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名古屋大学　2024年度　前期日程　理科系

第3問空間ベクトルの解答・解説

内積・垂線の足・領域の最短距離・境界での最小当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)内積 $AB \cdot AB$ 、 $AC \cdot AC$ 、 $AB \cdot AC$ を求める

答 $3$ 、 $6$ 、 $2$

成分を出して計算するだけ。以降ずっと使う値なので、ここで押さえておく。

AB = (1, 1, - 1), AC = (1, - 1, - 2)

なので

AB \cdot AB AC \cdot AC AB \cdot AC = 1 + 1 + 1 = 3 = 1 + 1 + 4 = 6 = 1 - 1 + 2 = 2

である。

$AB \cdot AC = 2 \neq = 0$ なので2つは垂直でない。また $3 \cdot 6 - 2^{2} = 14 \neq = 0$ なので平行でもなく、平面 $H$ がきちんと定まる。

成分から直接計算して $3, 6, 2$ を確かめた。

$AB$ は $B - A$ である。原点からのベクトルと取り違えない。

(2)原点 $O$ から平面 $H$ に下ろした垂線の足を $Q$ とするとき、 $AQ$ を $AB$ と $AC$ で表す

答 $AQ = - AB + AC$

$AQ = x AB + y AC$ とおく。 $OQ$ が $H$ に垂直、つまり $AB$ とも $AC$ とも直交する、という2本の式を立てる。

$AQ = x AB + y AC$ とおくと $OQ = OA + x AB + y AC$ である。

$OA = (3, 1, 3)$ なので $OA \cdot AB = 3 + 1 - 3 = 1$ 、 $OA \cdot AC = 3 - 1 - 6 = - 4$ である。

$OQ ⊥ H$ の条件は $OQ \cdot AB = 0$ かつ $OQ \cdot AC = 0$ で、(1) の値を使うと

{1 + 3 x + 2 y = 0 - 4 + 2 x + 6 y = 0

である。2本目を $2$ で割って $x + 3 y = 2$ 、 $x = 2 - 3 y$ を1本目に入れると

1 + 3 (2 - 3 y) + 2 y = 0 ⟺ 7 - 7 y = 0 ⟺ y = 1

で、 $x = 2 - 3 = - 1$ 。よって

AQ = - AB + AC

である（座標では $Q (3, - 1, 2)$ ）。

$x = - 1 < 0$ なので、 $Q$ は領域 $K$ （ $s, t \geq 0$ ）には入っていない。(4) で $K$ 上の最短を別に考える必要があるのはこのためである。

$Q (3, - 1, 2)$ について $OQ \cdot AB = 0$ 、 $OQ \cdot AC = 0$ を確かめた。

「 $OQ$ が平面に垂直」であって「 $AQ$ が垂直」ではない。基準点 $A$ を足し忘れない。

(1) で求めた3つの内積をそのまま使うと連立方程式が立つ。成分に戻さなくてよい。

(3)領域 $K$ 上の点 $P$ に対して、線分 $QP$ 上に $AR = r AC$ （ $r$ は非負の実数）をみたす点 $R$ が存在することを示す

答 $u = \frac{1}{1 + s}$ とすると $R = (1 - u) Q + u P$ が $AR = \frac{s + t}{1 + s} AC$ をみたす

線分 $QP$ 上の点を $AX = (1 - u) AQ + u AP$ （ $0 \leq u \leq 1$ ）と書き、 $AB$ の係数を $0$ にする $u$ を探す。

$AP = s AB + t AC$ （ $s, t \geq 0$ ）とする。線分 $QP$ 上の点 $X$ は $0 \leq u \leq 1$ を使って

AX = (1 - u) AQ + u AP = (1 - u) (- AB + AC) + u (s AB + t AC) = {- (1 - u) + u s} AB + {(1 - u) + u t} AC

と書ける。

$AB$ の係数を $0$ に。 $- (1 - u) + u s = 0$ を解くと $u (1 + s) = 1$ 、すなわち

u = \frac{1}{1 + s}

である。 $s \geq 0$ より $0 < u \leq 1$ で、確かに線分上にある。この $u$ に対して

r = (1 - u) + u t = 1 - \frac{1 - t}{1 + s} = \frac{( 1 + s ) - ( 1 - t )}{1 + s} = \frac{s + t}{1 + s}

で、 $s, t \geq 0$ より $r \geq 0$ である。よって $R$ を $u = \frac{1}{1 + s}$ に対応する点にとれば

AR = \frac{s + t}{1 + s} AC (\frac{s + t}{1 + s} \geq 0)

となり、題意の $R$ が存在する。

$R$ は「 $A$ から $AC$ 方向に伸ばした半直線」の上の点で、これは $K$ の境界（ $s = 0$ の側）そのものである。つまり「 $K$ の任意の点から $Q$ に向かうと、途中で必ず境界を横切る」と言っている。

$(s, t) = (0, 0), (1, 0), (0, 3), (2, 5), (0.5, 0.2)$ で $u = \frac{1}{1 + s}$ として線分上の点を計算すると、いずれも $A + r AC$ と一致し、 $OR \leq OP$ も成り立った。

$u$ が $0 \leq u \leq 1$ に入ることを確かめる。 $s \geq 0$ だから $\frac{1}{1 + s} \leq 1$ である。

$r \geq 0$ も示す。 $s + t \geq 0$ 、 $1 + s > 0$ から出る。

$Q$ は $K$ の外にあるが、線分 $QP$ の $P$ 側の部分は $K$ の中にある。境界を1回だけ横切る、という形になっている。

(4)領域 $K$ において原点 $O$ からの距離が最小となる点 $S$ の座標を求める

答 $S (\frac{11}{3}, \frac{1}{3}, \frac{5}{3})$ （最小距離は $\frac{7}{3}$ ）

$OQ$ は $H$ に垂直なので、 $H$ 上の点 $X$ について $OX^{2} = OQ^{2} + QX^{2}$ である。だから $Q$ に近いほど $O$ に近い。(3) の $R$ は線分 $QP$ 上なので $P$ より $Q$ に近く、最小は半直線 $AR = r AC$ 上で起きる。

最小は $AC$ 方向の半直線上にある。 $OQ ⊥ H$ なので、 $H$ 上の点 $X$ について三平方の定理から

OX^{2} = OQ^{2} + QX^{2}

である。したがって $OX$ は $QX$ の増加関数である。(3) の $R$ は線分 $QP$ 上にあるので $QR \leq QP$ 、よって

OR \leq OP

である。つまり $K$ のどの点 $P$ をとっても、 $AR = r AC$ （ $r \geq 0$ ）の形の点でそれ以下の距離が実現できる。したがって最小を探すのは半直線

OX = OA + r AC (r \geq 0)

の上だけでよい。

1変数の最小。

OX^{2} = OA^{2} + 2 r (OA \cdot AC) + r^{2} AC^{2} = 19 + 2 r (- 4) + 6 r^{2} = 6 r^{2} - 8 r + 19

である（ $OA^{2} = 9 + 1 + 9 = 19$ ）。平方完成すると

6 (r - \frac{2}{3})^{2} + 19 - \frac{8}{3} = 6 (r - \frac{2}{3})^{2} + \frac{49}{3}

なので、 $r = \frac{2}{3}$ （ $\geq 0$ なので条件内）で最小 $\frac{49}{3}$ をとる。

座標。

OS = (3, 1, 3) + \frac{2}{3} (1, - 1, - 2) = (\frac{11}{3}, \frac{1}{3}, \frac{5}{3})

である。最小距離は $\frac{49}{3} = \frac{7}{3} = \frac{7 3}{3}$ （ $4.041$ ほど）。

$(s, t)$ を $2001 \times 2001$ 通りに刻んで $OP^{2}$ の最小を探すと $16.33335$ （ $s = 0$ 、 $t = 0.665$ ）で、 $\frac{49}{3} = 16.333333$ と一致した。 $S (\frac{11}{3}, \frac{1}{3}, \frac{5}{3})$ で $OS^{2} = \frac{49}{3}$ である。