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名古屋大学　2023年度　前期日程　理科系

第2問積分法の解答・解説

2円の交わり・回転体の体積・球欠と円錐・最大値と極限当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)半径 $r$ のみたすべき条件を求める

答 $a - b < r < a + b$

2円が2点で交わる条件は「中心間距離が半径の和より小さく、差より大きい」である。中心間距離は $a$ 。

$C$ の中心は原点、 $D$ の中心は $(a, 0)$ なので中心間距離は $a$ である。2円が異なる2点で交わる条件は

∣ r - b ∣ < a < r + b

である。右側から $r > a - b$ 。左側は

- a < r - b < a ⟺ b - a < r < a + b

で、 $0 < b < a$ より $b - a < 0 < r$ だから左は自動的に成り立つ。よって

a - b < r < a + b

である。

$a = 3$ 、 $b = 1.2$ で $1.8 < r < 4.2$ 。 $r = 2, 3, 4$ のとき確かに2点で交わり、 $r = 1.7, 4.3$ では交わらなかった。

「2点で交わる」なので接する場合（等号）は入れない。

$∣ r - b ∣ < a$ の左側は $0 < b < a$ のおかげで自動的にみたされる。

(2) $C$ と $D$ の交点のうち $y$ 座標が正のものを $P$ とするとき、 $P$ の $x$ 座標 $h (r)$ を求める

答 $h (r) = \frac{a ^{2} - b ^{2} + r ^{2}}{2 a}$

2円の方程式を引き算すると $y^{2}$ が消えて、 $x$ の1次方程式になる。

$C : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 、 $D : (x - a)^{2} + y^{2} = b^{2}$ である。辺々引くと

x^{2} - (x - a)^{2} = r^{2} - b^{2} ⟺ 2 a x - a^{2} = r^{2} - b^{2}

なので

h (r) = \frac{a ^{2} - b ^{2} + r ^{2}}{2 a}

である。

$h (r) - (a - b) = \frac{r ^{2} - ( a - b ) ^{2}}{2 a} > 0$ （(1) より $r > a - b$ ）なので、 $P$ は $R (a - b, 0)$ より右にある。また $r - h (r) = \frac{( a + b - r ) ( r - ( a - b ))}{2 a} \cdot \frac{\dots}{\dots}$ の形で正になり、 $P$ は $Q (r, 0)$ より左にある。

$a = 3$ 、 $b = 1.2$ 、 $r = 3$ のとき $h = \frac{9 - 1.44 + 9}{6} = 2.76$ で、2円の交点を数値で求めた $x$ 座標と一致した。

$y$ 座標が正という条件は $x$ 座標には効かない。2つの交点は $x$ 座標が同じである。

引き算で $x^{2}$ と $y^{2}$ が同時に消える。 $x$ の1次式になるのが要点。

(3) $Q (r, 0)$ 、 $R (a - b, 0)$ とし、 $D$ の内部にある $C$ の弧 $PQ$ 、線分 $QR$ 、線分 $RP$ で囲まれる図形を $A$ とする。 $A$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積 $V (r)$ を求める

答 $V (r) = \frac{π}{3} (r - h) {2 r^{2} - (a - b) (r + h)}$ （ $h = h (r)$ ）

$A$ は「 $R$ から $P$ までは直線、 $P$ から $Q$ までは円弧」が上の境界で、下は $x$ 軸である。回転すると「円錐＋球欠」になる。

$h = h (r)$ 、 $k = r^{2} - h^{2}$ （ $P$ の $y$ 座標）とおく。(2) の注より $a - b < h < r$ である。

$A$ は $a - b \leq x \leq r$ の範囲にあり、上の境界は

$a - b \leq x \leq h$ ：線分 $RP$ 、すなわち $y = \frac{k ( x - ( a - b ) )}{h - ( a - b )}$
$h \leq x \leq r$ ：円 $C$ の弧、すなわち $y = r^{2} - x^{2}$

である。

円錐の部分。 底面の半径 $k$ 、高さ $h - (a - b)$ の円錐なので

V_{1} = \frac{1}{3} π k^{2} (h - a + b) = \frac{π}{3} (r^{2} - h^{2}) (h - a + b)

である。

球欠の部分。

V_{2} = π \int_{h}^{r} (r^{2} - x^{2}) d x = π [r^{2} x - \frac{x ^{3}}{3}]_{h}^{r} = π (\frac{2}{3} r^{3} - r^{2} h + \frac{h ^{3}}{3})

である。

足してまとめる。

V (r) = \frac{π}{3} {(r^{2} - h^{2}) (h - a + b) + 2 r^{3} - 3 r^{2} h + h^{3}} = \frac{π}{3} {2 r^{2} (r - h) - (a - b) (r^{2} - h^{2})} = \frac{π}{3} (r - h) {2 r^{2} - (a - b) (r + h)}

である（2行目では $r^{2} h - r^{2} (a - b) - h^{3} + h^{2} (a - b) + 2 r^{3} - 3 r^{2} h + h^{3}$ を整理した）。

$(a, b) = (3, 1.2), (5, 2), (2, 0.5)$ の各5点で、円錐＋球欠の数値積分とこの式が小数9桁まで一致した。

$A$ の上の境界が $x = h$ で切り替わる。円錐と球欠に分けて足す。

円錐の高さは $h - (a - b)$ であって $h$ ではない。頂点は $R$ にある。

$h^{3}$ がきれいに打ち消し合う。整理すると $(r - h)$ でくくれる。

(4) $V (r)$ の最大値を与える $r$ を求め、それを $r (a)$ とおいたときの $a \to \infty lim (r (a) - a)$ を求める

答 $r (a) = \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{3 a + b}$ 、 $a \to \infty lim (r (a) - a) = \frac{b}{3}$

$V$ を $r$ で微分する。 $h^{'} (r) = \frac{r}{a}$ を使って整理すると、 $V^{'} = 0$ が $r$ の2次方程式になり、 $r = a - b$ が解の1つだと分かる。

$h = \frac{a ^{2} - b ^{2} + r ^{2}}{2 a}$ より $h^{'} = \frac{r}{a}$ である。(3) の

\frac{3}{π} V = 2 r^{3} - 2 r^{2} h + (a - b) (h^{2} - r^{2})

を微分すると

\frac{3}{π} V^{'} = 6 r^{2} - 4 r h - 2 r^{2} \cdot \frac{r}{a} + (a - b) (2 h \cdot \frac{r}{a} - 2 r)

である。 $2 r$ でくくると

\frac{3}{π} V^{'} = 2 r {3 r - 2 h - \frac{r ^{2}}{a} + \frac{( a - b ) ( h - a )}{a}}

となる。中かっこを $2 a^{2}$ 倍し、 $2 ah = a^{2} - b^{2} + r^{2}$ を使って $h$ を消すと

2 a^{2} {\dots} = - {(3 a + b) r^{2} - 6 a^{2} r + (3 a^{3} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3})}

である。したがって

V^{'} (r) = - \frac{π r}{3 a ^{2}} {(3 a + b) r^{2} - 6 a^{2} r + (3 a^{3} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3})}

となる。中かっこの2次式を解く。判別式は

36 a^{4} - 4 (3 a + b) (3 a^{3} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3}) = 4 b^{2} (2 a + b)^{2}

なので

r = \frac{6 a ^{2} \pm 2 b ( 2 a + b )}{2 ( 3 a + b )} = \frac{3 a ^{2} \pm b ( 2 a + b )}{3 a + b}

である。符号 $-$ のほうは

\frac{3 a ^{2} - 2 ab - b ^{2}}{3 a + b} = \frac{( 3 a + b ) ( a - b )}{3 a + b} = a - b

と、定義域の左端そのものである。したがって定義域の内部にある解は符号 $+$ のほうだけで

r_{0} = \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{3 a + b}

である（ $r_{0} < a + b$ も確かめられる： $(a + b) (3 a + b) - (3 a^{2} + 2 ab + b^{2}) = 2 ab > 0$ ）。

増減。 2次式は $(3 a + b) (r - (a - b)) (r - r_{0})$ と因数分解できるので

V^{'} (r) = - \frac{π r ( 3 a + b )}{3 a ^{2}} (r - (a - b)) (r - r_{0})

である。 $a - b < r < r_{0}$ では $V^{'} > 0$ 、 $r_{0} < r < a + b$ では $V^{'} < 0$ 。よって $r = r_{0}$ で最大になる。

r (a) = \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{3 a + b}

極限。

r (a) - a = \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2} - a ( 3 a + b )}{3 a + b} = \frac{ab + b ^{2}}{3 a + b} = \frac{b ( a + b )}{3 a + b} = \frac{b ( 1 + \frac{b}{a} )}{3 + \frac{b}{a}} a \to \infty \frac{b}{3}

である。

$(a, b) = (3, 1.2), (5, 2), (2, 0.5)$ で $V (r)$ の最大を $20$ 万点に刻んで探すと $3.494112, 5.823520, 2.192310$ で、式の値 $3.494118, 5.823529, 2.192308$ と一致した。 $b = 1.2$ で $a = 10, 100, 1000, 100000$ とすると $r (a) - a$ は $0.4308, 0.4032, 0.4003, 0.4000$ と $\frac{b}{3} = 0.4$ に近づいた。

$h$ も $r$ の関数なので、積の微分で $h^{'} = \frac{r}{a}$ が出てくる。 $h$ を定数扱いしない。

$V^{'} = 0$ の2次方程式の一方の解が $r = a - b$ （定義域の端）になる。これに気づくと因数分解が速い。

$b$ は固定したまま $a \to \infty$ とする。 $\frac{b ( a + b )}{3 a + b}$ で分母分子を $a$ で割る。

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問題文について

(1)半径 r のみたすべき条件を求める

(2)C と D の交点のうち y 座標が正のものを P とするとき、P の x 座標 h(r) を求める

(3)Q(r,0)、R(a−b,0) とし、D の内部にある C の弧 PQ、線分 QR、線分 RP で囲まれる図形を A とする。A を x 軸の周りに1回転してできる立体の体積 V(r) を求める

(4)V(r) の最大値を与える r を求め、それを r(a) とおいたときの a→∞lim​(r(a)−a) を求める

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(4) $V (r)$ の最大値を与える $r$ を求め、それを $r (a)$ とおいたときの $a \to \infty lim (r (a) - a)$ を求める