = \frac{( 1 + s ) - ( 1 - t )}{1 + s} = \frac{s + t}{1 + s}

で、 $s, t \geq 0$ より $r \geq 0$ である。よって $R$ を $u = \frac{1}{1 + s}$ に対応する点にとれば

AR = \frac{s + t}{1 + s} AC (\frac{s + t}{1 + s} \geq 0)

となり、題意の $R$ が存在する。

$R$ は「 $A$ から $AC$ 方向に伸ばした半直線」の上の点で、これは $K$ の境界（ $s = 0$ の側）そのものである。つまり「 $K$ の任意の点から $Q$ に向かうと、途中で必ず境界を横切る」と言っている。

$(s, t) = (0, 0), (1, 0), (0, 3), (2, 5), (0.5, 0.2)$ で $u = \frac{1}{1 + s}$ として線分上の点を計算すると、いずれも $A + r AC$ と一致し、 $OR \leq OP$ も成り立った。

$u$ が $0 \leq u \leq 1$ に入ることを確かめる。 $s \geq 0$ だから $\frac{1}{1 + s} \leq 1$ である。

$r \geq 0$ も示す。 $s + t \geq 0$ 、 $1 + s > 0$ から出る。

$Q$ は $K$ の外にあるが、線分 $QP$ の $P$ 側の部分は $K$ の中にある。境界を1回だけ横切る、という形になっている。

(4)領域 $K$ において原点 $O$ からの距離が最小となる点 $S$ の座標を求める

答 $S (\frac{11}{3}, \frac{1}{3}, \frac{5}{3})$ （最小距離は $\frac{7}{3}$ ）

$OQ$ は $H$ に垂直なので、 $H$ 上の点 $X$ について $OX^{2} = OQ^{2} + QX^{2}$ である。だから $Q$ に近いほど $O$ に近い。(3) の $R$ は線分 $QP$ 上なので $P$ より $Q$ に近く、最小は半直線 $AR = r AC$ 上で起きる。

最小は $AC$ 方向の半直線上にある。 $OQ ⊥ H$ なので、 $H$ 上の点 $X$ について三平方の定理から

OX^{2} = OQ^{2} + QX^{2}

である。したがって $OX$ は $QX$ の増加関数である。(3) の $R$ は線分 $QP$ 上にあるので $QR \leq QP$ 、よって

OR \leq OP

である。つまり $K$ のどの点 $P$ をとっても、 $AR = r AC$ （ $r \geq 0$ ）の形の点でそれ以下の距離が実現できる。したがって最小を探すのは半直線

OX = OA + r AC (r \geq 0)

の上だけでよい。

1変数の最小。

OX^{2} = OA^{2} + 2 r (OA \cdot AC) + r^{2} AC^{2} = 19 + 2 r (- 4) + 6 r^{2} = 6 r^{2} - 8 r + 19

である（ $OA^{2} = 9 + 1 + 9 = 19$ ）。平方完成すると

6 (r - \frac{2}{3})^{2} + 19 - \frac{8}{3} = 6 (r - \frac{2}{3})^{2} + \frac{49}{3}

なので、 $r = \frac{2}{3}$ （ $\geq 0$ なので条件内）で最小 $\frac{49}{3}$ をとる。

座標。

OS = (3, 1, 3) + \frac{2}{3} (1, - 1, - 2) = (\frac{11}{3}, \frac{1}{3}, \frac{5}{3})

である。最小距離は $\frac{49}{3} = \frac{7}{3} = \frac{7 3}{3}$ （ $4.041$ ほど）。

$(s, t)$ を $2001 \times 2001$ 通りに刻んで $OP^{2}$ の最小を探すと $16.33335$ （ $s = 0$ 、 $t = 0.665$ ）で、 $\frac{49}{3} = 16.333333$ と一致した。 $S (\frac{11}{3}, \frac{1}{3}, \frac{5}{3})$ で $OS^{2} = \frac{49}{3}$ である。

$Q$ は $K$ の外（ $s = - 1 < 0$ ）なので、 $Q$ が答えではない。(3) が「境界まで下げられる」ことを保証している。

$s = 0$ の境界（ $AC$ 方向）だけ調べればよい。 $t = 0$ の境界は (3) の議論でカバーされる（ $t = 0$ の点も $K$ の点なので、そこからさらに $s = 0$ の半直線へ下げられる）。

$r = \frac{2}{3} \geq 0$ なので端点ではなく内部の最小である。もし負になれば $r = 0$ （つまり $A$ ）が答えになる。

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第4問　確率

反復試行・二項分布・微分して積分で表す・対称性当サイトの体感難易度：難

(1) $n \geq 2$ に対して $f (1)$ と $f (2)$ を求める

答 $f (1) = 1 - (1 - p)^{n}$ 、 $f (2) = 1 - (1 - p)^{n} - n p (1 - p)^{n - 1}$

「 $k$ 回以上」は余事象を使うのが速い。 $f (1)$ は「1回も赤が出ない」の余事象、 $f (2)$ はそこから「ちょうど1回」も引く。

$n$ 回のうち赤玉がちょうど $j$ 回出る確率は $_{n} C_{j} p^{j} (1 - p)^{n - j}$ である。

$f (1)$ 。 「1回以上」の余事象は「0回」だから

f (1) = 1 - (1 - p)^{n}

である。

$f (2)$ 。 「2回以上」の余事象は「0回または1回」だから

f (2) = 1 - (1 - p)^{n} -_{n} C_{1} p (1 - p)^{n - 1} = 1 - (1 - p)^{n} - n p (1 - p)^{n - 1}

である。

$n = 5$ 、 $p = 0.3$ で $f (1) = 0.83193$ 、 $f (2) = 0.47178$ となり、二項分布の和と一致した。

「 $k$ 回以上」であって「ちょうど $k$ 回」ではない。余事象のほうが項数が少ない。

$p = 0$ や $p = 1$ でも式は正しい（ $f (1) = 0$ 、 $f (1) = 1$ ）。

(2) $k = 1, 2, \dots, n$ に対して $f (k) = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k )!} \int_{0}^{p} x^{k - 1} (1 - x)^{n - k} d x$ を示す

答両辺を $p$ で微分すると一致し、 $p = 0$ でともに $0$

$f (k)$ を $p$ の関数と見て微分する。和が望遠鏡のように打ち消し合って1項だけ残り、それが右辺の被積分関数に一致する。

$F (p) = f (k) = j = k \sum n_{n} C_{j} p^{j} (1 - p)^{n - j}$ とおく。右辺を $G (p)$ とする。

$F$ を微分する。 積の微分で

F^{'} (p) = j = k \sum n_{n} C_{j} {j p^{j - 1} (1 - p)^{n - j} - (n - j) p^{j} (1 - p)^{n - j - 1}}

である。ここで

j_{n} C_{j} = n_{n - 1} C_{j - 1}, (n - j)_{n} C_{j} = n_{n - 1} C_{j}

を使う（どちらも階乗に戻せば確かめられる）。 $a_{j} =_{n - 1} C_{j - 1} p^{j - 1} (1 - p)^{n - j}$ とおくと

_{n} C_{j} (n - j) p^{j} (1 - p)^{n - j - 1} = n_{n - 1} C_{j} p^{j} (1 - p)^{n - j - 1} = n a_{j + 1}

なので

F^{'} (p) = n j = k \sum n (a_{j} - a_{j + 1}) = n (a_{k} - a_{n + 1})

である。 $a_{n + 1} =_{n - 1} C_{n} (\dots) = 0$ （ $_{n - 1} C_{n} = 0$ ）だから

F^{'} (p) = n_{n - 1} C_{k - 1} p^{k - 1} (1 - p)^{n - k} = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k )!} p^{k - 1} (1 - p)^{n - k}

である（ $n \cdot \frac{( n - 1 )!}{( k - 1 )! ( n - k )!} = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k )!}$ ）。

$G$ を微分する。 微分と積分の関係から

G^{'} (p) = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k )!} p^{k - 1} (1 - p)^{n - k}

で、 $F^{'} = G^{'}$ である。

初期値。 $p = 0$ のとき、赤玉は1回も出ないので $k \geq 1$ より $F (0) = 0$ 。また $G (0) = 0$ （積分区間の幅が $0$ ）。 $F - G$ は導関数が $0$ で $p = 0$ の値も $0$ だから、恒等的に $0$ である。よって

f (k) = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k )!} \int_{0}^{p} x^{k - 1} (1 - x)^{n - k} d x

が成り立つ。

$n = 3, 5, 7$ 、 $k = 1, \dots, n$ 、 $p = 0.2, 0.5, 0.73$ のすべてで、左辺（二項分布の和）と右辺（数値積分）が $1 0^{- 7}$ 以内で一致した。

$j_{n} C_{j} = n_{n - 1} C_{j - 1}$ と $(n - j)_{n} C_{j} = n_{n - 1} C_{j}$ の2つが鍵。階乗で書いて確かめる。

和が望遠鏡（ $a_{k} - a_{n + 1}$ ）になる。並べ方を揃えると見える。

$p = 0$ での値を合わせる。導関数が等しいだけでは定数だけずれる可能性がある。

(3)自然数 $k$ に対して $I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{k} (1 - x)^{k} d x$ を求める

答 $I = \frac{( k ! ) ^{2}}{2 ( 2 k + 1 )!}$

(2) の式で $k - 1 = k$ 、 $n - k = k$ となるように、すなわち「(2) の $k$ 」を $k + 1$ 、 $n$ を $2 k + 1$ 、 $p = \frac{1}{2}$ にとる。すると左辺が「 $2 k + 1$ 回中 $k + 1$ 回以上」の確率になり、対称性から $\frac{1}{2}$ だと分かる。

(2) の式で $n = 2 k + 1$ 、（(2) の添字を $k^{'}$ と書いて） $k^{'} = k + 1$ 、 $p = \frac{1}{2}$ とする。すると $k^{'} - 1 = k$ 、 $n - k^{'} = k$ なので

f (k + 1) = \frac{( 2 k + 1 )!}{k ! k !} \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{k} (1 - x)^{k} d x = \frac{( 2 k + 1 )!}{( k ! ) ^{2}} I

である。

左辺は $\frac{1}{2}$ 。 $p = \frac{1}{2}$ 、 $n = 2 k + 1$ のとき、 $f (k + 1)$ は「 $2 k + 1$ 回中、赤玉が $k + 1$ 回以上出る確率」である。赤玉と白玉が同じ確率なので、赤と白を入れ替えても確率は変わらない。

$2 k + 1$ は奇数だから「赤が $k + 1$ 回以上」と「白が $k + 1$ 回以上」はちょうど排反で、どちらかが必ず起こる。2つの確率は等しいので

f (k + 1) = \frac{1}{2}

である。したがって

\frac{( 2 k + 1 )!}{( k ! ) ^{2}} I = \frac{1}{2} ⟹ I = \frac{( k ! ) ^{2}}{2 ( 2 k + 1 )!}

である。

$k = 1$ なら $I = \frac{1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{12}$ 。実際 $\int_{0}^{1/2} x (1 - x) d x = \frac{1}{8} - \frac{1}{24} = \frac{1}{12}$ で合う。 $k = 2$ なら $\frac{4}{2 \cdot 120} = \frac{1}{60}$ 。

$k = 1, 2, 3, 4$ で $\int_{0}^{1/2} x^{k} (1 - x)^{k} d x$ を数値積分すると $0.083333333333, 0.016666666667, 0.003571428571, 0.000793650794$ で、 $\frac{( k ! ) ^{2}}{2 ( 2 k + 1 )!}$ と小数12桁まで一致した。

$x^{k} (1 - x)^{k}$ の指数をそろえるには $k^{'} - 1 = n - k^{'}$ 、つまり $n = 2 k^{'} - 1$ が必要である。 $k^{'} = k + 1$ なら $n = 2 k + 1$ 。

$n$ が奇数だから「 $k + 1$ 回以上」と「 $k$ 回以下」がちょうど半々になる。偶数だと真ん中の場合が残って使えない。

$_{2 k + 1} C_{k + 1}$ などを計算する必要はない。対称性だけで $\frac{1}{2}$ が出る。

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問題文について

(1)f(x)=x​+x​2​（x>0）の極値を求める

(2)x 軸上の点 P(t,0) から C にちょうど2本の接線を引くことができるような t の範囲を求める

(3)(2) において2つの接点の x 座標を α,β（α<β）とするとき、α,β がともに整数である組をすべて求める

(1)方程式 P(z)=0 をみたす複素数 z をすべて求め、複素数平面上に図示する

(2)方程式 Q(z)=0 をみたす複素数 z のうち実部が最大のものを求める

(3)P(z)=0 と Q(z)=0 が共通解 β をもつとき、c の値と β を求める

(1)内積 AB⋅AB、AC⋅AC、AB⋅AC を求める

(2)原点 O から平面 H に下ろした垂線の足を Q とするとき、AQ​ を AB と AC で表す

(3)領域 K 上の点 P に対して、線分 QP 上に AR=rAC（r は非負の実数）をみたす点 R が存在することを示す

(4)領域 K において原点 O からの距離が最小となる点 S の座標を求める

(1)n≥2 に対して f(1) と f(2) を求める

(2)k=1,2,…,n に対して f(k)=(k−1)!(n−k)!n!​∫0p​xk−1(1−x)n−kdx を示す

(3)自然数 k に対して I=∫021​​xk(1−x)kdx を求める

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